Аритметична прогресия

Калкулатор за аритметична прогресия

Въведете първия член, разликата и броя на членовете. Натиснете бутона, за да видите резултата и сметката.

Какво е аритметична прогресия?

Аритметична прогресия е редица от числа, в която всеки член от втория нататък се получава от предишния, като към него прибавим едно и също число. Това число се означава с $d$ и се нарича разлика на прогресията.

Примери

• $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ е аритметична прогресия с разлика ${d=1}.$
• $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ е аритметична прогресия с разлика ${d=3},$ защото ${7-4}={10-7}={13-10}={3}.$
• $20,\ 10,\ 0,\ -10,\ -20,\ \ldots$ е аритметична прогресия с разлика ${d=-10}.$
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ също е аритметична прогресия, с разлика ${d=0}.$
• $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \ldots$ не е аритметична прогресия: разликите ${2-1=1}$ и ${4-2=2}$ са различни. (Тук всеки член е два пъти по-голям от предишния. Такава редица е геометрична прогресия.)

За да намерим разликата, изваждаме от който и да е член предишния: ${d=a_2-a_1}={a_3-a_2}=\ldots$

На тази страница: Калкулатор · Означения · Формула за $n$-тия член · Свойства · Сбор на първите $n$ члена · Решени задачи · Упражнения

Означения

• $a_1$ е първият член на прогресията;
• $a_n$ е $n$-тият член (общ член), а $n$ е неговият номер;
• $d$ е разликата: ${d=a_{n+1}-a_n}$ за всяко $n;$
• $S_n$ е сборът (сумата) на първите $n$ члена: ${S_n}={a_1+a_2+\ldots+a_n}.$

Ако ${d\gt 0},$ всеки член е по-голям от предишния и прогресията е растяща. Ако ${d\lt 0},$ прогресията е намаляваща. Ако ${d=0},$ всички членове са равни и прогресията е постоянна.

Формула за $n$-тия член

Тръгваме от $a_1$ и прибавяме $d$ отново и отново:

${a_2=a_1+d},$   ${a_3}={a_2+d}={a_1+2d},$   ${a_4=a_1+3d},$   ${a_5=a_1+4d},$   $\ldots$

До члена $a_n$ стигаме след ${n-1}$ стъпки, затова към $a_1$ сме прибавили ${n-1}$ пъти разликата $d$:

Пример. Намерете двайсетия член на прогресията $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Тук ${a_1=4}$ и ${d=3},$ затова

${a_{20}}={a_1+19d}={4+19\cdot 3}={61}$

От $a_1$ до $a_{20}$ има 19 стъпки, а не 20. Затова разликата се умножава по ${n-1},$ а не по $n.$

Можем да тръгнем и от кой да е друг член $a_k.$ До $a_n$ има ${n-k}$ стъпки:

Пример. В аритметична прогресия ${a_3=7}$ и ${a_8=22}.$ Намерете $a_1$ и $d.$

От $a_3$ до $a_8$ има 5 стъпки, затова

${d}={\frac{a_8-a_3}{8-3}}={\frac{22-7}{5}}={3},$   ${a_1}={a_3-2d}={7-6}={1}$

Прогресията е $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$

Членовете лежат на права

Формулата за общия член може да се запише и така: ${a_n}={a_1+(n-1)d}={dn+(a_1-d)}.$ Това е линейна функция на номера $n.$ Ако нанесем точките с координати ${(n;\ a_n)},$ те лежат на една права, а разликата $d$ е с колко се качва правата при всяка стъпка надясно. За прогресията $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ имаме ${a_n=3n+1}$:

Точките ${(n;\ a_n)}$ на прогресията ${a_n=3n+1}.$ Всяка следваща е с ${d=3}$ по-високо.

