Квадратно уравнение

Калкулатор за квадратни уравнения

Въведете коефициентите $a,$ $b$ и $c.$ Те може да са цели числа, десетични дроби (например 0,5) или обикновени дроби (например 1/3). Празно поле за $b$ или $c$ означава 0. Калкулаторът пресмята дискриминантата и корените точно, проверява ги с формулите на Виет, разлага тричлена на множители и намира върха на параболата.

Какво е квадратно уравнение?

Числата $a,$ $b$ и $c$ са коефициентите на уравнението: $a$ е коефициентът пред $x^2$ (старши коефициент), $b$ е коефициентът пред $x,$ а $c$ е свободният член. Условието ${a\ne 0}$ е важно: при ${a=0}$ остава уравнението ${bx+c=0},$ което е линейно.

Примери. Преди да определим коефициентите, преместваме всички членове вляво от знака за равенство. Знакът пред всеки член е част от коефициента.

• ${2x^2-5x-3=0}$:   ${a=2},$ ${b=-5},$ ${c=-3}$
• ${x^2-9=0}$:   ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-9}$
• ${-x^2+4x=0}$:   ${a=-1},$ ${b=4},$ ${c=0}$
• ${3x^2=2x+1}$ се записва като ${3x^2-2x-1=0}$:   ${a=3},$ ${b=-2},$ ${c=-1}$

Когато ${a=1},$ уравнението ${x^2+px+q=0}$ се нарича приведено. Всяко квадратно уравнение може да се приведе, като разделим двете му страни на $a.$

Число, което удовлетворява уравнението, се нарича негов корен (решение). Например ${x=3}$ е корен на ${2x^2-5x-3=0},$ защото ${2\cdot 3^2-5\cdot 3-3}={18-15-3}={0}.$

На тази страница: Калкулатор · Непълни уравнения · Формула за корените · Извеждане на формулата · Формули на Виет · Разлагане на множители · Парабола · Свеждане до квадратно · Решени задачи · С параметър · Упражнения

Непълни квадратни уравнения

Ако ${b=0}$ или ${c=0},$ уравнението се нарича непълно. Такива уравнения се решават бързо и без формулата за корените.

Вид	Как се решава	Корени
${c=0}$:   ${ax^2+bx=0}$	изнасяме $x$ пред скоби: ${x(ax+b)=0}$	${x_1=0},$ ${x_2=-\frac{b}{a}}$
${b=0}$:   ${ax^2+c=0}$	${x^2=-\frac{c}{a}}$	${x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}},$ ако ${-\frac{c}{a}\gt 0};$ няма реални корени, ако ${-\frac{c}{a}\lt 0}$
${b=c=0}$:   ${ax^2=0}$	${x^2=0}$	${x=0}$

Примери

• ${3x^2-12x=0},$ т.е. ${3x(x-4)=0}.$ Произведението е нула, когато някой от множителите е нула: ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$
• ${2x^2-18=0},$ т.е. ${x^2=9},$ откъдето ${x_{1,2}=\pm 3}.$
• ${4x^2-3=0},$ т.е. ${x^2=\frac34},$ откъдето ${x_{1,2}=\pm\frac{\sqrt3}{2}}.$
• ${x^2+9=0},$ т.е. ${x^2=-9}.$ Квадратът на реално число не е отрицателен, затова уравнението няма реални корени.
• ${5x^2=0},$ т.е. ${x=0}.$

Не делете на $x.$ Ако разделим ${3x^2=12x}$ на $x,$ получаваме само ${x=4}$ и губим корена ${x=0}.$ Правилно е: ${3x^2-12x=0},$ ${3x(x-4)=0},$ откъдето ${x_1=0},$ ${x_2=4}.$

Формула за корените. Дискриминанта

Всяко квадратно уравнение се решава с една и съща формула.

Дискриминанта	Брой реални корени	Корени
${D\gt 0}$	два различни	${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}$
${D=0}$	един (двоен)	${x_1=x_2=-\frac{b}{2a}}$
${D\lt 0}$	няма	—

Защо при ${D=0}$ коренът е двоен, ще видим при разлагането на множители: тогава ${ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2}.$

Как се решава квадратно уравнение

1. Записваме уравнението във вида ${ax^2+bx+c=0}$ и определяме $a,$ $b$ и $c$ заедно със знаците им.
2. Пресмятаме дискриминантата ${D=b^2-4ac}.$
3. Според знака на $D$ намираме корените или заключаваме, че реални корени няма.
4. Проверяваме: заместваме корените в уравнението или използваме формулите на Виет.

