Задача 1
В един магазин следобяд продали два пъти повече круши, отколкото предиобяд,а през целия ден продали 360 кг. круши. Колко килограма круши са продали преди обяд и колко следобяд?
Решение:
Нека продадените круши предиобяд са [tex]x[/tex] кг, тогава следобяд са продали [tex]2x[/tex] кг. Сборът им [tex]x + 2x = 3x[/tex] кг са общо продадените круши, 360 кг. И така получихме следното уравнение [tex]3x = 360[/tex] [tex]x = \frac{360}{3}[/tex] [tex]x = 120[/tex] Следователно предиобяд са продали 120 кг круши, а следобяд [tex]2\cdot 120 = 240[/tex] кг.
Задача 2
Иван събрал два пъти повече кестени, отколкото Петър, а Борис събрал с 2 кг. повече от Петър. Тримата са събрали общо 26 кг кестени. По колко кг.кестени е събрал всеки от тях?
Решение:
Нека събраните от Петър кестени са [tex]x[/tex] кг., тогава Иван е събрал [tex]2x[/tex] кг., а Борис
[tex](x + 2)[/tex] кг. Събраните от тримата кестени са: [tex]x + 2x + x + 2 = 4x + 2[/tex] и по условие те са 26 кг. Така получаваме уравнението: [tex]4x + 2 = 26[/tex] [tex]4x = 24[/tex] [tex]x = 6[/tex]
Следователно Петър е събрал 6 кг., Иван [tex]2\cdot 6 = 12[/tex] кг, а Борис [tex]6 + 2 = 8[/tex] кг кестени.
Задача 3
Камен прочел [tex]\frac{2}{3}[/tex] от една книга и пресметнал, че прочетената част е с 90 страници по-голяма от непрочетената. Колко страници е цялата книга?
Решение:
Нека цялата книга е [tex]x[/tex] страници. Прочетената част е [tex]\frac{2}{3}[/tex] от [tex]x[/tex], т.е. [tex]\frac{2}{3}x[/tex]
Непрочетената част ще получим, когато от цялата книга извадим прочетената, т.е. [tex]x - \frac{2}{3}x = \frac{3}{3}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x[/tex]. Прочетената част [tex]\frac{2}{3}x[/tex] е с 90 страници по-голяма от непрочетената, която е [tex]\frac{1}{3}x[/tex]. Следователно [tex]\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x = 90[/tex] [tex]\frac{1}{3}x = 90[/tex]
[tex]x = 90\cdot 3 = 270[/tex] И така книгата е 270 страници.
Задача 4
Eдин блок може да се изоре от 6 трактора за 4 дни , ако изорават по 120 дка. на ден . Наложило се два от тракторите да бъдат преместени на друг блок. Останалите 4 трактора изорали същия блок за 5 дни. По колко декара на ден средно са изоравали четирите трактора?
Решение:
Щом 6 трактора са изоравали на ден по 120 дка. и за 4 дни са свършили блока, то целият блок е: [tex]120\cdot 6\cdot 4 = 720\cdot 4 = 2880[/tex] дка. Нека всеки от четирите трактора за петте работни дни е изоравал по [tex]x[/tex] дка. Следователно свършената от тях работа е:
[tex]5\cdot 4\cdot x = 20x[/tex] дка. и това е целият блок – 2880 дка. И така получихме [tex]20x = 2880[/tex]
[tex]x = \frac{2880}{20} = 144[/tex] дка на ден е орал всеки от четиримата трактористи.
Задача 5
Ученик намислил едно число, умножил го по 2, от полученото произведение извадил 138 и получил 102. Кое число е намислил ученикът?
Решение:
Нека намисленото число е [tex]x[/tex], като го е умножил по 2 е получил [tex]2x[/tex]; от което е извадил 138 т.е. [tex]2x - 138[/tex], като по условие е получил 102. Трябва да решим това уравнение за да разберем намисленото число
[tex]2x - 138 = 102[/tex] [tex]2x = 240[/tex] [tex]x = \frac{240}{2}[/tex] [tex]x = 120[/tex]
Задача 6
Намислих едно число, разделих го на 5, от полученото частно извадих 154 и получих 6. Кое число съм намислил?