Свойства

Всеки член е средно аритметично на съседите си

Предишният член е ${a_{n-1}=a_n-d},$ а следващият е ${a_{n+1}=a_n+d}.$ Като ги съберем, $d$ се съкращава: ${a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n}.$ Следователно

Всеки член (освен първия) е средно аритметично на предишния и следващия. Оттук идва и името на прогресията. Вярно е и обратното: ако всеки член, освен първия, е средно аритметично на съседите си, редицата е аритметична прогресия.

Така три числа $a,$ $b,$ $c$ (в този ред) образуват аритметична прогресия точно когато ${2b=a+c}.$

По същия начин всеки член е средно аритметично на два члена, които са на еднакво разстояние от него: ${a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}$ за ${k\lt n}.$

Равноотдалечени членове

Сборът на два члена, които са на еднакво разстояние от началото и от края, е един и същ:

Причината: когато се преместим с една позиция надясно отпред и с една наляво отзад, първото събираемо се увеличава с $d,$ а второто намалява с $d.$ По-общо, ако ${m+k=p+q},$ то ${a_m+a_k=a_p+a_q}.$

Пример. В прогресията $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ 41,\ 51$:

${1+51}={11+41}={21+31}={52}$

${11}={\frac{1+21}{2}},$   ${21}={\frac{11+31}{2}},$   ${31}={\frac{21+41}{2}}$

Сбор на първите $n$ члена

Разказват, че когато Карл Фридрих Гаус бил ученик, учителят накарал класа да събере числата от 1 до 100. Гаус отговорил почти веднага: събрал първото с последното, второто с предпоследното и т.н.

${1+100}={2+99}={3+98}=\ldots={50+51}={101}$

Двойките са 50, затова сборът е ${50\cdot 101=5050}.$

Същата идея работи за всяка аритметична прогресия. Записваме сбора два пъти, втория път отзад напред:

$$\begin{aligned}S_n&=a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n\\S_n&=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_2+a_1\end{aligned}$$

Събираме двете равенства по колони. Във всяка колона има два равноотдалечени члена, затова сборът на всяка колона е ${a_1+a_n}.$ Колоните са $n,$ следователно ${2S_n=(a_1+a_n)\,n}.$

Сборът ${1+3+5+7+9},$ записан два пъти: сините и оранжевите стълбове образуват правоъгълник ${5\times 10},$ затова ${2S_5=50}$ и ${S_5=25}.$

Първата формула е удобна, когато знаем последния член, а втората, когато знаем разликата.

Пример 1. ${1+2+3+\ldots+100}={\frac{(1+100)\cdot 100}{2}}={5050}.$

Пример 2. Сборът на първите $n$ нечетни числа е

${1+3+5+\ldots+(2n-1)}={\frac{\bigl(1+(2n-1)\bigr)\,n}{2}}={n^2}$

Например ${1+3+5+7+9}={25}={5^2},$ както се вижда и на картинката.

Обратно: от сбора към члена. Ако знаем сборовете, членовете се получават с изваждане: ${a_1=S_1},$ а за ${n\ge 2}$ имаме ${a_n=S_n-S_{n-1}}.$

Решени задачи

Задача 1. Аритметична прогресия ли е редицата $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots?$

Решение: Да. Всеки член е с 10 по-голям от предишния, т.е. това е аритметична прогресия с ${a_1=1}$ и ${d=10}.$ Общият ѝ член е ${a_n}={1+(n-1)\cdot 10}={10n-9}.$

Задача 2. Намерете сбора на първите 10 члена на прогресията $1,\ 11,\ 21,\ 31,\ \ldots$

Решение: Тук ${a_1=1},$ ${d=10}$ и ${n=10}$:

${S_{10}}={\frac{(2\cdot 1+9\cdot 10)\cdot 10}{2}}={92\cdot 5}={460}$

Проверка с другата формула: ${a_{10}}={1+9\cdot 10}={91}$ и ${S_{10}}={\frac{(1+91)\cdot 10}{2}}={460}.$

Задача 3. Член ли е на прогресията $4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$ числото 100? А числото 200?