Пример 1. ${x^2+3x-4=0}.$ Тук ${a=1},$ ${b=3},$ ${c=-4}.$

${D}={3^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={9+16}={25}$

${x_{1,2}}={\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot 1}}={\frac{-3\pm 5}{2}}$

${x_1=\frac{-3-5}{2}=-4},$   ${x_2=\frac{-3+5}{2}=1}$

Проверка: ${(-4)^2+3\cdot(-4)-4}={16-12-4}={0}$ и ${1^2+3\cdot 1-4=0}.$

Пример 2. ${4x^2-12x+9=0}.$ Тук ${a=4},$ ${b=-12},$ ${c=9}$ и

${D}={(-12)^2-4\cdot 4\cdot 9}={144-144}={0}$

Уравнението има един корен: ${x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{8}=\frac32}.$ Наистина ${4x^2-12x+9=(2x-3)^2},$ а това е нула само при ${x=\frac32}.$

Пример 3. ${x^2-2x+5=0}.$ Тук ${D}={(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5}={4-20}={-16}\lt{0},$ затова уравнението няма реални корени. Това се вижда и така: ${x^2-2x+5=(x-1)^2+4},$ а квадрат плюс 4 е поне 4, т.е. никога не е нула.

Пример 4. ${x^2-4x+1=0}.$ Тук ${D}={(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1}={12}$ и ${\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3}$:

${x_{1,2}}={\frac{4\pm 2\sqrt3}{2}}={\frac{2(2\pm\sqrt3)}{2}}={2\pm\sqrt3}$

Делим на 2 и двата члена на числителя. Корените са ${x_1=2-\sqrt3\approx 0{,}27}$ и ${x_2=2+\sqrt3\approx 3{,}73}.$

Пример 5. ${-2x^2+x+6=0}.$ Удобно е първо да умножим по $-1,$ за да стане старшият коефициент положителен: ${2x^2-x-6=0}.$ Корените не се променят.

${D}={(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-6)}={1+48}={49},$   ${x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4}},$   ${x_1=-\frac32},$   ${x_2=2}$

Ако коефициентите са дроби или десетични числа, умножаваме по подходящо число, за да станат цели. Например ${0{,}5x^2-1{,}5x+1=0}$ след умножение по 2 става ${x^2-3x+2=0}$ с корени 1 и 2.

Формула при четен коефициент пред x

Ако ${b=2k},$ формулата се опростява. Тогава ${D}={4k^2-4ac}={4(k^2-ac)}$ и двойката се съкращава:

Например за ${x^2-4x+1=0}$ имаме ${k=-2},$ ${D_1=4-1=3}$ и направо ${x_{1,2}=2\pm\sqrt3},$ без съкращаване. За ${3x^2+10x+3=0}$ имаме ${k=5},$ ${D_1=25-9=16}$ и ${x_{1,2}=\frac{-5\pm 4}{3}},$ т.е. ${x_1=-3},$ ${x_2=-\frac13}.$

Извеждане на формулата

Формулата се получава с допълване до точен квадрат. Делим уравнението ${ax^2+bx+c=0}$ на ${a\ne 0}$ и преместваме свободния член вдясно:

${x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

Членът ${\frac{b}{a}x}$ е удвоеното произведение ${2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}}.$ Прибавяме към двете страни ${\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}}$ и лявата страна става точен квадрат:

${x^2+2\cdot x\cdot\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}}={\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}}$

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Знаменателят ${4a^2}$ е положителен, затова дясната страна има знака на ${D=b^2-4ac}.$

• Ако ${D\lt 0},$ дясната страна е отрицателна, а квадрат не може да е отрицателен. Реални корени няма.
• Ако ${D=0},$ получаваме ${x+\frac{b}{2a}=0},$ т.е. ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Ако ${D\gt 0},$ коренуваме: ${x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a}}.$ (Всъщност ${\sqrt{4a^2}=2|a|},$ но знакът $\pm$ и без това съдържа и двата знака.) Следователно ${x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}}.$

Формули на Виет

Корените на квадратното уравнение са свързани с коефициентите му по много прост начин. Тези връзки носят името на френския математик Франсоа Виет (1540–1603). Той пръв започва да означава с букви не само неизвестните, но и дадените числа в уравненията. Така стават възможни общите формули като тези по-долу.

