НОК

Калкулатор на НОК

Прости и съставни числа. Разлагане на числата на прости множители

Прости и съставни числа

Да вземем няколко числа и да видим кои са делителите на всяко от тях.
На числото 3 делителите са $1$ и $3$.
На числото 6 делителите са $1, 2, 3, 6$.
На числото 17 делителите са $1$ и $17$. На числото 18 делителите са $1, 2, 3, 6, 9$ и $18$.

Виждаме че всички числа без изключение се делят на $1$ и на себе си.
Числата $3$ и $17$ освен на $1$ и на себе си не се делят на никое друго число. Такива са и числата $2, 5, 11, 19, 23$ и т.н.

Числата $6$ и $18$ се делят освен на единица, на себе си и на други числа. Такива са и числата $4, 8, 9, 12, 15$ и др.

Числото $1$ не е нито просто, нито съставно число. То е единственото число, което има един делител. Както простите, така и съставните числа са безброй много.

Взаимно прости числа

Числата $3$ и $7$ са прости, тъй като се делят само на единица и на себе си. Техен общ делител е единица.

Числата $8$ и $9$ са съставни. Делители на числото $8$ са $1, 2, 4$ и $8$, а на $9 – 1, 3$ и $9$.
Общ делител на числата $8$ и $9$ е само единица.

Числата $6$ и $25$ също са съставни. Делители на числото $6$ са $1, 2, 3$ и $6$, а на $25 – 1, 5$ и $25$. Общ делител на числата $6$ и $25$ е само единица.

Според това $3$ и $7, 8$ и $9, 6$ и $25$ са взаимно прости числа.
Числата: $12$ и $25; 21, 40$ и $53$ също са взаимно прости. (Проверете!)
Но числата $6$ и $10; 15,30$ и $60$ не са взаимно прости. (Проверете!)

Разлагане на числата на прости множители

а) Всяко съставно число може да се представи като произведение от прости числа, които са негови делители. Например: числото $6$ се дели на $2$ и дава частно $3$. Тъй като делимото е равно на делителя, умножен с частното, можем да запишем, че $6 = 2 \times 3$.
По същия начин можем да запишем, че $9 = 3.3; 35 = 5.7; 12 = 2.2.3$.
В разгледаните примери ние представихме съставни числа във вид на произведение от прости числа. Такова преобразуване на едно съставно число се нарича разлагане на число на прости множители.
Да разложим съставно число на прости множители, значи да го представим във вид на произведение от прости числа.

б) Да разложим на прости множители числото $42$.
Най-малкото просто число, на което се дели $42$ е $2 \frac{42}{2}=21$. Оттук $42 = 21.2$
Числото $21$ е съставно и най-малкото просто число, на което се дели, е $3 \frac{21}{3}=7$ Оттук $21 = 7.3$ В произведението $42 = 21.2$, заместваме $21$ със $7.3$ и получаваме $42 = 7.3.2$ или $42 = 2.3.7$

Прието е простите множители да се подреждат по големина, като се започне от най-малкия. За удобство, особено при големите числа, разлагането на прости множители записваме така:
$42| 2$
$21| 3$
$\ \ 7| 7$
$\ \ 1|$

$42 = 2.3.7$

Записваме даденото съставно число и до него (в дясно) теглим черта. Намираме най-малкото просто число, на което се дели даденото число. Пишем този делител на дясно от чертата, делим с него и полученото частно пишем под делимото. С полученото частно постъпваме по същия начин както с даденото число. Така продължаваме, докато наляво от чертата се получи частно единица.

Числата, които се получават надясно от чертата, са простите множители на съставното число.

Делимо е числото, което делим.
Делител – числото на което делим, а частно е резултата от делението
Примери:
$84 = 2.2.3.7$

$198 = 2.3.3.11$

в) Да разделим на прости множители следните числа, които са записани с единица и нула: $10,100,1000$ $10 = 2.5$
$100 = 10.10 = 2.5 . 2.5 = 2.2.5.5$
$1000 = 100.10 = 2.2.5.5.2.5 = 2.2.2.5.5.5$
Число, записано с единица и нули след нея, се разлага само на двойки и петици, които са по толкова на брой, колкото са нулите в числото.

г) Да разложим на прости множители следните числа: $360, 7500$ и $204000$ Числото $360 = 36.10$, затова разлагаме само числото $36$ и получените прости множители умножаваме с простите множители на $10$. По същия начин разлагаме и числото $7500$

$360 = 36.10$
$7500 = 75.100$

$204000 = 204.1000$

$204000 = 2.2.3.17.2.2.2.5.5.5$ или $204000 = 2.2.2.2.2.3.5.5.5.17$

Число, което завършва с нули, разлагаме на прости множители, като изоставим нулите на края, разложим полученото число и към произведението от простите му множители припишем като множители по толкова двойки и петорки, с колкото нули свършва даденото число

Упражнения:

1 Напишете четери числа, всяко от които да има най-малко три делителя
2 Напишете съставните числа от $20$ до $50$
3 Напишете всички прости числа до $100$
4 Напишете три съставни числа, които да са взаимно прости
5 Напишете всички числа от $10$ до $30$, които представляват произведение на две прости числа
6 Разложете на прости множители следните числа: $87, 105, 572, 1260, 1955, 1800, 45000$

Общо кратно и най-малко общо кратно на няколко числа

Числото $16$ е кратно на числата $2, 4 и 8$. То се нарича общо кратно на тези числа. Числото $30$ е общо кратно на числата $2, 3, 5, 6$ и $15$

Две или повече числа имат не едно, а много общи кратни.
Например общо кратно на $5$ и $6$ е числото $30$.