Решение: Общият член е ${a_n}={4+(n-1)\cdot 3}={3n+1}.$ Търсим естествено число $n,$ за което

${3n+1=100},$   ${3n=99},$   ${n=33}$

Значи ${a_{33}=100}.$ За 200 получаваме ${3n=199},$ а 199 не се дели на 3. Числото 200 не е член на прогресията.

Задача 4. Между числата 2 и 14 вмъкнете три числа така, че петте числа да образуват аритметична прогресия.

Решение: Търсим прогресия с ${a_1=2}$ и ${a_5=14}.$ От $a_1$ до $a_5$ има 4 стъпки:

${d}={\frac{14-2}{4}}={3}$

Числата са $5,\ 8,\ 11,$ а прогресията е $2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14.$

Задача 5. Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които се делят на 3.

Решение: Тези числа са $12,\ 15,\ 18,\ \ldots,\ 99,$ аритметична прогресия с ${a_1=12}$ и ${d=3}.$ Броя им намираме от ${a_n=99}$:

${12+(n-1)\cdot 3=99},$   ${(n-1)\cdot 3=87},$   ${n-1=29},$   ${n=30}$

${S_{30}}={\frac{(12+99)\cdot 30}{2}}={111\cdot 15}={1665}$

Задача 6. Колко члена на прогресията $3,\ 7,\ 11,\ \ldots$ трябва да съберем, за да получим 210?

Решение: Тук ${a_1=3}$ и ${d=4}$:

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 3+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={\frac{(4n+2)\,n}{2}}={2n^2+n}$

Решаваме ${2n^2+n=210},$ т.е. ${2n^2+n-210=0}$:

${D}={1+4\cdot 2\cdot 210}={1681}={41^2},$   ${n}={\frac{-1+41}{4}}={10}$

Другият корен, ${\frac{-1-41}{4}=-10{,}5},$ не е естествено число. Отговор: 10 члена. Проверка: ${a_{10}=3+9\cdot 4=39}$ и ${S_{10}}={\frac{(3+39)\cdot 10}{2}}={210}.$

Задача 7. Три числа образуват аритметична прогресия. Сборът им е 15, а произведението им е 80. Намерете числата.

Решение: Удобно е да означим средното число с $x,$ а другите две с ${x-d}$ и ${x+d}.$ Тогава

${(x-d)+x+(x+d)}={3x}={15},$   откъдето ${x=5}$

${(5-d)\cdot 5\cdot (5+d)}={80},$   ${25-d^2=16},$   ${d^2=9},$   ${d=\pm 3}$

Числата са $2,\ 5,\ 8$ (при ${d=3}$) или $8,\ 5,\ 2$ (при ${d=-3}$).

Задача 8. Сборът на първите $n$ члена на една редица е ${S_n=n^2+2n}$ за всяко $n.$ Докажете, че редицата е аритметична прогресия, и намерете общия ѝ член.

Решение: ${a_1=S_1=3}.$ За ${n\ge 2}$:

${a_n}={S_n-S_{n-1}}={n^2+2n-(n-1)^2-2(n-1)}={2n+1}$

Формулата ${a_n=2n+1}$ дава ${a_1=3}$ и за ${n=1}.$ Тъй като ${a_{n+1}-a_n=2}$ за всяко $n,$ редицата е аритметична прогресия с ${a_1=3}$ и ${d=2}$: $3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$

Задача 9. В една зала има 15 реда. На първия ред има 20 места, а на всеки следващ с 2 повече, отколкото на предишния. Колко места има на последния ред и колко са местата общо?

Решение: Броят на местата по редове е аритметична прогресия с ${a_1=20},$ ${d=2}$ и ${n=15}$:

${a_{15}}={20+14\cdot 2}={48},$   ${S_{15}}={\frac{(20+48)\cdot 15}{2}}={510}$

На последния ред има 48 места, а в залата има 510 места.

Задача 10. Числата ${\frac{1}{b+c}},$ ${\frac{1}{c+a}},$ ${\frac{1}{a+b}}$ образуват аритметична прогресия. Докажете, че и числата $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ образуват аритметична прогресия.