С думи: при приведеното уравнение сборът на корените е равен на коефициента пред $x$ с обратен знак, а произведението им е равно на свободния член.

Доказателство. Нека ${x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}}$ и ${x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}}.$ Събираме ги и ги умножаваме (числителите на произведението дават разлика на квадрати):

${x_1+x_2}={\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}}={\frac{-2b}{2a}}={-\frac{b}{a}}$

${x_1x_2}={\frac{(-b-\sqrt{D})(-b+\sqrt{D})}{4a^2}}={\frac{b^2-D}{4a^2}}={\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}}={\frac{4ac}{4a^2}}={\frac{c}{a}}$

При ${D=0}$ двата корена съвпадат и формулите пак са верни: ${x_1+x_2}={2\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)}={-\frac{b}{a}},$ а ${x_1x_2=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}},$ защото ${b^2=4ac}.$

Пример. Корените на ${2x^2-5x-3=0}$ са ${x_1=3}$ и ${x_2=-\frac12}.$ Наистина

${x_1+x_2}={3-\frac12}={\frac52}={-\frac{-5}{2}},$   ${x_1x_2}={3\cdot\left(-\frac12\right)}={-\frac32}={\frac{-3}{2}}$

Първо проверете дали има корени. Формулите на Виет говорят за корени, които съществуват. За ${x^2+2x+5=0}$ бихме „получили“ сбор $-2$ и произведение 5, но ${D=4-20=-16\lt 0}$ и реални корени няма. Не съществуват и две реални числа със сбор $-2$ и произведение 5.

Обратна теорема на Виет

Защо е вярно. Разкриваме скобите: ${(x-x_1)(x-x_2)}={x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={x^2+px+q}.$ Значи уравнението ${x^2+px+q=0}$ е същото като ${(x-x_1)(x-x_2)=0},$ а неговите корени са точно $x_1$ и $x_2.$

Същото важи и в общия вид: ако ${x_1+x_2=-\frac{b}{a}}$ и ${x_1x_2=\frac{c}{a}},$ то $x_1$ и $x_2$ са корени на ${ax^2+bx+c=0}$ (разделете уравнението на $a$).

Обратната теорема на Виет е в основата и на решаването на симетрични системи като ${x+y=5},$ ${xy=6}$: вижте системи уравнения от втора степен.

Намиране на корените наум

Ако приведеното уравнение ${x^2+px+q=0}$ има цели корени, често ги познаваме веднага: търсим две числа с произведение $q$ и сбор $-p.$

• ${x^2-7x+10=0}$: произведение 10 и сбор 7. Това са ${x_1=2}$ и ${x_2=5}.$
• ${x^2+x-12=0}$: произведението $-12$ е отрицателно, затова корените са с различни знаци, а сборът им е $-1.$ Това са ${x_1=-4}$ и ${x_2=3}.$
• ${x^2+8x+15=0}$: произведението 15 е положително (еднакви знаци), а сборът $-8$ е отрицателен (и двата корена са отрицателни). Това са ${x_1=-5}$ и ${x_2=-3}.$

Два частни случая важат за всяко квадратно уравнение:

Наистина при ${x=1}$ лявата страна е ${a+b+c},$ а при ${x=-1}$ тя е ${a-b+c}.$ Вторият корен намираме от произведението ${x_1x_2=\frac{c}{a}}.$ Например ${5x^2-3x-2=0}$ има корени 1 и ${-\frac25},$ защото ${5-3-2=0},$ а ${2x^2+7x+5=0}$ има корени $-1$ и ${-\frac52},$ защото ${2-7+5=0}.$

Ако знаем единия корен, другият се намира от формулите на Виет. Например ${x_1=2}$ е корен на ${3x^2-7x+2=0},$ защото ${3\cdot 4-7\cdot 2+2=0}.$ От ${x_1x_2=\frac23}$ следва ${x_2=\frac13}.$

Съставяне на уравнение по корените му

По обратната теорема числата $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението ${x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2}={0}.$

• Корени 3 и $-5$: сборът е $-2,$ а произведението е $-15.$ Уравнението е ${x^2+2x-15=0}.$
• Корени $\frac12$ и $-3$: сборът е ${-\frac52},$ а произведението е ${-\frac32}.$ Уравнението ${x^2+\frac52x-\frac32=0}$ умножаваме по 2: ${2x^2+5x-3=0}.$
• Корени ${2+\sqrt3}$ и ${2-\sqrt3}$: сборът е 4, а произведението е ${4-3=1}.$ Уравнението е ${x^2-4x+1=0}$ (вижте Пример 4).

