Дроби

Въведете две или три дроби, изберете действие, натиснете Реши и калкулаторът ще покаже решението стъпка по стъпка.

Изберете:

Още калкулатори за дроби: НОК, НОД, съкращаване, смесени числа, десетични дроби

На тази страница: Какво е дроб · Примери · Деление · Правилни и неправилни · Числова ос · Равни дроби · Сравняване · Действия · Дроб от число · Тест

Какво е дроб?

Разделете едно цяло (шоколад, пица, отсечка) на равни части и вземете няколко от тях. Взетата част се записва с обикновена дроб.

Лентата по-горе е разделена на $5$ равни части и $3$ от тях са оцветени. Оцветената част е $\frac{3}{5}$ от лентата. Чете се „три пети“.

В дробта $\frac{a}{b}$ числото $b$ под дробната черта е знаменател. Той показва на колко равни части е разделено цялото.

Числото $a$ над дробната черта е числител. Той показва колко от тези части са взети.

В дробта $\frac{3}{5}$ числителят е $3,$ а знаменателят е $5.$ Дробта може да се запише и на един ред: 3/5.

Частите трябва да са равни. Ако една пица е нарязана на $4$ парчета с различна големина, тези парчета не са четвъртинки от пицата.

Как се четат дробите

Числителят се чете с бройно числително в женски род (една, две, три, пет), а знаменателят – с редно числително (пета, осма, десета), защото се подразбира думата „част“. Когато числителят е по-голям от $1,$ редното числително е в множествено число: $\frac{1}{5}$ е „една пета“, но $\frac{3}{5}$ е „три пети“, $\frac{5}{8}$ е „пет осми“, а $\frac{7}{10}$ е „седем десети“. За знаменателите две и четири има и специални думи: $\frac{1}{2}$ е „една втора“ или „половина“, $\frac{1}{4}$ е „една четвърт“ (четвъртинка), $\frac{3}{4}$ е „три четвърти“, а $\frac{3}{2}$ е „три втори“.

Примери с дроби

Пример 1. Таня, Ваня и Павел си разделят по равно един шоколад. Каква част от шоколада получава всяко от децата? Каква част получават заедно Таня и Ваня?

Децата разчупват шоколада на $3$ равни парчета и всяко дете получава $\frac{1}{3}$ от шоколада. Двете момичета заедно имат $2$ парчета от $3,$ т.е. $\frac{2}{3}$ от шоколада. Павел има останалата $\frac{1}{3}.$ Трите парчета заедно са целият шоколад: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1}.$

Пример 2. Каква част от балоните са жълти?

Отговор

Балоните са $5,$ а $2$ от тях са жълти, затова $\frac{2}{5}$ от балоните са жълти. Останалите $3$ балона, т.е. $\frac{3}{5}$ от всички, са зелени.

Пример 3. Каква част от кутията е празна?

Отговор

Кутията има $8$ места и $1$ от тях е празно, затова $\frac{1}{8}$ от кутията е празна. Ябълките са $7$ и заемат $\frac{7}{8}$ от кутията.

Дробта като деление

Три пици се разделят по равно между четири деца. Нарежете всяка пица на $4$ четвъртинки. Получават се $12$ четвъртинки и всяко дете взема $3$ от тях: $\frac{3}{4}$ от пица. Следователно ${3:4=\frac{3}{4}}.$

Дробната черта означава деление: ${\frac{a}{b}=a : b}.$

Значи дробта е число. Като извършим делението, получаваме това число като десетична дроб или като цяло число: ${\frac{3}{4}=3:4=0{,}75},$ ${\frac{1}{2}=0{,}5}$ и ${\frac{6}{3}=2}.$

Знаменателят никога не е $0.$ Едно цяло не може да се раздели на $0$ части, а делението на нула е невъзможно. За всяка дроб $\frac{a}{b}$ е вярно, че ${b\ne 0}.$

В алгебрата числителят и знаменателят могат да бъдат и отрицателни цели числа (но знаменателят никога не е $0$), например ${\frac{-2}{3}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}}.$ Числата, които могат да се запишат като дроб $\frac{a}{b},$ където $a$ и $b$ са цели числа и ${b\ne 0},$ се наричат рационални числа. Навсякъде другаде на тази страница числителите и знаменателите са положителни цели числа.

