Логаритъм (log, lg, ln)

На каква степен трябва да повдигнем 2, за да получим 8? Отговорът е 3, защото ${2^3=8}.$ Числото 3 се нарича логаритъм от 8 при основа 2 и се записва ${\log_2 8=3}.$ Чете се „логаритъм от 8 при основа 2 е равен на 3“.

Числото $a$ се нарича основа на логаритъма, а $b$ е логаритмуваното число. Самият логаритъм $c$ може да бъде всяко реално число: положително, отрицателно, нула или дроб.

Примери

• ${\log_3 81=4},$ защото ${3^4=81}.$
• ${\log_{10} 1000=3},$ защото ${10^3=1000}.$
• ${\log_5\frac{1}{25}=-2},$ защото ${5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}}.$
• ${\log_9 3=\frac12},$ защото ${9^{\frac12}=\sqrt9=3}.$
• ${\log_{1/2} 8=-3},$ защото ${\left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8}.$
• ${\log_7 1=0},$ защото ${7^0=1}.$

Анимиран пример: колко е $\log_2 64?$

Кога логаритъмът съществува

• Числото е положително: ${b\gt 0}.$ Всяка степен на положително число е положителна, затова уравненията ${2^c=0}$ и ${2^c=-4}$ нямат решение. Логаритъм от нула и от отрицателно число не съществува: $\log_2 0$ и $\log_2(-4)$ нямат смисъл.
• Основата е положителна: ${a\gt 0}.$ Степен на отрицателно число не е определена за всеки показател. Например ${(-4)^{\frac12}}$ би трябвало да е $\sqrt{-4},$ а такова реално число няма.
• Основата не е 1: ${a\ne 1}.$ Всяка степен на 1 е равна на 1. Затова ${1^c=5}$ няма решение, а ${1^c=1}$ има безброй много решения.

На тази страница: lg и ln · Основни свойства · Произведение, частно, степен · Смяна на основата · Графика · Уравнения и неравенства · Калкулатор · Решени задачи · Чести грешки · Упражнения

Десетичен и натурален логаритъм

Две основи се използват толкова често, че логаритмите при тях имат свои означения.

• ${\lg 100=2},$ ${\lg 1000=3}$ и ${\lg 0{,}01=-2},$ защото ${10^{-2}=0{,}01}.$
• ${\ln e=1},$ ${\ln 1=0},$ ${\ln e^5=5}$ и ${\ln\frac1e=-1}.$

На калкулатора бутонът log пресмята десетичния логаритъм, а бутонът ln пресмята натуралния. Например ${\lg 2\approx 0{,}30103}$ и ${\ln 2\approx 0{,}69315}.$ Логаритъм при друга основа се пресмята с формулата за смяна на основата.

Десетичният логаритъм показва колко е голямо едно число. Ако ${10^n\le b\lt 10^{n+1}},$ то ${n\le\lg b\lt n+1},$ т.е. числото $b$ има ${n+1}$ цифри преди десетичната запетая. Логаритмични скали се използват и в науката: киселинността на разтвор е ${\mathrm{pH}=-\lg[\mathrm{H}^+]},$ силата на звука се мери в децибели, а силата на земетресенията по скалата на Рихтер.

Основни свойства

Следните равенства идват направо от определението. Навсякъде ${a\gt 0},$ ${a\ne 1}$ и ${b\gt 0}.$

Свойство	Защо е вярно
${\log_a 1=0}$	${a^0=1}$
${\log_a a=1}$	${a^1=a}$
${\log_a a^c=c}$	за да получим $a^c,$ повдигаме $a$ на степен $c$
${a^{\log_a b}=b}$	$\log_a b$ е точно показателят, на който повдигаме $a,$ за да получим $b$

Последното равенство се нарича основно логаритмично тъждество. Например ${3^{\log_3 7}=7},$ ${10^{\lg 5}=5}$ и ${e^{\ln 2}=2}.$

Двете последни равенства показват, че степенуването и логаритмуването при една и съща основа $a$ са обратни действия: всяко от тях отменя другото.

Логаритъм от произведение, частно и степен

Заради тези правила са измислени логаритмите: те превръщат умножението в събиране, а делението в изваждане. Джон Непер публикува първите таблици с логаритми през 1614 г. С тях астрономите заменят дългите умножения на многоцифрени числа със събиране на логаритмите им.