Изрази от корените, без да решаваме уравнението

Израз, който не се променя, когато разменим $x_1$ и $x_2,$ може да се изрази чрез сбора ${S=x_1+x_2}$ и произведението ${P=x_1x_2}.$ Най-често се използват:

Израз	Чрез $S$ и $P$
${x_1^2+x_2^2}$	${S^2-2P}$
${(x_1-x_2)^2}$	${S^2-4P}$
${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}$	${\frac{S}{P}}$
${x_1^2x_2+x_1x_2^2}$	${SP}$
${x_1^3+x_2^3}$	${S^3-3SP}$
${\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}$	${\frac{S^2-2P}{P}}$

Например ${x_1^2+x_2^2}={(x_1+x_2)^2-2x_1x_2},$ защото ${(x_1+x_2)^2}={x_1^2+2x_1x_2+x_2^2},$ а ${x_1^3+x_2^3}={(x_1+x_2)^3}-{3x_1x_2(x_1+x_2)}.$

Пример. Без да решавате уравнението ${x^2-6x+4=0},$ пресметнете ${x_1^2+x_2^2},$ ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}},$ ${x_1^3+x_2^3}$ и ${|x_1-x_2|}.$

Решение. ${D=36-16=20\gt 0},$ затова корените съществуват. ${S=6},$ ${P=4}$ и

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={36-8}={28}$

${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=\frac64=\frac32}$

${x_1^3+x_2^3}={S^3-3SP}={216-72}={144}$

${(x_1-x_2)^2}={S^2-4P}={36-16}={20},$ затова ${|x_1-x_2|=\sqrt{20}=2\sqrt5}$

Проверка: корените са ${3\pm\sqrt5}$ и например ${(3+\sqrt5)^2+(3-\sqrt5)^2}={(14+6\sqrt5)}+{(14-6\sqrt5)}={28}.$

Изобщо ${|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{|a|}}$: разстоянието между корените зависи само от дискриминантата и от $a.$

Знаци на корените

Нека уравнението има реални корени (${D\ge 0}$). Знаците им се определят от $S$ и $P,$ без да пресмятаме корените:

Условие	Корените
${P\lt 0}$	са с различни знаци
${P\gt 0},$ ${S\gt 0}$	са положителни
${P\gt 0},$ ${S\lt 0}$	са отрицателни
${P=0}$	единият е 0, а другият е $S$

Ако ${P=\frac{c}{a}\lt 0},$ то $a$ и $c$ са с различни знаци, ${-4ac\gt 0}$ и ${D=b^2-4ac\gt 0}.$ Затова такова уравнение винаги има два корена с различни знаци.

Пример. За ${2x^2-9x+4=0}$ имаме ${D=81-32=49\gt 0},$ ${P=2\gt 0}$ и ${S=\frac92\gt 0}.$ Двата корена са положителни (те са 4 и $\frac12$). Уравнението ${x^2+5x-3=0}$ има ${P=-3\lt 0},$ затова корените му са с различни знаци. Тъй като ${S=-5\lt 0},$ отрицателният корен има по-голяма абсолютна стойност.

Разлагане на квадратния тричлен на множители

Изразът ${ax^2+bx+c}$ се нарича квадратен тричлен. Корените на уравнението ${ax^2+bx+c=0}$ го разлагат на множители:

Защо е вярно. По формулите на Виет

${a(x-x_1)(x-x_2)}={a\bigl(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2\bigr)}={a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)}={ax^2+bx+c}$

Пример 1. ${2x^2-5x-3}$ има корени 3 и ${-\frac12},$ затова ${2x^2-5x-3}={2(x-3)\left(x+\frac12\right)}={(x-3)(2x+1)}.$

Пример 2. Съкратете дробта ${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}.$

Решение. Корените на ${x^2-5x+6=0}$ са 2 и 3, затова ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}.$ Освен това ${x^2-9=(x-3)(x+3)}.$ При ${x\ne\pm 3}$

${\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-2}{x+3}}$

Квадратна функция и парабола

Функцията ${y=ax^2+bx+c},$ където ${a\ne 0},$ се нарича квадратна функция, а графиката ѝ е парабола. Корените на уравнението ${ax^2+bx+c=0}$ са абсцисите на общите точки на параболата с оста $Ox.$