Правилни и неправилни дроби

Дробта е правилна, ако числителят ѝ е по-малък от знаменателя, например $\frac{3}{4},$ $\frac{5}{8}$ и $\frac{1}{10}.$ Вземаме по-малко части, отколкото има в цялото, затова правилната дроб е по-малка от $1.$

Дробта е неправилна, ако числителят ѝ е по-голям от знаменателя или е равен на него, например $\frac{7}{4},$ $\frac{5}{5}$ и $\frac{9}{2}.$ Неправилната дроб е по-голяма или равна на $1.$ Например ${\frac{5}{5}=1},$ защото $5$ пети образуват цялото.

Неправилната дроб може да е и цяло число: ${\frac{8}{4}=2}$ и ${\frac{12}{4}=3}.$ Всяко цяло число може да се запише като дроб със знаменател $1,$ а и с всеки друг знаменател: ${5=\frac{5}{1}=\frac{10}{2}=\frac{15}{3}}.$

Дроби върху числовата ос

Всяка дроб се изобразява с точка от числовата ос. За да отбележите $\frac{3}{4},$ разделете отсечката от $0$ до $1$ на $4$ равни части и отбройте $3$ части надясно от $0$ (синята точка). За да отбележите $\frac{7}{4},$ отбройте $7$ такива части (оранжевата точка).

Правилните дроби са между $0$ и $1.$ Точката $\frac{4}{4}$ е числото $1,$ а неправилната дроб $\frac{7}{4}$ е вдясно от $1.$

Една точка може да има няколко имена: $\frac{2}{4}$ и $\frac{1}{2}$ са една и съща точка, както и $\frac{6}{4}$ и $\frac{3}{2}.$ От две дроби по-голяма е тази, която е по-вдясно на числовата ос.

Равни дроби

Трите кръга по-долу са еднакви. Първият е разделен на $2$ равни части, вторият – на $4,$ а третият – на $6,$ и във всеки от тях е оцветена половината от кръга.

Оцветената част е една и съща и в трите кръга, затова ${\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}}.$ Дроби, които изразяват едно и също количество, се наричат равни дроби (еквивалентни дроби).

Дробта $\frac{2}{4}$ се получава от $\frac{1}{2},$ като умножим числителя и знаменателя по $2\text{:}$ всяка половинка се разрязва на $2$ парчета, затова частите стават два пъти повече и оцветените части също стават два пъти повече. По същия начин $\frac{3}{6}$ се получава от $\frac{1}{2},$ като умножим числителя и знаменателя по $3.$

Основно свойство на дробите. Ако числителят и знаменателят на една дроб се умножат по едно и също число, различно от нула, или се разделят на такова число, стойността на дробта не се променя: при ${c\ne 0}$

$$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}\qquad\frac{a}{b}=\frac{a : c}{b : c}$$

Разширяване на дроби

За да запишете $\frac{3}{4}$ със знаменател $20,$ намерете по колко трябва да се умножи $4,$ за да се получи $20.$ Това е $5,$ затова умножете и числителя по $5\text{:}$

${\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}}$

Това се нарича разширяване на дробта. Така дробите се привеждат към общ знаменател, преди да ги съберем, извадим или сравним.

