МенюГраницa на редицa
Вече знаем какво е аритметична и геометрична прогресия - редица от стойности.
Нека да вземем редицата an = 1/n, ако k
и m са естествени числа, тогава за всяко k < m следва ak > am,
то ест, колкото по-голямо става n толкова по-малко става an
и е винаги положително, но никога не достига нула. В този случай казваме, че 0 е граница на
lim an->∞
ако n->∞, или иначе написано
limn->∞ an = 0.
Дефиниция за граница
Числото a се нарича граница на редица, ако за всяко ε > 0 може да бъде намерено число nε, така че за всички членове на редицата an с индекс n > nε е вярно, че a - ε < an < a + ε.
Основни правила
Не всяка редица има граница и не всяка граница е реална(понякога е -∞ или +∞). Границите +∞ и -∞ се наричат нереални граници или неистински.
Ако редиците an и bn имат реални граници, тогава редиците
an + bn, an - bn,
an.bn и an / bn също имат реални граници и:
limn -> ∞(an - bn) = limn -> ∞an - limn -> ∞bn
limn -> ∞(an . bn) = limn -> ∞an . limn -> ∞bn
limn -> ∞(an/ bn) = limn -> ∞an / limn -> ∞bn
ако bn ≠ 0 и limn->∞bn ≠ 0
Ако an < bn за всяко естествено n
и limn->∞an = a,
limn->∞bn = b
тогава a ≤ b
Ако an ≤ bn ≤ cn за всяко естествено
n и ако limn->∞an = limn->∞cn = A
тогава limn->∞bn = A.
Ако an ≥ 0 и limn->∞an = a,
тогава редицата bn = √an
също има граница и
limn->∞√an = √an.
Ако an = 1/nk и k ≥ 1 тогава limn->∞an = 0.
Ако -1 < q < 1, то limn->∞qn = 0.
(1+1/n)n < e < (1 + 1/n)n-1
e се нарича числото на Непер.
Ако редицата an има нереална граница (-∞
или +∞)
тогава редицата 1/an има граница и
limn->∞1/an = 0
Ако редиците an и bn имат нереални граници limn->∞an=+∞, limn->∞bn=+∞ то:
limn->∞(an . bn) = +∞
limn->∞ank = +∞ ако k > 0
limn->∞ank = 0; ако k < 0
limn->∞-an = -∞
Задачи
Задача 1:
If an = 5.4n, limn->0an = ?
Отговор:
limn->0an = limn->05 . limn->04n = 5 . 40 = 5.1 = 5
Задача 2:
| If an = |
|
then limn->∞an = ? |
Отговор:
| limn->∞ |
|
= limn->∞ |
|
. |
|
= limn->∞ |
|
= -3 |
Задача 3:
| If liman->1 = |
|
= ? |
Отговор:
| liman->1 = |
|
= | liman->∞ |
|
= |