Графиката на ${y=x^2-2x-3}$: корени $-1$ и 3, връх ${(1;\ -4)},$ ос на симетрия ${x=1}.$

• При ${a\gt 0}$ клоните на параболата са насочени нагоре и върхът е най-ниската ѝ точка. При ${a\lt 0}$ клоните са насочени надолу и върхът е най-високата точка.
• Връх: ${\left(-\frac{b}{2a};\ -\frac{D}{4a}\right)}.$ Ос на симетрия: правата ${x=-\frac{b}{2a}}.$
• Параболата пресича оста $Oy$ в точката ${(0;\ c)}.$
• Оста на симетрия минава точно по средата между корените: ${\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2a}}.$ Това отново е формулата на Виет за сбора.

Общите точки на параболата с оста $Ox$ са толкова, колкото са корените, т.е. броят им зависи от знака на $D$:

При ${D\gt 0}$ параболата пресича оста $Ox$ в две точки, при ${D=0}$ я допира във върха си, а при ${D\lt 0}$ няма общи точки с нея.

Три вида запис на квадратната функция

Квадратната функция може да се запише по три начина. Всеки от тях показва друго свойство на графиката:

Запис	Какво се вижда	Пример
Общ вид ${y=ax^2+bx+c}$	пресечната точка с оста $Oy$: ${(0;\ c)}$	${y=2x^2+4x-30},$ точка ${(0;\ -30)}$
Чрез върха ${y=a(x-m)^2+n}$	върхът ${(m;\ n)}$ и оста ${x=m}$	${y=2(x+1)^2-32},$ връх ${(-1;\ -32)}$
Разложен вид ${y=a(x-x_1)(x-x_2)}$	корените $x_1$ и $x_2$	${y=2(x-3)(x+5)},$ корени 3 и $-5$

И трите примера са една и съща функция: ${2(x+1)^2-32}={2x^2+4x+2-32}={2x^2+4x-30}$ и ${2(x-3)(x+5)}={2(x^2+2x-15)}={2x^2+4x-30}.$ Повече за графиката: Графика на квадратна функция.

Уравнения, които се свеждат до квадратни

Много уравнения от по-висока степен или с дроби се решават, като с подходящо полагане или преобразуване ги сведем до квадратно уравнение.

Пример 1. ${3x^4-2x^2-1=0}.$ Уравнението е от четвърта степен, но съдържа само $x^4$ и $x^2$ (биквадратно уравнение). Полагаме ${x^2=u},$ където ${u\ge 0}$:

${3u^2-2u-1=0}$

Тъй като ${3-2-1=0},$ корените са ${u_1=1}$ и ${u_2=-\frac13}.$ Вторият е отрицателен и отпада, защото ${x^2\ge 0}.$ От ${x^2=1}$ получаваме ${x_{1,2}=\pm 1}.$

Пример 2. ${(x^2-2x+3)^2}-{5(x^2-2x+3)+4}={0}.$ Полагаме ${x^2-2x+3=u}$ и получаваме ${u^2-5u+4=0}$ с корени ${u_1=1}$ и ${u_2=4}$ (произведение 4 и сбор 5).

• ${x^2-2x+3=4},$ т.е. ${x^2-2x-1=0}.$ Тук ${D_1=1+1=2}$ и ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$
• ${x^2-2x+3=1},$ т.е. ${x^2-2x+2=0}.$ Тук ${D_1=1-2=-1\lt 0}$ и реални корени няма.

Отговор: ${x_{1,2}=1\pm\sqrt2}.$ Вторият случай можеше да се отхвърли веднага: ${x^2-2x+3}={(x-1)^2+2}\ge{2},$ затова този израз не може да е равен на 1.