Упътване: Намисленото число е [tex]x[/tex], а уравнението: [tex]\frac{x}{5} - 154 = 6[/tex]
Решете уравнението сами. Отговор [tex]x = 800[/tex]
Задача 7
От две селища, разстоянието между които е 380 км., тръгнали едновременно една срещу друга лека и товарна кола. С каква скорост са се движели колите, ако скоростта на леката кола е с 5км./ч. по-голяма от скоростта на товарната и е известно, че са се срещнали след 4 часа?
Решение:
Основната зависимост, която се използува при задачите от движение е, че пътят е равен на скоростта по времето [tex]S = V\cdot t[/tex]
[tex]V[/tex] км./ч.
[tex]t[/tex] ч.
[tex]S[/tex] км.
Лека кола
[tex]x + 5[/tex]
[tex]4[/tex]
[tex]4(x + 5)[/tex]
Товарна кола
[tex]x[/tex]
[tex]4[/tex]
[tex]4x[/tex]
[tex]4(x + 5) + 4x = 380[/tex] [tex]4x + 4x = 380 - 20[/tex] [tex]8x = 360[/tex] [tex]x = \frac{360}{8}[/tex] [tex]x = 45[/tex]
Следователно товарната кола се е движела с 45 км/ч., а леката с 50 км/ч.
Задача 8
Едната страна на правоъгълник е с 3 см. по-къса от другата му страна. Намерете страните на правоъгълника, ако е известно, че ако всяка от страните му се увеличи с 1см., лицето на правоъгълника ще се увеличи с 18 см.2
Решение:
Нека едната му страна е [tex]x[/tex] см. [tex](x > 3)[/tex], то другата ще бъде [tex]x - 3[/tex] см. За лицето намираме [tex]S_1 = x(x - 3)[/tex] см.2. Ако размерите се увеличат с по 1см., то страните ще бъдат съответно [tex](x + 1)[/tex] см. и [tex](x - 3 + 1) = (x - 2)[/tex] см. и това са новите размери на правоъгълника, при което лицето е [tex]S_2 = (x + 1)(x - 2)[/tex] см.2 и по условие то е с 18 см.2 по–голямо от първото. Следователно получаваме следното уравнение:
[tex]S_1 + 18 = S_2[/tex] [tex]x(x - 3) + 18 = (x + 1)(x - 2)[/tex] [tex]x^2 - 3x + 18 = x^2 + x - 2x - 2[/tex] [tex]2x = 20[/tex] [tex]x = 10[/tex] И така страните на правоъгълника са 10см. и [tex]10 - 3 = 7[/tex] см.
Задача 9
От две крави надоили за една година 8100л. мляко .На следващата година първата крава увеличила млеконадоя с 15%, а втората с 10% и сатова са надоили 9100 л. мляко от двете крави. Колко литра мляко е надоено от всяка крава през първата и втората година?
Решение:
Ако през първата година първата крава е дала [tex]x[/tex] л., то втората е дала [tex](8100 - x)[/tex] л.
Увеличението за втората година в млеконадоя им е 15% от [tex]x[/tex], т.е. [tex]\frac{15}{100}x[/tex] и
10 % от [tex](8100 - x)[/tex], т.е. [tex]\frac{10}{100}(8100 - x)[/tex]. Тогава през втората година двете крави
са дали количеството мляко от първата година + увеличението за втората година
Така получаваме следното уравнение: [tex]8100 + \frac{15}{100}x + \frac{10}{100}(8100 - x) = 9100[/tex]
Следователно [tex]8100 + \frac{3}{20}x + \frac{1}{10}(8100 - x) = 9100[/tex] [tex]\frac{1}{20}x = 190[/tex] [tex]x = 3800[/tex]
И така първата година са надоили по 3800 и 4300 л. от всяка крава, а през втората
година по 4370 л и 4730 л.