Защо е вярно. Нека ${\log_a b=x}$ и ${\log_a c=y},$ т.е. ${b=a^x}$ и ${c=a^y}.$ Тогава

${bc=a^x\cdot a^y=a^{x+y}},$   ${\frac{b}{c}=\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}},$   ${b^n=(a^x)^n=a^{nx}}$

По определението за логаритъм ${\log_a(bc)=x+y},$ ${\log_a\frac{b}{c}=x-y}$ и ${\log_a b^n=nx}.$ Правилата за логаритмите са правилата за степените, прочетени отзад напред.

Примери

• ${\log_2(5\cdot 4)}={\log_2 5+\log_2 4}={\log_2 5+2}$
• ${\log_2\frac54}={\log_2 5-\log_2 4}={\log_2 5-2}$
• ${\log_2 8}={\log_2 2^3}={3\log_2 2}={3}$
• ${\lg 2+\lg 5=\lg 10=1}$
• ${\log_3 54-\log_3 2}={\log_3 27}={3}$

Два частни случая на третото правило се срещат много често:

Например ${\log_2\frac18=-\log_2 8=-3}$ и ${\log_2\sqrt{32}=\frac12\log_2 32=\frac52}.$

Внимание при четна степен. Равенството ${\log_a b^2=2\log_a b}$ важи само за ${b\gt 0}.$ Числото $b^2$ е положително и при отрицателно $b,$ затова за всяко ${b\ne 0}$ е вярно ${\log_a b^2=2\log_a|b|}.$ Например ${\lg\bigl((-10)^2\bigr)}={\lg 100}={2},$ а $\lg(-10)$ не съществува.

Логаритъм от сбор. Формула за ${\log_a(b+c)}$ и ${\log_a(b-c)}$ няма. В общия случай ${\log_a(b+c)\ne\log_a b+\log_a c}.$ Например ${\log_2(4+4)=\log_2 8=3},$ а ${\log_2 4+\log_2 4=4}.$

Смяна на основата

Защо е вярно. Логаритмуваме двете страни на основното тъждество ${a^{\log_a b}=b}$ при основа $c$: ${\log_c a^{\log_a b}=\log_c b},$ т.е. ${\log_a b\cdot\log_c a=\log_c b}.$ Остава да разделим на ${\log_c a\ne 0}.$

С тази формула всеки логаритъм се пресмята на калкулатор:

${\log_2 3}={\frac{\lg 3}{\lg 2}}={\frac{\ln 3}{\ln 2}}\approx{1{,}585}$

Новата основа може да е всяко положително число, различно от 1, например 7: ${\log_2 3=\frac{\log_7 3}{\log_7 2}}.$

Следствия. Числата под знака на логаритъма са положителни, основите са положителни и различни от 1, а ${n\ne 0}$:

Например ${\log_8 2=\frac{1}{\log_2 8}=\frac13},$ ${\log_2 3\cdot\log_3 8=\log_2 8=3}$ и ${\log_9 27}={\log_{3^2} 3^3}={\frac32\log_3 3}={\frac32}.$

Логаритмична функция и нейната графика

Функцията ${y=\log_a x},$ където ${a\gt 0}$ и ${a\ne 1},$ се нарича логаритмична функция. Тя е определена само за ${x\gt 0},$ а стойностите ѝ са всички реални числа.

Графиките на ${y=\log_2 x},$ ${y=\ln x}$ и ${y=\lg x}.$ Всички минават през точката ${(1;\ 0)},$ а стойност 1 достигат при ${x=a}.$

При всяка основа графиката минава през точките ${(1;\ 0)}$ и ${(a;\ 1)},$ защото ${\log_a 1=0}$ и ${\log_a a=1}.$ Оста $Oy$ е асимптота на графиката: когато $x$ се доближава до 0, графиката се отдалечава неограничено от оста $Ox.$ Дали функцията расте, или намалява, зависи от основата:

	${a\gt 1}$	${0\lt a\lt 1}$
Функцията	расте	намалява
При ${0\lt x\lt 1}$	${\log_a x\lt 0}$	${\log_a x\gt 0}$
При ${x\gt 1}$	${\log_a x\gt 0}$	${\log_a x\lt 0}$
Когато ${x\to 0}$	${\log_a x\to-\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$
Когато ${x\to+\infty}$	${\log_a x\to+\infty}$	${\log_a x\to-\infty}$

Графиките на ${y=\log_2 x}$ и ${y=\log_{1/2} x}$ са симетрични спрямо оста $Ox,$ защото ${\log_{1/2} x=-\log_2 x}.$

${y=\log_2 x}$ расте, а ${y=\log_{1/2} x}$ намалява.