Пример 3. ${\frac{x}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}}.$ Допустими са ${x\ne\pm 1}.$ Умножаваме по общия знаменател ${x^2-1=(x-1)(x+1)}$:

${x(x+1)-2(x-1)=4},$   ${x^2-x-2=0}$

Корените са ${x_1=2}$ и ${x_2=-1}$ (${a-b+c=1+1-2=0}$). Числото $-1$ не е допустимо, защото анулира знаменателите ${x+1}$ и ${x^2-1}.$ Отговор: ${x=2}.$

Решени задачи

Задача 1. Решете уравнението ${x^2-4=0}.$

Решение. Разлагаме разликата на квадрати: ${(x-2)(x+2)=0},$ откъдето ${x_1=2}$ и ${x_2=-2}.$ Същото дава и формулата: ${a=1},$ ${b=0},$ ${c=-4},$ ${D}={0^2-4\cdot 1\cdot(-4)}={16}$ и ${x_{1,2}=\frac{0\pm 4}{2}=\pm 2}.$

Задача 2. Решете уравнението ${3x^2+4x+5=0}.$

Решение. ${D}={4^2-4\cdot 3\cdot 5}={16-60}={-44}\lt{0}.$ Уравнението няма реални корени.

Задача 3. Решете уравнението ${x^2+4x-5=0}.$

Решение. ${D}={4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}={16+20}={36}$ и ${x_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}},$ т.е. ${x_1=1},$ ${x_2=-5}.$ По-бързо: ${a+b+c=1+4-5=0},$ затова ${x_1=1}$ и ${x_2=\frac{c}{a}=-5}.$

Задача 4. Решете уравнението ${x^2+4x+4=0}.$

Решение. ${D=4^2-4\cdot 1\cdot 4=0},$ затова уравнението има един корен: ${x=-\frac{4}{2}=-2}.$ Наистина ${x^2+4x+4=(x+2)^2}.$

Задача 5. Решете уравнението ${x^2-13x+12=0}$ и скицирайте графиката на функцията ${f(x)=x^2-13x+12}.$

Решение. ${a+b+c=1-13+12=0},$ затова ${x_1=1}$ и ${x_2=12}.$ За графиката: ${a=1\gt 0},$ затова клоните са насочени нагоре. Параболата пресича оста $Ox$ в точките ${(1;\ 0)}$ и ${(12;\ 0)},$ а оста $Oy$ в точката ${(0;\ 12)}.$ Върхът е по средата между корените: ${x=\frac{1+12}{2}=6{,}5},$ а ${D=169-48=121}$ и ${f(6{,}5)}={-\frac{D}{4a}}={-\frac{121}{4}}={-30{,}25}.$

Задача 6. Решете уравнението ${8x^2-30x+7=0}.$

Решение. Коефициентът пред $x$ е четен: ${k=-15},$ ${D_1}={(-15)^2-8\cdot 7}={225-56}={169}$ и

${x_{1,2}=\frac{15\pm 13}{8}},$   ${x_1=\frac{2}{8}=\frac14=0{,}25},$   ${x_2=\frac{28}{8}=\frac72=3{,}5}$

Задача 7. Лицето на правоъгълник е 40 см², а обиколката му е 26 см. Намерете страните му.

Решение. Нека страните са $x$ и $y.$ Тогава ${x+y=13}$ и ${xy=40}.$ По обратната теорема на Виет $x$ и $y$ са корените на уравнението

${t^2-13t+40=0},$   ${D=169-160=9},$   ${t_{1,2}=\frac{13\pm 3}{2}}$

т.е. ${t_1=5}$ и ${t_2=8}.$ Страните са 5 см и 8 см.

Задача 8. Произведението на две последователни естествени числа е 156. Кои са числата?

Решение. Нека числата са $n$ и ${n+1}.$ Тогава ${n(n+1)=156},$ т.е. ${n^2+n-156=0}.$

${D=1+624=625},$   ${n_{1,2}=\frac{-1\pm 25}{2}},$   ${n_1=-13},$   ${n_2=12}$

Числото $-13$ не е естествено. Търсените числа са 12 и 13. Проверка: ${12\cdot 13=156}.$

Задача 9. Топка е хвърлена вертикално нагоре. След $t$ секунди тя е на височина ${h=20t-5t^2}$ метра. Кога топката е на височина 15 м? Кога пада на земята? Колко високо се издига?

Решение. ${20t-5t^2=15},$ т.е. ${5t^2-20t+15=0},$ а след деление на 5: ${t^2-4t+3=0}.$ Корените са ${t_1=1}$ и ${t_2=3}$ (${1-4+3=0}$). Топката е на 15 м два пъти: след 1 с, докато се издига, и след 3 с, докато пада.

Топката е на земята, когато ${h=0}$: ${5t(4-t)=0},$ т.е. при ${t=0}$ (в момента на хвърлянето) и при ${t=4}$ с. Най-високата точка е върхът на параболата: ${t=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2}$ с и ${h=20\cdot 2-5\cdot 2^2=20}$ м.

