Неравенства

Две числа или два числови израза, свързани с един от знаците > или <, образуват числово неравенство. Всеки един от тези знаци се нарича знак на неравенството. Числото или изразът, който стои отляво(отдясно) на знака на неравенството, се нарича лява(дясна) страна на неравенството. Неравенства, които имат един и същи знак, се наричат еднопосочни, а тези , които имат различни знаци – разнопосочни. Например: а > b и с > d са еднопосочни, а а > b и с < d разнопосочни. Ако съберем поотделно левите и десните страни на две еднопосочни числови неравенства, то получаваме трето неравенство , за което казваме, че се получава чрез почленно събиране на първите две.

За числовите неравенства познаваме следните свойства:
1) Ако а > b , то разликата а – b е положително число, и обратно, ако а – b е положително число, то а > b
2) Ако а < b, то разликата a – b е отрицателно число, и обратно, ако а – b е отрицателно число, то а < b
3) Ако а = b, то а – b = 0, и обратно, ако а – b = 0, то а = b
4) Ако а > b и b > с, то а > с (а < b, b < с, то а < с)
5) Ако а > b, то а + с > b + с за всяко число с.
6) Ако а > b и с > 0, то ас > bс, а при с < 0, то ас < bс.
7) Ако в дадено вярно числово неравенство прехвърлим някое събираемо от едната му страна в другата, но с противоположен знак, получава се вярно числово неравенство.
8) Ако съберем почленно две верни и еднопосочни числови неравенства, получава се вярно числово неравенство, което е еднопосочно с дадените.

Неравенство, съдържащо неизвестно число, което се търси, се нарича неравенство с едно неизвестно. Стойност на неизвестното, за което от даденото неравенство се получава вярно числово неравенство, се нарича корен (решение) на неравенството. Да се реши едно неравенство означава да се намерят всички корени, ако има такива, или да се установи, че неравенството няма решение. Две неравенства с едно неизвестно са еквивалентни (равно-силни), когато множествата от решенията им съвпадат, т.е. решенията на първото неравенство са решения и на второто , и обратно, решенията на второто неравенство са решения и на първото. В сила са следните теореми:

Теорема 1 Ако в дадено неравенство един израз се замени с тъждествен на него израз, получава се неравенство, което е равносилно на даденото.

Теорема 2 Ако в дадено неравенство някое събираемо се прехвърли от едната му страна в другата, но с противоположен знак, получава се неравенство, което е равносилно на даденото.

Теорема 3 Ако две страни на дадено неравенство се умножат или разделят с едно и също положи- телно число, получава се неравенство, което е равносилно на даденото.

Теорема 4 Ако двете срани на даденото неравенство се умножат или разделят с едно и също отрицателно число и се смени посоката на херавенството, получава се неравенство, което е равносилно на даденото.

Неравенство от вида ах + b > 0 или ах + b < 0, където а ≠ 0 и в са дадени числа и х е неизвестно, се нарича неравенство от първа степен с едно неизвестно. Неравенствата ах + b ≥ 0 или ах + b ≤ 0 се наричат нестроги неравенства. При решаването им се прилагат горните четири теореми.