Задача 10
Разстоянието между гарите А и В е 148 км. От гара А за гара В тръгва експресен
влак, който се движи със скорост 80 км/ч, а едновременно с него от гара В за гара А тръгва товарен влак със скорост 36 км/ч Известно е, че до срещата на двата влака в гара С експресният влак е правил престой от 10 мин., а товарният влак - от 5 мин. Да се намери:
а) Разстоянието от гара С до гара В
б) В колко часа е тръгнал товарният влак от гара В, ако срещата с експресния влак в гара С е станала в 12 часа на обяд.
Решение:
а) Означаваме разстоянието от гара В до гара С с [tex]x[/tex] км. Тогава разстоянието от гара С до гара А е [tex](148 - x)[/tex] км. До момента на срещата в гара С експресния влак е пътувал [tex]\frac{148 - x}{80} + \frac{10}{60}[/tex] часа, а товарният влак [tex]\frac{x}{36} + \frac{5}{60}[/tex]. Тъй като влаковете са тръгнали едновременно, тези времена са равни:
[tex]\frac{148 - x}{80} + \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{12}[/tex] Привеждаме към най-малък общ знаменател, който за 6, 12, 36, 80 е 720. Освобождаваме от знаменател и получаваме:
[tex]9(148 - x) + 120 = 20x + 60[/tex] [tex]1332 - 9x + 120 = 20x + 60[/tex] [tex]29x = 1392[/tex] [tex]x = 48[/tex]
Следователно разстоянието от гара В до гара С е 48 км.
б) До момента на срещата в гара С товарният влак е пътувал
[tex]\frac{48}{36} + \frac{5}{60} = \frac{85}{60} = 1\frac{25}{60}[/tex] часа, или 1 час и 25 мин.
Следователно той е тръгнал от гара В в [tex]12 - 1\frac{25}{60} = 10\frac{35}{60}[/tex] часа, т.е. в 10 часа и 35 минути.
Задача 11
Моторист трябвало да измине разстоянието от град А до град В за определено време. Два часа след тръгването си той забелязал, че е изминал 80 км и ако продължава да се движи със същата скорост, ще пристигне в град В със закъснение от 15 минути, затова той увеличил скоростта си с 10км/ч и пристигнал в град В 36 минути преди определеното време . Да се намери:
а) Разстоянието между двата града;
б) Определеното време ,за което мотористът е трябвало да измине разстоянието от град А до град В
Решение:
Означаваме разстоянието от град А до град В с [tex]x[/tex] км. Тъй като мотористът за 2 часа е изминал 80 км, то скоростта му е [tex]V = \frac{80}{2} = 40[/tex] км/ч. (скоростта е равна на пътя делено на времето) С тази скорост би изминал целия път за време [tex]\frac{x}{40}[/tex] ч, (времето е равно на пътя разделен на скоростта), закъснявайки с 15 мин., т.е определеното време е [tex]\frac{x}{40} - \frac{15}{60}[/tex] ч. Останалият път [tex](x - 80)[/tex] км. той изминал
със скорост [tex]V = 40 + 10 = 50[/tex] км/ч. Така времето, за което той е изминал пътя от
А до В, е [tex]2 + \frac{x - 80}{50}[/tex] ч. и то е с 36 мин. по-малко от предвиденото. Следователно предвиденото време е [tex]2 + \frac{x - 80}{50} + \frac{36}{60}[/tex]. Като приравним изразите за предвиденото време, получаваме уравнението:
[tex]\frac{x}{40} - \frac{15}{60} = 2 + \frac{x - 80}{50} + \frac{36}{60}[/tex] [tex]\frac{x - 10}{40} = \frac{100 + x - 80 + 30}{50}[/tex] [tex]\frac{x - 10}{4} = \frac{x + 50}{5}[/tex] [tex]5x - 50 = 4x + 200[/tex] [tex]x = 250[/tex]
И така търсеното разстояние е 250 км. Определеното време ще намерим, като заместим [tex]x[/tex] с 250 в една от страните на първото уравнение, например:
[tex]\frac{x}{40} - \frac{15}{60} = \frac{250}{40} - \frac{1}{4} = \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = \frac{24}{4} = 6[/tex] часа.