Задача 10. Сборът на едно число и реципрочното му е ${\frac{10}{3}}.$ Кое е числото?

Решение. ${x+\frac1x=\frac{10}{3}},$ ${x\ne 0}.$ Умножаваме по $3x$: ${3x^2+3=10x},$ т.е. ${3x^2-10x+3=0}.$ Тук ${k=-5},$ ${D_1=25-9=16}$ и ${x_{1,2}=\frac{5\pm 4}{3}},$ т.е. ${x_1=\frac13}$ и ${x_2=3}.$ И двете числа са решения: ${3+\frac13=\frac{10}{3}}.$

Квадратни уравнения с параметър

В уравнение с параметър някои коефициенти зависят от буква (параметър). Да решим такова уравнение означава да кажем какви са корените при всяка стойност на параметъра. Ако старшият коефициент зависи от параметъра, разглеждаме отделно случая, в който той е нула, защото тогава уравнението не е квадратно.

Задача 1. Решете уравнението ${x^2-3x+p+1=0}$ с параметър $p.$

Решение. ${D}={(-3)^2-4(p+1)}={9-4p-4}={5-4p}.$

• При ${p\lt\frac54}$ е ${D\gt 0}$ и уравнението има два корена: ${x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5-4p}}{2}}.$
• При ${p=\frac54}$ е ${D=0}$ и уравнението има един корен: ${x=\frac32}.$
• При ${p\gt\frac54}$ е ${D\lt 0}$ и уравнението няма реални корени.

Задача 2. Намерете стойностите на $k,$ за които уравнението ${kx^2-x+2=0}$ има точно един реален корен или няма реални корени.

Решение. При ${k=0}$ уравнението е линейно: ${-x+2=0},$ и има един корен ${x=2}.$ Тази стойност е решение на задачата.

При ${k\ne 0}$ уравнението е квадратно. То има един корен или няма корени точно когато ${D\le 0}$:

${D}={(-1)^2-4\cdot k\cdot 2}={1-8k}\le{0},$   т.е. ${k\ge\frac18}$

Отговор: ${k=0}$ или ${k\ge\frac18},$ т.е. ${k\in\{0\}\cup\left[\frac18;\ +\infty\right)}.$ Стойността ${k=\frac18}$ е включена: тогава ${D=0}$ и уравнението ${\frac18x^2-x+2=0}$ има един корен ${x=4}.$

Задача 3. Намерете $m,$ ако единият корен на уравнението ${x^2+mx+12=0}$ е равен на утроения друг корен.

Решение. Нека корените са $x_2$ и ${x_1=3x_2}.$ По формулите на Виет ${x_1x_2=3x_2^2=12},$ откъдето ${x_2^2=4}$ и ${x_2=\pm 2}.$

• При ${x_2=2}$: ${x_1=6}$ и ${m=-(x_1+x_2)=-8}.$ Уравнението е ${x^2-8x+12=0}$ с корени 2 и 6.
• При ${x_2=-2}$: ${x_1=-6}$ и ${m=8}.$ Уравнението е ${x^2+8x+12=0}$ с корени $-2$ и $-6.$

Отговор: ${m=-8}$ или ${m=8}.$

Задача 4. Намерете $k,$ ако корените на уравнението ${x^2+(k-2)x+4-2k=0}$ удовлетворяват условието ${x_1^2+x_2^2=5}.$

Решение. ${S=x_1+x_2=2-k}$ и ${P=x_1x_2=4-2k}.$ Тогава

${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={(2-k)^2-2(4-2k)}={k^2-4}$

От ${k^2-4=5}$ получаваме ${k=3}$ или ${k=-3}.$ Формулите на Виет обаче важат само когато корените съществуват, затова проверяваме дискриминантата:

• ${k=3}$: уравнението е ${x^2+x-2=0}$ и ${D=1+8=9\gt 0}.$ Корените са 1 и $-2,$ и наистина ${1^2+(-2)^2=5}.$
• ${k=-3}$: уравнението е ${x^2-5x+10=0}$ и ${D=25-40=-15\lt 0}.$ Реални корени няма.