Общи кратни на $5$ и $6$ са така също и числата $60, 90, 120, 150, 180$ и т.н.

Примери
$21$ е най-малкото общо кратно на $3$ и $7; 60$ е най-малкото общо кратно на $12, 15$ и $20$ Най-малко общо кратно записваме съкратено така: НОК $2$ Да се намери НОК на числата $84$ и $120$
За тази цел разлагаме тези числа на простите им множители

$84 = 2.2.3.7$
$120 = 2.2.3.2.5$ или $120 = 2.2.2.3.5$

Най-малкото общо кратно трябва да се дели на $84$, а това значи, че то трябва да съдържа всички прости множители на $84$. Най-малкото общо кратно трябва да се дели и на $120$, а това ще рече, че то трябва да съдържа всички прости множители и на $120$

Ето защо НОК на числата $84$ и $120$ ще получим, като произведението от простите множители на $84$ умножим с тези от простите множители на $120$, които не се съдържат в $84$, т.е.
НОК $= 2.2.3.7.2.5 = 840$
Най-малко общо кратно на повече от две числа намираме по същия начин.

Пример:
Да намерим НОК на числата $42, 135$ и $175$

$42 = 2.3.5$
$135 = 3.3.3.5$
$175 = 5.5.7$
НОК $= 2.3.7.3.3.5.5 = 9450$

Най-малкото общо кратно на няколко числа намираме, като към простите множители на едно от числата припишем ония множители на друго от тях, които липсват във взетото число. Към това произведение припишем ония множители на трето от тях, които липсват в произведението, и т.н. до последното число.

Най-малкото общо кратно на две или повече числа можем да намерим по-бързо така.

Написваме числата едно след друго в хоризонтален ред и след последното число теглим черта.

НОК $= 2.2.3.5.7.7 = 2940$

Най-малкото просто число, което дели поне едно от числата, пишем в дясно от чертата. Делим всички числа с него, а получените частни записваме под дадените числа. Тези от числата, които не се делят на това просто число, преписваме на втория ред. С числата от втория ред постъпваме по същия начин. Делението продължаваме, докато в ляво от чертата от всяко число се получи за частно единица. Умножаваме получените делители в дясно от чертата и получаваме НОК на дадените числа.

НОК - частни случаи

а) Да намерим НОК на числата $10, 15$ и $30$
Понеже $30$ се дели на $10$, на $15$ и на себе си, то е най-малкото общо кратно на дадените числа.

Ако едно от дадените числа се дели на останалите, то е най-малкото общо кратно.
Примери:
НОК на $12, 24$ и $48$ е числото $48$
НОК на $30, 50, 75$ и $150$ е числото $150$

б) да намерим НОК на числата $18, 20, 36$ и $40$
Решение:
Тъй като 18 се съдържа в $36$, а $20$ в $40$, то всяко число, което е кратно на $36$, е кратно и на $18$, а всяко число, което е кратно на $40$, е кратно и на $20$. Затова търсим НОК само на числата $36$ и $40$, а $18$ и $20$ поставяме в скоби, което показва че тези числа няма да се разлагат

НОК $= 2.2.2.3.3.5 = 360$

в) да намерим НОК на числата $2000$ и $10500$(които завършват с нули)
Решение
Предварително делим числата на $100$, тъй като по-малкият брой нули на края е две. След това търсим НОК на получените частни.

НОК $= 2.2.3.5.7.100 = 42000$

г) да намерим НОК на взаимно простите числа $9$ и $16$
Решение:
Понеже тези числа нямат общ делител(освен единица), ако ги разложим, те няма да имат еднакви прости множители. Затова НОК на тези числа ще съдържа всички множители на всяко от тях.
$16 = 2.2.2.2$ $9 = 3.3$
НОК $= 2.2.2.3.3 = 16.9 = 144$

Виждаме, че не е необходимо да разлагаме взаимно протите числа. НОК е равно на тяхното произведение.

По същия начин намираме най-малкото общо кратно на три и повече числа, които две по две са взаимно прости.
Пример. НОК на $8,21$ и $25$, които са две по две взаимно прости, е $8.21.25 = 4200$
По същия начин намираме НОК на две или повече числа, които са прости.

Примери
НОК на простите числа $5$ и $7$ е равно на $5.7 = 35$( Две прости числа са взаимно прости)
НОК на простите числа $2,3$ и $11$ е равно на $2.3.11 = 66$ (Три и повече различни прости числа са две по две взаимно прости).

НОК - Упражнение

1.Напишете три числа, всяко от които да бъде общо кратно на $6$ и $8$

2.Намерете всички общи кратни на $4$ и $5$, които са по-малки от $100$

3.Намерете НОК на числата: $12$ и $15$; $27$ и $18$; $50$ и $80$; $42,56$ и $63$

4.Намерете НОК на числата: $30, 150$ и $400$; $8, 15$ и $13$; $25, 30$ и $75$; $450, 60$ и $180$; $9, 14$ и $11$; $10, 21$ и $23$

5. Обиколката на предното колело на една кола е 3м, а на задното – на 4м. Какво разстояние най-малко трябва да измине колата, та предното и задното колело да се завъртят цяло число пъти?
Отг. 12м.

Още за дроби във форума

още за дроби във форума

Още НОК във форума за математика