Формули за съкратено умножение

Формулите за съкратено умножение са готови резултати от умножения, които се срещат много често. Вместо всеки път да умножаваме всеки член по всеки член, записваме отговора направо. Изучават се в 7. клас, а после се използват навсякъде в алгебрата. Работят в две посоки:

• отляво надясно – за разкриване на скоби: ${{(x+3)^2}={x^2+6x+9}}$;
• отдясно наляво – за разлагане на многочлен на множители: ${{x^2-9}={(x-3)(x+3)}}$.

Във формулите $a$ и $b$ могат да бъдат произволни числа или изрази, например $2x$, $5y^2$ или ${x+1}$.

Таблица на формулите

Име	Формула
Квадрат на сбор	${(a+b)^2}={a^2+2ab+b^2}$
Квадрат на разлика	${(a-b)^2}={a^2-2ab+b^2}$
Разлика на квадрати	${a^2-b^2}={(a-b)(a+b)}$
Куб на сбор	${(a+b)^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$
Куб на разлика	${(a-b)^3}={a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}$
Сбор на кубове	${a^3+b^3}={(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Разлика на кубове	${a^3-b^3}={(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Всяка от тези формули се доказва, като умножим скобите. По-долу ще видите как става това и как се използва всяка формула.

Квадрат на сбор и квадрат на разлика

Защо е така? Да повдигнем на квадрат означава да умножим израза по себе си:

${(a+b)^2}={(a+b)(a+b)}={a^2+ab+ba+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

Двата еднакви члена $ab$ и $ba$ дават удвоеното произведение $2ab$. Същото се вижда и на чертежа: квадрат със страна ${a+b}$ се състои от квадрат $a^2$, два правоъгълника с лице $ab$ и квадрат $b^2$.

${(a+b)^2}={a^2+ab+ab+b^2}={a^2+2ab+b^2}$

При квадрата на разлика се смята по същия начин. Разликата е само в знака пред удвоеното произведение:

${(a-b)^2}={(a-b)(a-b)}={a^2-ab-ba+b^2}={a^2-2ab+b^2}$

Примери

Пример 1. В ${(x+3)^2}$ първият израз е $x$, а вторият е $3$:

${(x+3)^2}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={x^2+6x+9}$

Пример 2. Когато изразът е произведение, например $2a$, го слагаме в скоби, за да повдигнем на квадрат и числото, и буквата:

${(2a-5)^2}={(2a)^2-2\cdot 2a\cdot 5+5^2}={4a^2-20a+25}$

Пример 3.

${(3x+2y)^2}={(3x)^2+2\cdot 3x\cdot 2y+(2y)^2}={9x^2+12xy+4y^2}$

Пример 4. Степените се повдигат на квадрат, като показателят се удвоява:

${(1-x^2)^2}={1^2-2\cdot 1\cdot x^2+(x^2)^2}={1-2x^2+x^4}$

Противоположните изрази имат равни квадрати, затова ${{(b-a)^2}={(a-b)^2}}$ и ${{(-a-b)^2}={(a+b)^2}}$. Например ${(-x-3)^2}={(x+3)^2}={x^2+6x+9}$.

Внимание: ${{(a+b)^2}\ne {a^2+b^2}}$. Не забравяйте удвоеното произведение! Проверка с числа: ${(3+4)^2}=7^2=49$, а ${3^2+4^2}={9+16}=25$. Разликата ${{49-25}=24}$ е точно ${2\cdot 3\cdot 4}$.

Смятане наум

Формулите помагат да повдигаме на квадрат числа, близки до кръгло число:

$51^2={(50+1)^2}={2500+100+1}=2601$

$99^2={(100-1)^2}={10\,000-200+1}=9801$

Разлика на квадрати

Като умножим скобите, двата средни члена се унищожават:

${(a-b)(a+b)}={a^2+ab-ba-b^2}={a^2-b^2}$

Геометрично: изрязваме квадратче $b^2$ от ъгъла на квадрата $a^2$. Остатъкът се разрязва на два правоъгълника, които се подреждат в един правоъгълник със страни ${a+b}$ и ${a-b}$.

${a^2-b^2}={(a+b)(a-b)}$

Примери

${(x-7)(x+7)}={x^2-7^2}={x^2-49}$

${(2y+1)(2y-1)}={(2y)^2-1^2}={4y^2-1}$

В обратна посока формулата разлага разлика на квадрати на множители:

${9a^2-25b^2}={(3a)^2-(5b)^2}={(3a-5b)(3a+5b)}$

И смятане наум: ${51\cdot 49}={(50+1)(50-1)}={2500-1}=2499$, ${102\cdot 98}={100^2-2^2}=9996$.