Отговор: ${k=3}.$

Задача 5. Решете уравнението ${\frac{x+k}{k}+\frac{x}{x-k}=\frac{x-k}{2k}}$ с параметър $k.$

Решение. Уравнението има смисъл при ${k\ne 0}$ и ${x\ne k}.$ Умножаваме по ${2k(x-k)}$:

${2(x+k)(x-k)+2kx}={(x-k)^2}$

${2x^2-2k^2+2kx}={x^2-2kx+k^2}$

${x^2+4kx-3k^2=0}$

Коефициентът пред $x$ е четен: ${D_1}={(2k)^2+3k^2}={7k^2}\gt{0},$ защото ${k\ne 0}.$ Затова

${x_{1,2}}={-2k\pm\sqrt{7k^2}}={-2k\pm\sqrt7\,|k|}={(-2\pm\sqrt7)k}$

(знакът $\pm$ поема знака на $k$: $\pm|k|$ и $\pm k$ дават едни и същи две числа). Остава да проверим условието ${x\ne k}$: от ${(-2\pm\sqrt7)k=k}$ следва ${(-3\pm\sqrt7)k=0},$ а това е невъзможно, защото ${k\ne 0}$ и ${\sqrt7\ne 3}.$

Отговор: при ${k=0}$ уравнението няма смисъл, а при всяко ${k\ne 0}$ корените са ${x_{1,2}=(-2\pm\sqrt7)k}.$

Упражнения

Опитайте сами и след това отворете отговора.

1. Решете уравнението ${x^2-8x+15=0}.$

Търсим две числа с произведение 15 и сбор 8: ${x_1=3},$ ${x_2=5}.$ С формулата: ${D=64-60=4}$ и ${x_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2}}.$

2. Решете уравнението ${2x^2+3x-2=0}.$

${D=9+16=25},$ ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}},$ т.е. ${x_1=-2},$ ${x_2=\frac12}.$

3. Решете уравнението ${9x^2-6x+1=0}.$

${D=36-36=0}$ и уравнението има един корен ${x=\frac{6}{18}=\frac13}.$ Наистина ${9x^2-6x+1=(3x-1)^2}.$

4. Решете уравнението ${x^2+x+1=0}.$

${D=1-4=-3\lt 0}.$ Уравнението няма реални корени.

5. Решете уравнението ${5x^2-20=0}.$

${x^2=4},$ откъдето ${x_{1,2}=\pm 2}.$

6. Решете уравнението ${x^2-6x+7=0}.$

${k=-3},$ ${D_1=9-7=2}$ и ${x_{1,2}=3\pm\sqrt2}.$

7. Без да решавате уравнението ${x^2-3x-7=0},$ пресметнете ${x_1^2+x_2^2}$ и ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}.$

${D=9+28=37\gt 0},$ ${S=3}$ и ${P=-7}.$ Тогава ${x_1^2+x_2^2}={S^2-2P}={9+14}={23}$ и ${\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{S}{P}=-\frac37}.$

8. Съставете квадратно уравнение с цели коефициенти, чиито корени са $-2$ и ${\frac53}.$

${S=-2+\frac53=-\frac13}$ и ${P=-2\cdot\frac53=-\frac{10}{3}}.$ Уравнението ${x^2+\frac13x-\frac{10}{3}=0}$ умножаваме по 3: ${3x^2+x-10=0}.$

9. Единият корен на уравнението ${x^2+px-12=0}$ е 4. Намерете $p$ и другия корен.

${x_1x_2=-12},$ затова ${x_2=-3}.$ От ${x_1+x_2=1=-p}$ получаваме ${p=-1}.$ Проверка: ${4^2-4-12=0}.$

10. За коя стойност на $m$ уравнението ${x^2-6x+m=0}$ има един (двоен) корен?

${D=36-4m=0}$ при ${m=9}.$ Тогава ${x^2-6x+9=(x-3)^2}$ и коренът е ${x=3}.$

11. Дължината на правоъгълник е с 3 см по-голяма от ширината му, а лицето му е 54 см². Намерете страните.

Ако ширината е $x$ см, то ${x(x+3)=54},$ т.е. ${x^2+3x-54=0}.$ ${D=9+216=225}$ и ${x_{1,2}=\frac{-3\pm 15}{2}}.$ Положителният корен е ${x=6}.$ Страните са 6 см и 9 см.

Вижте също: Биквадратни уравнения · Квадратни неравенства · Задачи върху квадратни уравнения · Корените на квадратно уравнение и интервали от числа

Можете да проверите отговорите си и с програмата за решаване на задачи.