Абсолютни стойности, модули, модулни уравнения

Дефиниция на абсолютна стойност(модул)

Абсолютна стойност или големина на реално число a се отбелязва с |a| и се дефинира така:
|a| = a при а ≥ 0
|a| = -a при а < 0

Пример:
|5|=5, тъй като 5>0
|-4/7|= -(-4/7) = 4/7, тъй като -4/7<0
|0|=0, тъй като 0≥0

Забележка:
|a| е не-отрицателно число за всички стойности на a и
-|a|≤ a ≤ |a|
Ако a е отрицателно тогава -a е положително, а +a е отрицателно!!!

Модулни уравнения(задачи)

Пример
Решете |x-3|=4
Решение:

x - 3 = 4

x = 7

или

-(x-3) = 4
x-3= -4
x= -1

Уравнението има 2 решения: -1 и 7.

Пример
Решете |3x-2|=|5x+4|

3x-2 = 5x+4
3x-5x = 4+2
-2x = 6
x = -3

или

3x-2 = -(5x+4)
.
.
x = $-\frac{1}{4}$

Уравнението има 2 решения: -3 и $-\frac{1}{4}$.

Корен квадратен и абсолютната му стойност

b² = a
(3)² = 9
b = 3
но!!!
(-3)² = 9 или b = -3

Корен квадратен от квадрата на число е равен на абсолютната стойност(модула) на числото.

Теорема 2
За всяко реално число a
√a² = |a|
т.е.
√(-4)² = √16 = 4 = |-4|

Теорема 3
Ако a и b са реални числа,

|-a| = |a| числото a и неговото отрицателно имат едни и същи абсолютни стойности
|ab| = |a||b| Абсолютната стойност на произведение от числа е равно на произведението от техните аболютни стойности.
|a/b| = |a|/|b| Абсолютната стойност на отношение на 2 числа е отношението на техните абсолютни стойности.

Доказателство:
От теорема 2 следва

(a) |-a| = √(-a)² = √a² = |a|

(b) |ab| = √(ab)² = √a²b² = √a²√b² = |a||b|

Примери:

(a) |-4| = |4|

(b) |2.-3| = |-6| = 6 = |2|.|3| = 6

(c) |5/4| = 5/4 = |5|/|4| = 5/4

Като резултат от по-горната теорема можем да обобщим за 3 и повече числа.
За n реални числа:
a₁, a₂, a₃,...a_n
(a) |a₁ a₂ ...a_n| = |a₁| |a₂| ...|a_n|
(b) |aⁿ| = |a|ⁿ

Геометрично представяне на абсолютни стойности

Където A и B са точки, разположени от началото на разстояние a и b. Разстоянието между точките A и B е
$\text{разстоянието}=\begin{cases}b-a \ \ \text{ ако } a < b \\ a-b \ \ \text{ ако } a > b \\ 0 \ \ \text{ ако } a = b \end{cases}$

Теорема 4 (разстояние между 2 точки)
Ако A и B са точки на една права разположени на разстояние a и b от началото, тогава разстоянието между A и B
разстоянето = |b - a|

Таблица (a)
|x-a| < k (k>0)

Алтернативен начин -k < x-a < k
Решения: (a-k, a+k)

Пример:
Неравенството
|x-3| < 4
може да се запише като
-4 < x-3 < 4
като добавим 3 получаваме
-1 < x < 7
решения са (-1, 7)

Върху реалната линия

Пример:
Решете: |x+4| ≥ 2

x+4 ≤ -2
x ≤ -6

x+4 ≥ 2
x≥ -2

При сравняване на 2-те множества:
(-∞ , -6] ∪ [-2 , +∞ )

Върху реалната линия

Неравенство на триъгълника

Не винаги е изпълнено
|a + b| = |a| + |b|
т.е.
ако a = 2 и b = -3, тогава a + b = -1 така, че |a+b| = |-1| = 1
където
|a| + |b| = |2|+|-3| = 2 + 3 = 5, така че |a + b| = |a| + |b|

Теорема неравенство на триъгълника
Ако a b тогава |a+b| ≤ |a|+|b|
Доказателство:
Тъй като за всяко реално число a и b знаем, че
-|a| ≤ a ≤ |a| и -|b| ≤ b ≤ |b|
-|a| ≤ a ≤ |a|
+
-|b| ≤ b ≤ |b|
______________
= -|a| + -|b| ≤ a+b ≤ |a|+|b|
______________________________________________
Сега имаме 2 случая:

Случай 1. Нека a + b ≥ 0
разбира се a + b = |a+b|
Следователно
|a + b| ≤ |a| + |b|

И

Случай 2. Нека a+b < 0
|a + b| = -(a + b)
или
(a + b) = -|a + b|

Ако сравним с първоначалното неравенство
-(|a|+|b|) ≤ -|a+b|
Резулатата показва
←^{_______________________________}→