Квадратно уравнение

Квадратното уравнение има следния вид: ax² + bx + c = 0
където a,b,c са реални числа, и a ≠ 0. Всяко квадратно уравнение може да има 0, 1 или 2 реални корена
получени по следната формула:

Числото D = b² - 4ac се нарича дискриминанта.

Ako D < 0, квадратното уравнение няма реални корени.

Ako D = 0, уравнението има 1 реален корен $x = - \frac{b}{2a}$.

Ako D > 0, квадратното уравнение има 2 реални корена.

Пример:
Ако имаме следното уравнение: $x^2 + 3x - 4 = 0$
$a = 1, b = 3, c = -4, D=3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)$

$x=\frac{-(3) \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = $

$\frac{-3 \pm 5}{2} = \begin{cases} \frac{-3 - 5}{2} = -4 \\ \frac{-3 + 5}{2} = 1\end{cases}$

Т.е. корените са -4 и 1

Извеждане на формулата

По метода на допълване до точен квадрат

$ax^2 + bx + c = 0$
$ax^2 + bx = -c$
$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
Събираме двете страни с $\frac{b^2}{4a^2}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{c}{a}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}= -\frac{4ac}{4a^2}+ \frac{b^2}{4a^2}$

$(x + \frac{b}{2a})^2= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

$x + \frac{b}{2a}= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = -\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Парабола

Графиката на квадратната функция $f(x)=ax^2 + bx + c$
се нарича парабола.
Ако a > 0 върха на параболата сочи надолу:

Върха на всяка парабола има координата $x = -\frac{b}{2a}$.

Формули на Виет

Франсоа Виет е живял от 1540 до 1603 година. Този забележителен математик е доказл следните зависимости:
Ако х₁ и х₂ са корени на квадратното уравнение
ах² + bx + c = 0, а ≠ 0, то:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
$x_1x_2 = \frac{c}{a}$

Обратна теорема на Виет

Задачи върху квадратно уравнение

Решете квадратните уравнения:

1) x² - 4 = 0
Решение: x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
x = 2 или x = -2

2) 3x² + 4x + 5 = 0
Решение: дискриминантата е равна на 4² - 4.3.5 = 16 - 60 = -44 < 0. Тя е по малка от 0 значи квадратното уравнение няма реални решения.

3) x² + 4x - 5 = 0
Решение:
Дискриминантата 4² - (-4.1.5) = 16 + 20 = 36 > 0. Тя е по голяма от 0 следователно уравнението има две решения: $\frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$
x = 1 или x = -5

4) x² + 4x + 4 = 0
Решение:
Дискриминантата е равна на 4² - (4.1.4) = 16 - 16 = 0, следователно уравнението има 2 реален корен: $x = \frac{-4}{2}$
x = -2

5) x² - 13x + 12 = 0
Отговор: 1, 12
Начертайте графиката на функцията: f(x) = x² - 13x + 12

6) 8x² - 30x + 7 = 0
Отговор: 3,5; 0,25
Начертайте графиката на функцията: f(x) = 8x² - 30x + 7

7) 3х⁴ - 2x² - 1 = 0
Решение:
Toва уравнение е от 4та степен, но ако положим х² = u, то получаваме
3u² -2u -1 = 0
$u_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{1+3}}{3} = \frac{1\pm 2}{3}$
u₁ = 1; $u_2 = -\frac{1}{3}$ следователно
$х{1,2} = \pm 1$
$х^2 = -\frac{1}{3}$ - няма реални корени.
Следователно даденото уравнение има само два реални корена 1 и -1.

8) Да решим уравнението:
(х² - 2x + 3)² - 5(х² - 2x + 3) + 4 = 0
Решение:
Това уравнение е от четвърта степен. Но и тук лесно се забелязва, че относно
х² - 2x + 3 то е от втора степен.
Ако означим х² - 2x + 3 = u получаваме квадратното уравнение
u² - 5u + 4 = 0
То има корени
$u_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 16}}{2} = \frac{5 + 3}{2}$
u₁ = 4, u₂ = 1
Даденото уравнение е равносилно на дизюнкцията от уравнения:
х² - 2x + 3 = 4 или х² - 2x + 3 = 1
х² - 2x + 3 = 4 <=> х² - 2x - 1 = 0
$х_{1,2} = 1\pm \sqrt{1 + 1} = 1 ± \sqrt{2}$
х² - 2x + 3 = 1 <=> х² - 2x + 2 = 0, D = 1 – 1 ⋅ 2 = -1
Това уравнение няма реални корени.
Следователно даденото уравнение има само два реални корена: $1 + \sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}$