Решение: Средният член е средно аритметично на съседите си:

${\frac{2}{c+a}}={\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}}={\frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}}$

Знаменателите не са 0 (иначе дробите нямат смисъл), затова можем да умножим кръстосано:

${2(b+c)(a+b)}={(a+2b+c)(c+a)}$

Лявата страна е ${2ab+2b^2+2ac+2bc}.$ Дясната е ${(a+c)^2+2b(a+c)}={a^2+2ac+c^2+2ab+2bc}.$ След като съкратим еднаквите събираеми, остава

${2b^2=a^2+c^2}$

Значи $b^2$ е средно аритметично на $a^2$ и $c^2,$ т.е. числата $a^2,$ $b^2,$ $c^2$ образуват аритметична прогресия.

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Намерете ${a_{15}}$ на прогресията $2,\ 9,\ 16,\ \ldots$

${d=7},$ ${a_{15}}={2+14\cdot 7}={100}$

2. ${a_1=10}$ и ${d=-3}.$ Намерете ${a_{12}}$ и ${S_{12}}.$

${a_{12}}={10+11\cdot(-3)}={-23},$   ${S_{12}}={\frac{(10-23)\cdot 12}{2}}={-78}$

3. ${a_5=17}$ и ${a_{12}=45}.$ Намерете $a_1$ и $d.$

${d}={\frac{45-17}{12-5}}={4},$   ${a_1}={a_5-4d}={17-16}={1}$

4. Кой член на прогресията $5,\ 9,\ 13,\ \ldots$ е равен на 101?

${a_n}={5+(n-1)\cdot 4}={4n+1},$   ${4n+1=101},$   ${n=25}.$ Това е ${a_{25}}.$

5. За кое $x$ числата ${x+1},$ ${3x},$ ${4x+2}$ образуват аритметична прогресия?

${2\cdot 3x}={(x+1)+(4x+2)},$ т.е. ${6x=5x+3}$ и ${x=3}.$ Числата са $4,\ 9,\ 14$ с разлика 5.

6. Намерете ${S_{20}},$ ако ${a_1=3}$ и ${a_{20}=60}.$

${S_{20}}={\frac{(3+60)\cdot 20}{2}}={630}$

7. Намерете сбора на всички естествени числа от 1 до 200, които се делят на 7.

Числата са $7,\ 14,\ \ldots,\ 196.$ Тъй като ${196=7\cdot 28},$ те са 28. ${S_{28}}={\frac{(7+196)\cdot 28}{2}}={203\cdot 14}={2842}$

8. Ъглите на триъгълник образуват аритметична прогресия. Намерете средния по големина ъгъл.

Ъглите са ${\alpha-d},$ $\alpha,$ ${\alpha+d}$ и сборът им е ${3\alpha=180^\circ}.$ Средният ъгъл е ${\alpha=60^\circ},$ каквито и да са другите два.

9. ${S_5=40}$ и ${S_{10}=155}.$ Намерете $a_1$ и $d.$

${S_5}={\frac{(2a_1+4d)\cdot 5}{2}}={5a_1+10d}={40},$ т.е. ${a_1+2d=8}.$

${S_{10}}={\frac{(2a_1+9d)\cdot 10}{2}}={10a_1+45d}={155},$ т.е. ${2a_1+9d=31}.$

От първото ${a_1=8-2d},$ тогава ${16-4d+9d=31},$ ${d=3}$ и ${a_1=2}.$

10. Градинар засажда първия ден 12 дървета, а всеки следващ ден с 4 повече, отколкото предишния. За колко дни ще засади 168 дървета?

${S_n}={\frac{\bigl(2\cdot 12+(n-1)\cdot 4\bigr)\,n}{2}}={2n^2+10n}.$ От ${2n^2+10n=168}$ получаваме ${n^2+5n-84=0}$ и ${n=7}$ (другият корен е $-12$). За 7 дни.

Още упражнения, всеки път с нови числа:

Вижте също: Геометрична прогресия