Задача 12
Бригада, за да изработи една поръчка от машинни детайли в определен срок, трябва да изработва по 25 детайла дневно. След 3 дни работа бригадата увеличила дневната си производителност с 5 детайла, поради което изработила 100 детайла над плана за определения срок. Да се намери колко детайла е изработила бригадата и за колко дни?
Решение:
Нека дните, за които работи бригадата, са [tex]x[/tex]. Тогава [tex]25x[/tex] са детайлите, които е трябвало да произведе. При новата норма е произвела:
[tex]3\cdot 25 + (x - 3)(25 + 5) = 75 + 30(x - 3)[/tex] и те са със 100 повече от предвидените.
Тогава: [tex]25x = 75 + 30(x - 3) - 100 \iff 25x = 75 + 30x - 90 - 100[/tex]
[tex]190 - 75 = 30x - 25x[/tex] [tex]115 = 5x[/tex] [tex]x = 23[/tex]
И така дните са 23, а изработените детайли са [tex]23\cdot 25 = 575[/tex] броя
Задача 13
Броят на учениците от 7а клас е 24 .По време на бригада те засадили общо 24 брези и рози,като всяко момиче засадило по 3 рози, а всеки три момчета засадили общо по 1 бреза. Да се намери колко брези и колко рози са засадени от учениците от 7а клас?
Решение:
Нека броят на засадените рози е [tex]x[/tex], тогава брезите са [tex](24 - x)[/tex]. Щом всяко момиче е засадило по 3 рози,
то броят на момичетата е [tex]\frac{x}{3}[/tex]. От това, че 3 момчета са засадили една бреза следва, че момчетата са [tex]3(24 - x)[/tex].
Общият брой на учениците в този клас е 24, т.е. [tex]\frac{x}{3} + 3(24 - x) = 24[/tex] [tex]x + 9(24 - x) = 3\cdot 24[/tex] [tex]x + 216 - 9x = 72[/tex] [tex]216 - 72 = 8x[/tex] [tex]\frac{144}{8} = x[/tex] [tex]x = 18[/tex] Следователно засадените рози са 18, а брезите са [tex]24 - x = 24 - 18 = 6[/tex] броя.
Задача 14
От град А тръгнал автомобил по опеделен маршрут за град В със скорост [tex]V = 32[/tex] км/ч. След 3 часа от тръгването си той направил престой от 15 мин. в град С и поради повреда на пътя продължил за В по друг път, който е с 28км. по-дълъг от предвидения, със скорост [tex]V = 40[/tex] км/ч. Ако автомобилът е пристигнал в град В с 30 мин. закъснение от определеното време, да се намери:
а) изминатият от автомобила път
б) времето, за което автомобилът е изминал пътя от С до В
Решение:
От условието на задачата не е ясно дали престоят от 15 мин. в град С е предвиден или се е наложил поради ремонта на пътя. Поради това ще разгледаме двата варианта.
І вариант. Ако престоят е предвиден и когато се е движил пряко към В. За двата случая ще следим движението само от С до В. Реалното движение (по обходния път) нека е станало за [tex]x[/tex] ч. Тогава изминатият път от С до В е [tex]S = 40x[/tex] км. Времето от С до В при прякото движение е [tex]x - \frac{30}{60} = x - \frac{1}{2}[/tex] ч. Пътят, който е трябвало да се измине от С до В, ако е нямало ремонт, е [tex]32\left(x - \frac{1}{2}\right)[/tex] км, който е с 28 км. по-къс от [tex]40x[/tex] км. Така уравнението което получаваме, е
[tex]32\left(x - \frac{1}{2}\right) + 28 = 40x[/tex] [tex]32x - 16 + 28 = 40x[/tex] [tex]8x = 12[/tex] [tex]x = \frac{12}{8}[/tex]
[tex]x = 1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2} = 1\frac{30}{60}[/tex] = 1 час и 30 минути
И така времето, за което автомобилът е изминал пътя от С до В, е 1 час и 30 мин.