Внимание: сборът от квадрати ${a^2+b^2}$ няма такава формула – той не се разлага на множители с реални числа. Затова ${x^2+9}$ остава така. Сборът от квадрати може само да се изрази чрез квадрата на сбора или на разликата: ${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={(a-b)^2+2ab}$.

Куб на сбор и куб на разлика

Доказателство: ${(a+b)^3}$ е ${(a+b)^2}$, умножено още веднъж по ${(a+b)}$:

${(a+b)^3}={(a^2+2ab+b^2)(a+b)}={a^3+a^2b+2a^2b}+{2ab^2+ab^2+b^3}={a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$

Примери

${(2x-1)^3}={(2x)^3-3\cdot(2x)^2\cdot 1}+{3\cdot 2x\cdot 1^2-1^3}={8x^3-12x^2+6x-1}$

${(1+a^2)^3}={1+3\cdot a^2+3\cdot(a^2)^2+(a^2)^3}={1+3a^2+3a^4+a^6}$

Наум: $11^3={(10+1)^3}={1000+300+30+1}=1331$.

Внимание: ${{(a+b)^3}\ne {a^3+b^3}}$. Например ${{(1+2)^3}=27}$, а ${{1^3+2^3}=9}$.

Сбор и разлика на кубове

Изразът ${a^2-ab+b^2}$ се нарича непълен квадрат на разликата: прилича на ${(a-b)^2}$, но средният член е $ab$, а не $2ab$. Аналогично ${a^2+ab+b^2}$ е непълен квадрат на сбора. Как да запомним знаците:

• в първата скоба е същият знак като в лявата страна;
• средният член на втората скоба е с обратния знак;
• последният знак винаги е плюс.

Проверка чрез умножение – всички средни членове се унищожават:

${(a+b)(a^2-ab+b^2)}={a^3-a^2b+ab^2}+{a^2b-ab^2+b^3}={a^3+b^3}$

Примери

${x^3-8}={x^3-2^3}={(x-2)(x^2+2x+4)}$

${27a^3+1}={(3a)^3+1^3}={(3a+1)(9a^2-3a+1)}$

Непълните квадрати не се разлагат повече на множители с реални числа.

Обратната посока: разлагане на множители

Често трябва да познаем формулата в даден многочлен. Тричлен от вида ${a^2\pm 2ab+b^2}$ е пълен квадрат. Как да го разпознаем:

1. Два от членовете са квадрати: ${x^2=(x)^2}$, ${9=3^2}$, ${4a^2=(2a)^2}$.
2. Третият член е удвоеното произведение на основите им: ${{2\cdot x\cdot 3}=6x}$.
3. Знакът на удвоеното произведение е знакът в скобата.

${x^2+6x+9}={x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2}={(x+3)^2}$

${25+20a+4a^2}={5^2+2\cdot 5\cdot 2a+(2a)^2}={(5+2a)^2}$

${4y^2-12y+9}={(2y)^2-2\cdot 2y\cdot 3+3^2}={(2y-3)^2}$

А ${x^2+5x+9}$ не е пълен квадрат, защото ${2\cdot x\cdot 3}=6x\ne 5x$.

Понякога формулата се прилага повече от веднъж. Първо изнасяме общия множител пред скоби, ако има такъв:

${2x^3-18x}={2x(x^2-9)}={2x(x-3)(x+3)}$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x^2+4)}$

Още полезни формули

${(a+b+c)^2}={a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}$

${(a-b-c)^2}={a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc}$

${(a+b)^2+(a-b)^2}={2(a^2+b^2)}$

${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$

${(a-b)^2}={(a+b)^2-4ab}$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}$

${a^4-b^4}={(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

С тях можем да пресметнем израз, без да намираме самите числа. Ако ${{a+b}=5}$ и ${ab=6}$, то

${a^2+b^2}={(a+b)^2-2ab}={25-12}=13$

${a^3+b^3}={(a+b)^3-3ab(a+b)}={125-90}=35$

Формули за степен n

Разликата на квадрати и разликата на кубове са частни случаи на формула, която е вярна за всяко естествено число ${n\ge 2}$:

${a^n-b^n}={(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

Във втората скоба степените на $a$ намаляват, степените на $b$ растат, а всички знаци са плюс. Например:

${a^4-b^4}={(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}$

Ако $n$ е нечетно, сборът ${a^n+b^n}$ се дели на ${a+b}$ (знаците във втората скоба се редуват):

${a^n+b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots+b^{n-1})}$

${a^5+b^5}={(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)}$

Ако $n$ е четно, на ${a+b}$ се дели разликата ${a^n-b^n}$, а не сборът:

${a^n-b^n}={(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\dots-b^{n-1})}$

При четно $n$ сборът ${a^n+b^n}$ не се дели на ${a+b}$. Например ${a^2+b^2}$ изобщо не се разлага.