Логаритмичната функция ${y=\log_a x}$ е обратна на показателната функция ${y=a^x}$: ако ${y=a^x},$ то ${x=\log_a y}.$ Затова графиките им са симетрични спрямо правата ${y=x}.$ Например точката ${(1;\ 2)}$ лежи на графиката на ${y=2^x},$ а точката ${(2;\ 1)}$ лежи на графиката на ${y=\log_2 x}.$

Графиките на ${y=2^x}$ и ${y=\log_2 x}$ са симетрични спрямо правата ${y=x}.$

Логаритмични уравнения и неравенства

Логаритмичната функция е строго монотонна, затова различни числа имат различни логаритми при една и съща основа. Следователно от равенство на логаритмите следва равенство на числата. Този преход от логаритмите към самите числа се нарича антилогаритмуване (потенциране).

Как се решава логаритмично уравнение

1. Намираме допустимите стойности: всеки израз под знака на логаритъма трябва да е положителен. Ако неизвестното е в основата, тя трябва да е положителна и различна от 1.
2. С правилата за логаритми свеждаме уравнението до вида ${\log_a f(x)=\log_a g(x)}$ или ${\log_a f(x)=c}.$
3. Антилогаритмуваме: ${f(x)=g(x)}$ или по определението ${f(x)=a^c}.$ Решаваме полученото уравнение.
4. Оставяме само корените, които са допустими.

Пример 1. ${\log_3(2x-1)=2}.$ Допустими са ${x\gt\frac12}.$ По определението ${2x-1=3^2=9},$ откъдето ${x=5}.$ То е допустимо.

Пример 2. ${\log_2(x+1)}={\log_2(3x-5)}.$ Допустими са тези $x,$ за които ${x+1\gt 0}$ и ${3x-5\gt 0},$ т.е. ${x\gt\frac53}.$ Антилогаритмуваме: ${x+1=3x-5},$ откъдето ${x=3}.$ Проверка: двете страни са равни на $\log_2 4.$

Пример 3. Сравнете $\log_{0{,}5} 3$ и $\log_{0{,}5} 7.$ Основата е по-малка от 1, затова по-голямото число има по-малък логаритъм: ${\log_{0{,}5} 3\gt\log_{0{,}5} 7}.$

Калкулатор за логаритми

Въведете основата и числото. За натурален логаритъм напишете за основа буквата e. Може да въвеждате и дроби, например 1/2. Когато логаритъмът е рационално число, калкулаторът го намира точно и показва защо. Иначе пресмята приближената стойност чрез смяна на основата.

Решени задачи

Задача 1. Пресметнете: а) $\log_2 32;$ б) $\log_3\frac19;$ в) $\log_{1/2} 16;$ г) $\lg 0{,}01;$ д) $\log_{27} 3.$

Решение: Търсим показателя, на който трябва да повдигнем основата, за да получим числото.

• а) ${2^5=32},$ затова ${\log_2 32=5}.$
• б) ${3^{-2}=\frac19},$ затова ${\log_3\frac19=-2}.$
• в) ${\left(\frac12\right)^{-4}=2^4=16},$ затова ${\log_{1/2} 16=-4}.$
• г) ${10^{-2}=0{,}01},$ затова ${\lg 0{,}01=-2}.$
• д) ${27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3},$ затова ${\log_{27} 3=\frac13}.$

Задача 2. Намерете $x$: а) ${\log_3 x=-2};$ б) ${\log_x 16=4};$ в) ${\log_{\sqrt3} 9=x}.$

Решение:

• а) По определението ${x=3^{-2}=\frac19}.$
• б) ${x^4=16},$ а основата трябва да е положителна и различна от 1. Затова ${x=2}.$ Числото $-2$ също е решение на ${x^4=16},$ но не може да е основа.
• в) ${\left(\sqrt3\right)^x=9},$ а ${9=\left(\sqrt3\right)^4}.$ Затова ${x=4}.$

Задача 3. Пресметнете: а) $2^{3+\log_2 5};$ б) $25^{\log_5 3}.$

Решение: Използваме основното логаритмично тъждество.