А изминатият път от А до В е [tex]3\cdot 32 + \frac{12}{8}\cdot 40 = 96 + 60 = 156[/tex] км.
ІІ вариант
Нека престоят в град С от 15 минути е извършен само в реалния случай, т.е. поради наложилото се отклонение. Нека отново движението, което на практика е осъществено от С до В, е за [tex]x[/tex] ч. Тогава пътят отново е [tex]S = 40x[/tex] км. При прякото движение от С до В времето е [tex]x - \frac{30}{60} + \frac{15}{60} = x - \frac{15}{60} = x - \frac{1}{4}[/tex] ч. Прекият път от С до В е [tex]32\left(x - \frac{1}{4}\right)[/tex] км. и той е с 28 км. по-къс от [tex]40x[/tex], т.е.
[tex]32\left(x - \frac{1}{4}\right) + 28 = 40x[/tex] [tex]32x - 8 + 28 = 40x[/tex] [tex]20 = 8x[/tex]
[tex]x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}[/tex]
[tex]x = 2\frac{1}{2}[/tex] ч.
Тогава времето за реалното движение от С до В е 2 часа и 30 мин.
Изминатият път е [tex]40\cdot 2{,}5 = 100[/tex] км.
Задача 15
Тракторист, за да изоре един блок в определен срок, трябва да изорава по 120 декара дневно. Поради технически причини той изоравал по 85 дка на ден и в резултат на това орал 2 дни повече от определеното време, като му останали за изораване още 40 дка. Да се намери колко декара е целият блок и за колко дни е трябвало да бъде изоран?
Решение:
Нека дните, за които е трябвало да бъде изоран блокът, са [tex]x[/tex]. Тогава целият блок е [tex]120x[/tex] дка.
При реално оране времето е [tex]x + 2[/tex] и по 85 дка. на ден, следователно е изорано [tex]85(x + 2)[/tex], което е с 40 дка по-малко от блока. Тогава уравнението е:
[tex]120x = 85(x + 2) + 40[/tex] [tex]35x = 210[/tex] [tex]x = 6[/tex]
И така дните, за които е трябвало да бъде изоран блокът, са 6, а блокът е [tex]120\cdot 6 = 720[/tex] дка.
Задача 16
Един стругар изработва за 24 дни определено количество детайли.Като увеличил дневната си норма с 5 детайла, той работил 22 дни и изработил 80 детайла над определеното количество. Да се намери дневната норма на стругаря и колко детайла е трябвало да изработи?
Решение:
Нека [tex]x[/tex] детайла е дневната му норма. За 24 дни ще изработи [tex]24x[/tex] детайла. Новата му норма е
[tex]x + 5[/tex] детайла и за 22 дни ще изработи [tex]22(x + 5)[/tex] детайла, които са 80 повече от [tex]24x[/tex]. Тогава уравнението е:
[tex]24x + 80 = 22(x + 5)[/tex] [tex]30 = 2x[/tex] [tex]x = 15[/tex]
И така дневната норма е 15 детайла, а общо е трябвало да изработи [tex]15\cdot 24 = 360[/tex] детайла.
Задача 17
Моторист изминал половината от пътя между два града за 2ч.30мин., а след това като увеличил скоростта си с 2км/ч изминал втората половина от пътя за 2ч.20мин. Да се намери разстоянието между двата града и първоначалната скорост на моториста?
Решение:
Ако първата половина на пътя скоростта е [tex]x[/tex] км/ч, то във втората половина ще бъде [tex]x + 2[/tex] км/ч.
Пътищата, изминати с тези скорости, са съответно [tex]2\frac{30}{60}\cdot x[/tex] км и [tex]2\frac{20}{60}\cdot (x + 2)[/tex] км и те по условие са равни помежду си.
От уравнението: [tex]2\frac{30}{60}\cdot x = 2\frac{20}{60}\cdot (x + 2)[/tex] получаваме [tex]x = 28[/tex] км/ч
Половината от пътя е измината за 2 часа и 30 минути или 2,5 часа с 28 км в час или [tex]2{,}5\cdot 28 = 70[/tex].