Съкращаване на дроби

Да съкратим една дроб означава да разделим числителя и знаменателя ѝ на едно и също число, по-голямо от $1$ (общ делител). Стойността на дробта не се променя, но числата стават по-малки. Дробта е несъкратима, когато числителят и знаменателят ѝ нямат общ делител, по-голям от $1,$ например $\frac{3}{4}$ или $\frac{5}{8}.$

Пример: съкратете $\frac{18}{24}.$ Двете числа са четни, затова ги разделяме на $2\text{:}$ ${\frac{18}{24}=\frac{9}{12}}.$ И $9,$ и $12$ се делят на $3\text{:}$ ${\frac{9}{12}=\frac{3}{4}}.$

По-бързо е да разделим наведнъж на най-големия общ делител (НОД) на числителя и знаменателя. НОД на $18$ и $24$ е $6,$ затова

${\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}}.$

Равни ли са две дроби?

Две дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ са равни точно тогава, когато кръстосаните им произведения са равни: ${a\cdot d=b\cdot c}.$

Пример: $\frac{6}{8}$ и $\frac{9}{12}.$ Кръстосаните произведения са ${6\cdot 12=72}$ и ${8\cdot 9=72}.$ Те са равни, затова ${\frac{6}{8}=\frac{9}{12}}$ (и двете дроби са равни на $\frac{3}{4}$). Но ${\frac{2}{3}\ne\frac{3}{5}},$ защото ${2\cdot 5=10},$ а ${3\cdot 3=9}.$

Сравняване на дроби

Дроби с равни знаменатели

От две дроби с равни знаменатели по-голяма е тази, която има по-голям числител.

Частите са еднакво големи, затова колкото повече части вземем, толкова повече получаваме: ${\frac{4}{5}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{2}{5}}.$

Дроби с равни числители

От две дроби с равни числители по-голяма е тази, която има по-малък знаменател.

Колкото на по-малко части е разделено цялото, толкова по-голяма е всяка част: една четвърт от пица е повече от една пета от нея. Затова ${\frac{3}{4}\gt\frac{3}{5}\gt\frac{3}{20}}.$

Различни числители и знаменатели

Приведете дробите към общ знаменател и сравнете числителите им.

Пример: сравнете $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{7}.$ Общ знаменател е ${4\cdot 7=28},$ а ${\frac{3}{4}=\frac{21}{28}},$ ${\frac{5}{7}=\frac{20}{28}}.$ Тъй като ${21\gt 20},$ получаваме ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Кръстосаните произведения дават същия отговор по-бързо. Умножете числителя на всяка дроб по знаменателя на другата: ${3\cdot 7=21}$ за $\frac{3}{4}$ и ${5\cdot 4=20}$ за $\frac{5}{7}.$ По-голяма е дробта с по-голямото произведение: ${21\gt 20},$ затова ${\frac{3}{4}\gt\frac{5}{7}}.$

Понякога помага сравнението с $\frac{1}{2}.$ Имаме ${\frac{4}{9}\lt\frac{1}{2}},$ защото $4$ е по-малко от половината на $9,$ а ${\frac{5}{8}\gt\frac{1}{2}},$ защото $5$ е повече от половината на $8.$ Така без никакви пресмятания получаваме ${\frac{4}{9}\lt\frac{5}{8}}.$

Вижте още: Сравняване на дроби

Промяна само на числителя или само на знаменателя

Ако числителят се умножи по някое число, а знаменателят остане същият, дробта се увеличава толкова пъти: ${\frac{2\cdot 3}{7}=\frac{6}{7}},$ която е $3$ пъти по-голяма от $\frac{2}{7}.$

Ако знаменателят се умножи по число, различно от $0,$ а числителят остане същият, дробта намалява толкова пъти: ${\frac{2}{7\cdot 3}=\frac{2}{21}},$ която е една трета от $\frac{2}{7}.$

Действия с дроби

Ето правилата, всяко от тях с пример. Калкулаторът в началото на страницата решава такива задачи стъпка по стъпка.

Събиране и изваждане на дроби с равни знаменатели

Съберете или извадете числителите, а знаменателя запазете:

$$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\qquad\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$$

${\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}}$

${\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4-2}{5}=\frac{2}{5}}$

Една пета и две пети са три пети, както $1$ ябълка и $2$ ябълки са $3$ ябълки. Знаменателят показва само колко големи са частите.

Събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо приведете дробите към общ знаменател: число, което се дели и на двата знаменателя. Най-удобен е най-малкият общ знаменател, т.е. най-малкото общо кратно (НОК) на знаменателите.

Пример: ${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}.$ НОК на $6$ и $4$ е $12.$ Тъй като ${12:6=2}$ и ${12:4=3},$ умножаваме числителя и знаменателя на първата дроб по $2,$ а на втората – по $3\text{:}$

${\frac{5}{6}+\frac{3}{4}}={\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}+\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}}={\frac{10}{12}+\frac{9}{12}}={\frac{19}{12}}$

Произведението на знаменателите винаги е общ знаменател. Оттук следва правило за всеки две дроби:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}$$ $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}$$

${\frac{3}{5}-\frac{1}{2}}={\frac{3\cdot 2-5\cdot 1}{5\cdot 2}}={\frac{6-5}{10}}={\frac{1}{10}}$

При по-големи знаменатели произведението дава по-големи числа и резултатът често трябва да се съкрати: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{6+4}{24}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}}.$ С НОК $12$ е по-кратко: ${\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}}.$

Вижте още: Привеждане на дроби към общ знаменател

Умножение на дроби

Умножете числителите помежду си и знаменателите помежду си:

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

${\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{8}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 8}=\frac{21}{40}}$

По-лесно е да съкратите, преди да умножите. В ${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}$ разделете $4$ и $8$ на $4,$ а $3$ и $9$ – на $3\text{:}$

${\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}}={\frac{4\cdot 3}{9\cdot 8}}={\frac{1\cdot 1}{3\cdot 2}}={\frac{1}{6}}$

За да умножите дроб по цяло число, умножете само числителя: ${3\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{5}=\frac{6}{5}}.$

Деление на дроби

Две числа са реципрочни, ако произведението им е $1.$ За да получите реципрочната (обратната) дроб, разменете числителя и знаменателя на дадената дроб: реципрочната дроб на $\frac{2}{9}$ е $\frac{9}{2},$ а реципрочното число на $5$ е $\frac{1}{5}.$ Числото $0$ няма реципрочно число.

За да разделите на дроб, различна от $0,$ умножете по реципрочната ѝ дроб:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

${\frac{3}{5}:\frac{2}{9}=\frac{3}{5}\cdot\frac{9}{2}=\frac{27}{10}}$

Защо е така? Колко половинки има в $3$ цели? Във всяко цяло има $2$ половинки, значи половинките са $6\text{:}$ ${3:\frac{1}{2}=3\cdot 2=6}.$ Делението на $\frac{1}{2}$ е същото като умножението по $2.$

Дроб от число

Намиране на дроб от число. Колко ябълки са $\frac{3}{4}$ от $20$ ябълки? Една четвърт от $20$ е ${20:4=5},$ а три четвърти са ${3\cdot 5=15}$ ябълки. За да намерите дроб от число, умножете числото по дробта:

${\frac{3}{4}\cdot 20=\frac{3\cdot 20}{4}=15}$

Намиране на число по дадена негова дроб. В един клас $\frac{2}{5}$ от учениците са $12$ на брой. Колко ученици има в класа? Две пети са $12$ ученици, значи една пета е ${12:2=6}$ ученици, а целият клас (пет пети) е ${5\cdot 6=30}$ ученици. За да намерите число по дадена негова дроб, разделете на дробта:

${12:\frac{2}{5}=12\cdot\frac{5}{2}=30}$

Каква част е едно число от друго. Нека $8$ от тези $30$ ученици носят очила. Това е ${\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}$ от класа: частта се записва в числителя, а цялото – в знаменателя. Въпроси 1–3 от теста по-долу са от този вид.

Тест върху дроби

Изберете по един отговор на всеки въпрос и натиснете Провери. Под всеки въпрос, на който сте отговорили, ще се появи обяснение. Въпросите със звездичка (*) са по-трудни.