а) ${2^{3+\log_2 5}}={2^3\cdot 2^{\log_2 5}}={8\cdot 5}={40}$

б) ${25^{\log_5 3}}={\left(5^2\right)^{\log_5 3}}={\left(5^{\log_5 3}\right)^2}={3^2}={9}$

Задача 4. Пресметнете: а) ${\lg 8+3\lg 5};$ б) ${\log_6 4+\log_6 9};$ в) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}.$

Решение:

а) ${\lg 8+3\lg 5}={\lg 8+\lg 5^3}={\lg(8\cdot 125)}={\lg 1000}={3}$

б) ${\log_6 4+\log_6 9}={\log_6(4\cdot 9)}={\log_6 36}={2}$

в) ${\log_3 18}-{\log_3 2+\log_3\frac{1}{27}}={\log_3 9+\log_3 3^{-3}}={2-3}={-1}$

Задача 5. Пресметнете ${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}.$

Решение: Прилагаме два пъти формулата ${\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c}$:

${\log_2 3\cdot\log_3 4\cdot\log_4 8}={\log_2 4\cdot\log_4 8}={\log_2 8}={3}$

Същото получаваме, ако запишем всеки множител като частно на десетични логаритми: ${\frac{\lg 3}{\lg 2}\cdot\frac{\lg 4}{\lg 3}\cdot\frac{\lg 8}{\lg 4}}={\frac{\lg 8}{\lg 2}}={3}.$

Задача 6. Дадено е, че ${\lg 2=a}$ и ${\lg 3=b}.$ Изразете чрез $a$ и $b$: а) $\lg 12;$ б) $\lg 5;$ в) $\log_6 24.$

Решение:

а) ${\lg 12}={\lg\left(2^2\cdot 3\right)}={2\lg 2+\lg 3}={2a+b}$

б) ${\lg 5}={\lg\frac{10}{2}}={\lg 10-\lg 2}={1-a}$

в) ${\log_6 24}={\frac{\lg 24}{\lg 6}}={\frac{\lg\left(2^3\cdot 3\right)}{\lg(2\cdot 3)}}={\frac{3a+b}{a+b}}$

Задача 7. Колко цифри има числото $2^{100}?$ Използвайте, че ${\lg 2\approx 0{,}30103}.$

Решение: ${\lg 2^{100}}={100\lg 2}\approx{30{,}103}.$ Значи ${30\lt\lg 2^{100}\lt 31},$ т.е. ${10^{30}\lt 2^{100}\lt 10^{31}}.$ Най-малкото 31-цифрено число е $10^{30},$ а $10^{31}$ вече има 32 цифри. Затова $2^{100}$ има 31 цифри.

Задача 8. Решете уравнението ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}.$

Решение: Допустими са тези $x,$ за които ${x-1\gt 0}$ и ${x+1\gt 0},$ т.е. ${x\gt 1}.$ Сборът на логаритмите е логаритъм от произведението:

${\log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)}={3},$   ${x^2-1=2^3},$   ${x^2=9},$   ${x=\pm 3}$

Коренът ${x=-3}$ не е допустим, защото $\log_2(-4)$ не съществува. Отговор: ${x=3}.$ Проверка: ${\log_2 2+\log_2 4}={1+2}={3}.$

Задача 9. Решете уравнението ${\lg^2 x-3\lg x+2=0}.$

Решение: Допустими са ${x\gt 0}.$ Тук $\lg^2 x$ означава ${(\lg x)^2}.$ Полагаме ${\lg x=t}$ и получаваме ${t^2-3t+2=0}$ с корени ${t_1=1}$ и ${t_2=2}$:

${\lg x=1\Rightarrow x=10},$   ${\lg x=2\Rightarrow x=100}$

Отговор: ${x_1=10},$ ${x_2=100}.$

Задача 10. Решете неравенството ${\log_{1/3}(2x-1)\ge -1}.$

Решение: Допустими са ${x\gt\frac12}.$ Записваме дясната страна като логаритъм при същата основа: ${-1=\log_{1/3} 3},$ защото ${\left(\frac13\right)^{-1}=3}.$

${\log_{1/3}(2x-1)\ge\log_{1/3} 3}$

Основата е между 0 и 1, затова знакът на неравенството се обръща: ${2x-1\le 3},$ т.е. ${x\le 2}.$ Заедно с допустимите стойности получаваме ${\frac12\lt x\le 2},$ т.е. ${x\in\left(\frac12;\ 2\right]}.$