Триъгълник на Паскал

Коефициентите в ${(a+b)^n}$ се четат от триъгълника на Паскал. Всеки ред започва и завършва с 1, а всяко друго число е сбор от двете числа над него:

Редът $1,\ 2,\ 1$ дава ${(a+b)^2}$, редът $1,\ 3,\ 3,\ 1$ дава ${(a+b)^3}$, а следващият ред дава

${(a+b)^4}={a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$

Степените на $a$ намаляват от $n$ до 0, а степените на $b$ растат от 0 до $n$. При ${(a-b)^n}$ знаците се редуват, като се започва с плюс.

Решени задачи

Задача 1. Решете уравнението ${{x^2-25}=0}$.

Решение: Лявата страна е разлика на квадрати: ${{x^2-25}={(x-5)(x+5)}}$. Произведението е нула, когато поне един от множителите е нула: ${{x-5}=0}$ или ${{x+5}=0}$. Уравнението има два корена: ${x_1=5}$ и ${x_2=-5}$.

Задача 2. Опростете израза ${(x+2)^2-(x-2)^2}$.

Решение: ${(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)}=8x$. Още по-бързо е с формулата ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$, в която ${a=x}$ и ${b=2}$, така че резултатът е ${{4\cdot x\cdot 2}=8x}$.

Задача 3. Решете уравнението ${{(x+3)^2-(x-1)^2}=24}$.

Решение: ${(x^2+6x+9)-(x^2-2x+1)}=24$, т.е. ${{8x+8}=24}$, откъдето ${x=2}$. Проверка: ${{5^2-1^2}=24}$.

Задача 4. Пресметнете ${1001^2-999^2}$.

Решение: ${1001^2-999^2}={(1001-999)(1001+999)}={2\cdot 2000}=4000$.

Задача 5. Разложете на множители ${3x^3-12x}$.

Решение: ${3x^3-12x}={3x(x^2-4)}={3x(x-2)(x+2)}$.

Задача 6. Докажете, че разликата от квадратите на две последователни нечетни числа се дели на 8.

Решение: Две последователни нечетни числа са ${2k-1}$ и ${2k+1}$. По формулата ${(a+b)^2-(a-b)^2}=4ab$ с ${a=2k}$ и ${b=1}$: ${(2k+1)^2-(2k-1)^2}={4\cdot 2k\cdot 1}=8k$, а $8k$ се дели на 8. Например ${7^2-5^2}=24={8\cdot 3}$.

Задачи за упражнение

Решете задачата, след това я отворете, за да проверите отговора си.

1. ${(x+5)^2}$

${x^2+10x+25}$

2. ${(3a-2b)^2}$

${(3a)^2-2\cdot 3a\cdot 2b+(2b)^2}={9a^2-12ab+4b^2}$

3. ${(2y-7)(2y+7)}$

${{(2y)^2-7^2}={4y^2-49}}$

4. Пресметнете наум $49^2$

${(50-1)^2}={2500-100+1}=2401$

5. ${(a+2)^3}$

${a^3+3\cdot a^2\cdot 2+3\cdot a\cdot 2^2+2^3}={a^3+6a^2+12a+8}$

6. Разложете на множители ${16x^2-1}$

${(4x)^2-1^2}={(4x-1)(4x+1)}$

7. Разложете на множители ${x^2-14x+49}$

${x^2-2\cdot x\cdot 7+7^2}={(x-7)^2}$

8. Разложете на множители ${8m^3-125}$

${(2m)^3-5^3}={(2m-5)(4m^2+10m+25)}$

9. Ако ${{a-b}=3}$ и ${ab=10}$, намерете ${a^2+b^2}$

${a^2+b^2}={(a-b)^2+2ab}={9+20}=29$

10. Решете уравнението ${{(x-4)^2}=x^2}$

${{x^2-8x+16}=x^2}$, т.е. ${{-8x+16}=0}$ и ${x=2}$.