Формули за съкратено умножение

Ако имаме сбор(разлика) от две числа на степен втора и трябва да премахнем скобите използаме формулите за съкратено умножение:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x - y)² = x² - 2xy + y²

Примери: ако x = 10, y = 5a
(10 + 5a)² = 10² + 2.10.5a + (5a)² = 100 + 100a + 25a²
(10 - 4)² = 10² - 2.10.4 + 4² = 100 - 80 + 16 = 36
Разбира се обратното също е вярно:
25 + 20a + 4a² = 5² + 2.2.5 + (2a)² = (5 + 2a)²

Следствие от по-горните формули:

(-x + y)² = (y - x)² = y² - 2xy + x²
(-x - y)² = (-(x + y))² = (x + y)² = x² + 2xy + y²

Формули от 3-та степен:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
(x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³

Пример: (1 + a²)³ = 1³ + 3.1².a² + 3.1.(a²)² + (a²)³ = 1 + 3a² + 3a⁴ + a⁶

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x - y - z)² = x² + y² + z² - 2xy - 2xz + 2yz

x² - y² = (x - y)(x + y)

x² + y² = (x + y)² - 2xy
или
x² + y² = (x - y)² + 2xy.

Разложете на множители:
9a² - 25b² = (3a)² - (5b)² = (3a - 5b)(3a + 5b)

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

Ако n е естествено число

xⁿ - yⁿ = (x - y)(x^n-1 + x^n-2y +...+ y^n-2x + y^n-1)

Ако n е четно (n = 2k)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 - x^n-2y +...+ y^n-2x - y^n-1)

Ако n е нечетно (n = 2k + 1)

xⁿ + yⁿ = (x + y)(x^n-1 - x^n-2y +...- y^n-2x + y^n-1)

Още формули

2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
(a + b)² - (a - b)² = 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab
a⁴ - b⁴ = (a + b)(a - b)[(a + b)² - 2ab]

Задачи

1) Решете уравнението: x² - 25 = 0
Отговор: x² - 25 = (x - 5)(x + 5)
=> решение на уравнението е x - 5 = 0 или x + 5 = 0
т.е. уравнението има 2 решения: x = 5 и x = -5

Задачи за упражнение

Задача 1:
Извършете означените действия: (a - b)² - 2(a - b)(a + b) + (a + b)² = ?

Задача 2:
Опростете израза:
(x² + 2)² - (x - 2)(x + 2)(x² + 4)

Формули за съкратено умножение - тест
Действия с едночлени и многочлени - задачи с решения
Разлагане на множители - задачи с решения
Изрази, разлагане... във форума
От архива