Следователно целият път е [tex]2\cdot 70 = 140[/tex] км.
Задача 18
Влак, след като изминал половината от пътя между две гари А и В със скорост 48 км/ч, спрял за 15 мин., а след това увеличил скоростта си с [tex]\frac{5}{3}[/tex] м/сек. и пристигнал навреме в град В .
Да се намерят разстоянието между двете гари и скоростта на влака след спирането?
Решение:
Първо ще определим скоростта на влака след спирането. Увеличението от [tex]\frac{5}{3}[/tex] м/сек [tex]= \frac{5\cdot 60\cdot 60}{3\cdot 1000}[/tex] км/ч [tex]= 6[/tex] км/ч
Тогава новата скорост е [tex]48 + 6 = 54[/tex] км/ч. Ако първата половина от пътя е измината за [tex]x[/tex] часа, то втората - за [tex]x - \frac{15}{60} = x - 0{,}25[/tex] ч
Тогава уравнението е: [tex]48x = 54(x - 0{,}25)[/tex]
[tex]48x = 54x - 54\cdot 0{,}25[/tex]
[tex]48x - 54x = -13{,}5[/tex]
[tex]-6x = -13{,}5[/tex]
[tex]x = 2{,}25[/tex] часа.
Търсеният път e [tex]2\cdot 48\cdot 2{,}25 = 216[/tex] км.
Задача 19
Един работник може да свърши определена работа за 15 дни, а друг работник свършва за същото време само 75% от нея. Отначало вторият работник работил няколко дни, след това се включил и първият работник и двамата свършили останалата част от работата заедно за 6 дни .
Да се намери колко дни е работил всеки работник и какъв процент от работата е свършил всеки от тях?
Решение:
Първо ще намерим дневната норма на всеки от работниците. Ако цялата извършена работа приемем за единица (1), то нормата на първия е [tex]\frac{1}{15}[/tex], а на втория е 75% от [tex]\frac{1}{15}[/tex], т.е.
[tex]\frac{75}{100}\cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{20}[/tex]
Нека вторият работник е работил сам [tex]x[/tex] дни. Тогава свършената от него работа ще бъде [tex]\frac{x}{20}[/tex]. За шестте дни обща работа те са изработили [tex]6\left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) = 6\cdot \frac{7}{60} = \frac{7}{10}[/tex] Сборът на [tex]\frac{x}{20}[/tex] и [tex]\frac{7}{10}[/tex] дава цялата работа, т.е. 1. И така получаваме уравнението:
[tex]\frac{x}{20} + \frac{7}{10} = 1[/tex] [tex]x = 6[/tex] Вторият работник е работил [tex]6 + 6 = 12[/tex] дни, а първият само 6 дни. Работата, извършена от втория, е [tex]12\cdot \frac{1}{20} = \frac{60}{100} = 60\%[/tex], а от първия [tex]6\cdot \frac{1}{15} = \frac{40}{100} = 40\%[/tex]
Задача 20
Трактористи запланували да изорат едн блок,като изорават по 120дка. на ден След първите два дни те увеличили нормата с 25%, поради което завършили работата два дни предсрочно . Да се
намери:
а) колко декара е целият блок?
б) за колко дни е изоран блокът?
в) за колко дни по план би бил изоран блокът?
Решение:
Първо ще намерим новата норма на трактористите в дка.: 25% от 120 дка са [tex]\frac{25}{100}\cdot 120 = 30[/tex] дка, следователно [tex]120 + 30 = 150[/tex] дка. е новата норма. Нека първоначално необходимото време за изораване на блока е [tex]x[/tex] дни. Тогава блокът е [tex]120x[/tex] дка. Същият блок може да се намери, когато към [tex]120\cdot 2[/tex] дка прибавим [tex]150(x - 4)[/tex] дка. Тогава уравнението е [tex]120x = 120\cdot 2 + 150(x - 4)[/tex]
[tex]x = 12[/tex] И така, 12 дни са били необходими по план, а реално блокът е изоран за [tex]12 - 2 = 10[/tex] дни.