Задачи за упражнение

Задача 1:
Да се реши квадратното уравнение
(x - 2)² - 9 = 0

Задача 2:
Да се реши квадратното уравнение:
x² + 21x + 111 = 0

Задача 3:
Да се намери сборът и произведението от корените на уравнението:
x² + 3x - 28 = 0

Задача 4:
Да се реши биквадратното уравнение:
x⁴ + 5x² + 6 = 0

Квадратни уравнения с параметри

Да решим уравнението:
x² - 3х + p + 1 = 0 с параметър р и неизвестно х
Решение:
Дискриминантата на това уравнение е D = (- 3)² - 4.1.(p + 1) = 9 – 4p – 4 = 5 – 4p
Виждаме, че квадратното уравнение има или няма реални корени в зависимост от знака на израза 5 – 4р;
5 – 4р ≥ 0 <=> 5 ≥ 4р <=> р ≤ 5/4
5 – 4р < 0 <=> р > 5/4
Получихме, че
D ≥ 0 за р ≤ 5/4 и D < 0 за р > 5/4
Следователно множеството от квадратни уравнения, определено от даденото параметрично уравнение, се разделя на две части:
Множеството от уравненията, за които р ≤ 5/4. Те имат корени, които се пресмятат с формулата
х_1,2 = (3 ± √5 – 4р)/2
Множеството от уравненията, за които р > 5/4. Те нямат реални корени

Задача: Да намерим всички стойности на параметъра k, за които уравнението
kx² - х + 2 = 0 има само един или няма реални корени
Решение:
За k = 0 уравнението е 0. x² - х + 2 = 0 <=> х = 2 То има един корен 2.
За k ≠ 0 уравнението е квадратно.
Знаем, че квадратното уравнение има два корена, ако D > 0, и няма реални корени ако D < 0, и има един корен ако D = 0. В случая дискриминантата е:
D = ( -1)² - 4.k.2 = 1 – 8k
Следователно математическият модел на задачата е неравенството 1 – 8k ≤ 0
Решаваме го: 1 – 8к ≤ 0 <=> 1 ≤ 8к <=> k ≥ 1/8
Така получаваме k = 0 или k ∈ (1/8; +∞)

Задача: Да решим уравнението:
$\frac{x + k}{k} + \frac{x}{x – k} = \frac{x – k}{2k}$, ако k е параметър, x – неизвестно Решение:
За всяка стойност на k, стига тя да не е нула, от даденото параметрично уравнение се получава по едно дробно уравнение. Дефиниционното множество на параметричното уравнение се определя от условието х ≠ к. В това дефиниционно множество то е равносилно на уравнението:
2(х + k)(х – k) + 2кх = (х – k)² <=>
2х² - 2k² + 2kх = х² - 2kх + k² <=>
х² + 4kх – 3k² = 0
Задачата се сведе до решаване на параметричното квадратно уравнение
х² + 4kх – 3k² = 0, k ≠ 0, х ≠ k
Понеже D = (2k)² - 1 . (-3k²) =
4k² + 3k² = 7k² >= 0, това уравнение има корени
$x_{1,2} = -2k ± k\sqrt{7} = (-2 \pm \sqrt{7})k$ ако те не са равни на k
Да намерим за кои стойности на к числото х₁ или х₂ е равно на k:
$ х_1 = k \Leftrightarrow (-2 + \sqrt{7})k = k $
$ х_2 = k \Leftrightarrow (-2 - \sqrt{7})k = k $
Всяко от тези равенства е вярно само за k = 0. Но в решаваната задача
k ≠ 0
Следователно, всяко дробно уравнение, принадлежащо на множеството уравнения, определено от даденото параметрично уравнение, има два корена, които се пресмятат с формулата
$ х_{1,2} = (-2 \pm \sqrt{7})k $

Линкове

Задачи от квадратни уравнения

Задачи от формули на Виет

Форум за уравнения

Форум за уравнения(архив)