Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е последователност от числа, такива че разликата между всеки две съседни е константа.

Например, редицата 1, 2, 3, 4, ... е аритметична прогресия с разлика 1.

Пример 2 редицата 4, 7, 10, 13,... образуват аритметична прогресия с разлика 3.
Разликата е a_n - a_n-1 = 3.

Пример 3 редицата 20, 10, 0, -10, -20, -30,... образуват аритметична прогресия с разлика -10

Означения

С d означаваме разликата.

С a_n означаваме n-тия член от аритметичната прогресия.

С S_n означаваме сумата от първите n елемента.

Свойства

Пример: дадена е аритметичната прогресия 1, 11, 21, 31, 41, 51...

51 + 1 = 41 + 11 = 31 + 21
и
11 = (21 + 1)/2
21 = (31 + 11)/2...

Ako първият член на аритметична прогресия е a₁ a разликата e d, тогава n-тия член на прогресията се намира по следния начин:

Сумата S на първите n числа на аритметична прогресия се получава по формулата:

или

Калкулатор за аритметични прогресии

Задачи

1) Аритметична прогресия ли е редицата 1, 11, 21, 31...?
Отговор: Да реда е аритметична прогресия с първи елемент 1 и разлика 10.

2) Намерете сбора на първите 10 числа от аритметичната прогресия 1, 11, 21, 31...
Отговор: може да използваме формулата S = ¹/₂(2a₁ + d(n-1))n
S = ¹/₂(2.1 + 10(10-1))10 = 5(2 + 90) = 5.92 = 460

3) Може ли да докажете, че ако числата 1/(c + b) , 1/(c + a), 1/(a + b) образуват аритметична прогресия, то числата a², b², c² също образуват аритметична прогресия.

Задачи за упражнение

Задача 1:
Аритметична прогресия ли е редицата 14, 20, 26, 36

Задача 2:
Сумата на първите четири члена на крайна аритметична прогресия е 56, а сумата на последните 4 е 112 . Напишете тази прогресия, ако първият й член е 11.

Още за аритметична прогресия във форума

Може да публикувате или видите решения на задачи в архивния форум или в текущия форум за прогресии.