Блокът е [tex]120\cdot 12 = 1440[/tex] дка.
Задача 21
За да окоси еди блок с трева в определен срок, бригада косачи трябвало да окосява по 15 дка дневно. Пъвите 4 дни те работили с тази норма, а след това увеличили нормата си с [tex]33\frac{1}{3}\%[/tex] от заплануваната, поради което съкратили срока с 1 ден Да се намери:
А) колко декара е целият блок?
Б) за колко дни е изоран блокът?
В) за колко дни по план би бил изоран блокът?
Упътване: Увеличението на нормата е [tex]33\frac{1}{3}\% = \frac{100}{3}\%[/tex] от 15 или [tex]\frac{100}{3\cdot 100}\cdot 15 = 5[/tex] дка.
Така новата норма е [tex]15 + 5 = 20[/tex] дка. Виж задача 20 и реши сам Отговор: А) 120 дка Б) 7 дни В) 8 дни
Задача 22
Един влак трябвало да измине разстоянието от А до В по разписание за определено време. Ако влакът тръгне от гара А и се движи със скорост 75км/ч, ще пристигне в гара В 48 минути по-рано, а ако се движи с 50км/ч,за определеното време ще стигне на 40км. Преди гара В. Д а се намери:
А) разстоянието между двете гари;
Б)времето по разписание, за което влакът изминава това разстояние;
В) скоростта, с която трябва да се движи влакът, за да спази разписанието;
Решение:
Нека времето за движение от А до В е [tex]x[/tex] часа. Тогава пътят от А до В можем да намерим по два начина. Първо [tex]75\left(x - \frac{48}{60}\right)[/tex] км., и второ, [tex]50x + 40[/tex] км. И така получаваме уравнението:
[tex]75\left(x - \frac{48}{60}\right) = 50x + 40[/tex] [tex]x = 4[/tex] часа е времето по разписание. Разстоянието между двете гари е [tex]50\cdot 4 + 40 = 240[/tex] км. Тогава скоростта, за да се спази времето от 4 часа, е [tex]\frac{240}{4} = 60[/tex] км/ч
Задача 23
От два града А и В, разстоянието между които е 300км, тръгнали едновременно един срещу друг два влака. Известно е, че скоростта на единия влак е с 10 км/ч по-голяма от скоростта на другия влак. Да се намерят скоростите на двата влака, ако два часа след тръгването им разстоянието между тях е 40 км.
Решение:
Нека скоростта на влака, който се движи по-бавно, е [tex]x[/tex] км/ч, на другия ще бъде [tex]x + 10[/tex] км/ч. След два часа те ще са изминали съответно [tex]2x[/tex] км и [tex]2(x + 10)[/tex] км. Тогава целият път от А до В е [tex]2x + 2(x + 10) + 40 = 4x + 60[/tex] км, ако влаковете още не са се срещнали, или [tex]2x + 2(x + 10) - 40 = 4x - 20[/tex] км, ако те са се разминали. Така получаваме следните две уравнения: [tex]4x + 60 = 300[/tex] [tex]4x = 240[/tex] [tex]x = 60[/tex] или
[tex]4x - 20 = 300[/tex] [tex]4x = 320[/tex] [tex]x = 80[/tex]
И така скоростта на влака, който се движи по-бавно, е 60 км/ч или 80 км/ч, а съответната скорост на другия влак е 70 км/ч или 90 км/ч
Задача 24
Един автобус изминава разстоянието между два града А и В за определено време.Ако автобусът се движи с 50 км/ч, ще пристигне в В с 42 мин.закъснение, а ако увеличи скоростта си с [tex]5\frac{5}{9}[/tex] м/сек.,ще пристигне в В с 30 мин. преди определеното време Да се намери:
А) разстоянието между двата града;
Б) определеното време, за което автобусът е трябвало да измине това разстояние;
В) скоростта на движение на автобуса( по разписание) за определеното време.