Чести грешки

Грешка	Грешно	Вярно
Логаритъм от сбор е сметнат като сбор от логаритми	${\log_2(4+4)}={\log_2 4+\log_2 4}={4}$	${\log_2(4+4)=\log_2 8=3}$
Частно на логаритми е сметнато като разлика	${\frac{\log_2 8}{\log_2 4}}={\log_2 8-\log_2 4}={1}$	${\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac32}$
Степен на логаритъм е объркана с логаритъм от степен	${(\log_2 8)^2=2\log_2 8=6}$	${(\log_2 8)^2=3^2=9},$ а ${\log_2 8^2=2\log_2 8=6}$
Изгубени са отрицателните $x$ при четна степен	${\lg x^2=2\lg x}$ за всяко ${x\ne 0}$	${\lg x^2=2\lg|x|}$
Разменени са основата и числото	${\log_8 2=3}$	${\log_8 2=\frac13},$ защото ${8^{\frac13}=2}$
Логаритъм от отрицателно число	${\lg(-100)=-2}$	$\lg(-100)$ не съществува, а ${\lg 0{,}01=-2}$
Не са проверени допустимите стойности	Уравнението ${\log_2(x-1)}+{\log_2(x+1)}={3}$ има корени $\pm 3$	Само ${x=3};$ при ${x=-3}$ логаритмите не съществуват
При основа между 0 и 1 знакът на неравенството не е обърнат	${\log_{0{,}5} x\gt\log_{0{,}5} 2\Rightarrow x\gt 2}$	${\log_{0{,}5} x\gt\log_{0{,}5} 2\Rightarrow 0\lt x\lt 2}$

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Пресметнете $\log_5 125.$

${5^3=125},$ затова ${\log_5 125=3}.$

2. Пресметнете $\log_8 2.$

${8^{\frac13}=\sqrt[3]8=2},$ затова ${\log_8 2=\frac13}.$

3. Пресметнете $\log_{1/3} 27.$

${\left(\frac13\right)^{-3}=3^3=27},$ затова ${\log_{1/3} 27=-3}.$

4. Пресметнете $3^{2\log_3 4}.$

${3^{2\log_3 4}}={\left(3^{\log_3 4}\right)^2}={4^2}={16}$

5. Пресметнете ${\log_{12} 3+\log_{12} 48}.$

${\log_{12} 3+\log_{12} 48}={\log_{12}(3\cdot 48)}={\log_{12} 144}={2}$

6. Пресметнете $\frac{\lg 8+\lg 18}{2\lg 2+\lg 3}.$

Числителят е ${\lg(8\cdot 18)=\lg 144},$ а знаменателят е ${\lg\left(2^2\cdot 3\right)=\lg 12}.$ Тъй като ${144=12^2},$ получаваме ${\frac{\lg 144}{\lg 12}=\frac{2\lg 12}{\lg 12}=2}.$

7. Между кои две последователни цели числа е $\log_2 10?$

${2^3=8\lt 10\lt 16=2^4},$ затова ${3\lt\log_2 10\lt 4}.$ По-точно ${\log_2 10\approx 3{,}32}.$

8. Решете уравнението ${\log_5(3x+1)=2}.$

Допустими са ${x\gt-\frac13}.$ ${3x+1=5^2=25},$ откъдето ${x=8}.$

9. Решете уравнението ${\log_3 x+\log_3(x-8)=2}.$

Допустими са ${x\gt 8}.$ ${\log_3\bigl(x(x-8)\bigr)=2},$ т.е. ${x^2-8x=9}$ и ${x^2-8x-9=0}.$ Корените са $9$ и $-1,$ но допустим е само ${x=9}.$

10. Сумата по един влог расте с 5% всяка година. След колко години сумата ще се удвои?

След $n$ години сумата е ${1{,}05^n}$ пъти по-голяма. Търсим най-малкото $n,$ за което ${1{,}05^n\ge 2}.$ Логаритмуваме: ${n\lg 1{,}05\ge\lg 2},$ т.е. ${n\ge\frac{\lg 2}{\lg 1{,}05}\approx 14{,}2}.$ Сумата се удвоява след 15 години.

Вижте също: Степен · Показателни и логаритмични неравенства