Решение:
Първо ще определим новата скорост на автобуса. Увеличението е [tex]5\frac{5}{9}[/tex] м/сек. [tex]= \frac{50}{9}[/tex] м/сек [tex]= \frac{50\cdot 60\cdot 60}{9\cdot 1000}[/tex] км/ч [tex]= 20[/tex] км/ч. Следователно новата скорост е [tex]V = 50 + 20 = 70[/tex] км/ч. Ако по разписание времето за движение е [tex]x[/tex] часа, то при скорост 50 км/ч се е движил от А до В за [tex]x + \frac{42}{60}[/tex] ч, а при [tex]V = 70[/tex] км/ч за време [tex]x - \frac{30}{60}[/tex] ч. Тогава [tex]50\left(x + \frac{42}{60}\right) = 70\left(x - \frac{30}{60}\right)[/tex] [tex]5\left(x + \frac{7}{10}\right) = 7\left(x - \frac{1}{2}\right)[/tex] [tex]\frac{7}{2} + \frac{7}{2} = 7x - 5x[/tex] [tex]2x = 7[/tex] [tex]x = \frac{7}{2}[/tex] И така времето по разписание е 3ч.30мин.
Разстоянието от А до В е [tex]70\left(\frac{7}{2} - \frac{1}{2}\right) = 70\cdot 3 = 210[/tex] км, а скоростта по разписание е [tex]210 : \frac{7}{2} = 60[/tex] км/ч.
Задача 25
Да се докаже че:
А) сборът на кое да е двуцифрено число и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, се дели на 11
Б) разликата на кое да е двуцифрено число и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, се дели на 9
Решение:
Нека двуцифреното число е [tex]\overline{xy}[/tex], следователно [tex]\overline{xy} = 10x + y[/tex]
А) [tex]\overline{xy} + \overline{yx} = 10x + y + 10y + x = 11x + 11y = 11(x + y)[/tex]. Последният запис показва, че за всяко [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] сборът [tex]\overline{xy} + \overline{yx}[/tex] се дели на 11
Б) [tex]\overline{xy} - \overline{yx} = 10x + y - 10y - x = 9x - 9y = 9(x - y)[/tex] – разглежданата разлика се дели на 9
Задача 26
Да се докаже, че:
А)разликата от квадратите на две последователни нечетни числа се дели на 8;
Б) разликата от квадратите на две последователни четни числа се дели на 4;
Решение:
А) Две последователни нечетни числа задаваме с формулите [tex]2n + 1[/tex], [tex]2n + 3[/tex], където [tex]n[/tex] е произволно цяло число. Тогава [tex](2n + 1)^2 - (2n + 3)^2 = 4n^2 + 4n + 1 - (4n^2 + 12n + 9) = 4n^2 + 4n + 1 - 4n^2 - 12n - 9 = -8n - 8 = -8(n + 1)[/tex]. Следователно въпросната разлика се дели на 8
Б) Две последователни четни числа се задават с формулата [tex]2n[/tex], [tex]2n + 2[/tex]. Тогава [tex](2n)^2 - (2n + 2)^2 = 4n^2 - 4n^2 - 8n - 4 = -4(2n + 1)[/tex], което показва, че въпросната разлика се дели на 4
Задачи за упражнение
Задача 1: Такси изминало разтоянието от A до B и обратно за 131/2 часа. От A до B се движило със скорост 65 км/ч, а обратно със 70 км/ч. Колко е разтоянието AB
Отговор: 455 km. Използвайте формулата S=V.T и съставете уравнение.
Задача 2: Да се намери число, което при деление на 5 дава остатък 1, а при деление на 7 остатък 5 и сборът от получените частни е 1/3 от търсеното число.
Отговор: 96.
Задача 3: След 4 години ще бъда 2 пъти по-голям, отколкото бях преди 4 години, а моята сестра след 6 години ще бъде 3 пъти по-голяма, отколкото е била преди 6 години. Кой е по-голям?
Меню
Задачи от движение - път, скорост, време