Задача 1
В един магазин следобяд продали два пъти повече круши, отколкото предиобяд,а през целия ден продали 360 кг. круши. Колко килограма круши са продали преди обяд и колко следобяд?
Решение:
Нека продадените круши предиобяд са х кг, тогава следобяд са продали 2х кг. Сборът им х + 2х = 3х кг са общо продадените круши, 360 кг. И така получихме следното уравнение 3х = 360 х = 360/3 х = 120 Следователно предиобяд са продали 120 кг круши, а следобяд 2.120 = 240 кг.
Задача 2
Иван събрал два пъти повече кестени, отколкото Петър, а Борис събрал с 2 кг. повече от Петър. Тримата са събрали общо 26 кг кестени. По колко кг.кестени е събрал всеки от тях?
Решение:
Нека събраните от Петър кестени са х кг., тогава Иван е събрал 2х кг., а Борис
(х +2) кг. Събраните от тримата кестени са: х +2х +х +2 = 4х +2 и по условие те са 26 кг. Така получаваме уравнението: 4х +2 = 26 4х = 24 х = 6
Следователно Петър е събрал 6 кг., Иван 2.6 = 12кг, а Борис 6 +2 = 8 кг кестени.
Задача 3
Камен прочел 2/3 от една книга и пресметнал, че прочетената част е с 90 страници по-голяма от непрочетената. Колко страници е цялата книга?
Решение:
Нека цялата книга е х страници. Прочетената част е 2/3 от х, т.е. 2/3.х
Непрочетената част ще получим, когато от цялата книга извадим прочетената, т.е. х -2/3 .х = 3/3х -2/3х = 1/3х Прочетената част 2/3х е с 90 страници по-голяма от непрочетената, която е 1/3х Следователно 2/3х – 1/3х = 90 1/3х =90
x = 90.3 = 270 И така книгата е 270 страници.
Задача 4
Eдин блок може да се изоре от 6 трактора за 4 дни , ако изорават по 120 дка. на ден . Наложило се два от тракторите да бъдат преместени на друг блок. Останалите 4 трактора изорали същия блок за 5 дни. По колко декара на ден средно са изоравали четирите трактора?
Решение:
Щом 6 трактора са изоравали на ден по 120 дка. и за 4 дни са свършили блока, то целият блок е: 120.6.4 = 720.4 = 2880 дка.Нека всеки от четирите трактора за петте работни дни е изоравал по х дка. Следователно свършената от тях работа е:
5.4.х = 20.х дка. и това е целият блок – 2880дка. И така получихме 20х = 2880
х = 2880/20 = 144 дка на ден е орал всеки от четиримата трактористи.
Задача 5
Ученик намислил едно число, умножил го по 2, от полученото произведение извадил 138 и получил 102. Кое число е намислил ученикът?
Решение:
Нека намисленото число е х, като го е умножил по 2 е получил (2х); от което е извадил 138 т.е. 2.х - 138, като по условие е получил 102 2.х -138 = 102 Трябва да решим това уравнение за да разберем намисленото число
2.х -138 = 102 2х = 240 х = 240/2 х = 120
Задача 6
Намислих едно число, разделих го на 5, от полученото частно извадих 154 и получих 6. Кое число съм намислил?
Упътване: Намисленото число е х, а уравнението: х/5 -154 = 6
Решете уравнението сами. Отговор х = 800
Задача 7
От две селища, разстоянието между които е 380 км., тръгнали едновременно една срещу друга лека и товарна кола. С каква скорост са се движели колите, ако скоростта на леката кола е с 5км./ч. по-голяма от скоростта на товарната и е известно, че са се срещнали след 4 часа?
Решение:
Основната зависимост, която се използува при задачите от движение е, че пътят е равен на скоростта по времето S = V.t
V км./ч.
t ч.
S км.
Лека кола
X + 5
4
4(x +5)
Товарна кола
X
4
4x
4(x + 5) + 4x = 380 4x + 4x = 380 -20 8x = 360 x = 360/8 x = 45
Следователно товарната кола се е движела с 45 км/ч., а леката с 50 км/ч.
Задача 8
Едната страна на правоъгълник е с 3 см. по-къса от другата му страна. Намерете страните на правоъгълника, ако е известно, че ако всяка от страните му се увеличи с 1см., лицето на правоъгълника ще се увеличи с 18 см.2
Решение:
Нека едната му страна е х см. (х > 3), то другата ще бъде х – 3 см. За лицето намираме S1 = х(х - 3) см.2. Ако размерите се увеличат с по 1см., то страните ще бъдат съответно (х + 1) см. и (х - 3 + 1 ) = (х - 2) см. и това са новите размери на правоъгълника, при което лицето е S2 = (х + 1).(х - 2) см.2 и по условие то е с 18 см.2 по–голямо от първото. Следователно получаваме следното уравнение:
S1 +18 = S2 x(x - 3) + 18 = (x + 1)(x - 2) x2 - 3x + 18 = x2 + x - 2x - 2 2x = 20 x = 10 И така страните на правоъгълника са 10см. и (10 - 3) = 7см.
Задача 9
От две крави надоили за една година 8100л. мляко .На следващата година първата крава увеличила млеконадоя с 15%, а втората с 10% и сатова са надоили 9100 л. мляко от двете крави. Колко литра мляко е надоено от всяка крава през първата и втората година?
Решение:
Ако през първата година първата крава е дала х л., то втората е дала (8100 – х) л.
Увеличението за втората година в млеконадоя им е 15% от х, т.е. 15/100 .х и
10 % от (8100 –х), т.е. 10/100 . (8100 – х) . Тогава през втората година двете крави
са дали количеството мляко от първата година + увеличението за втората годин
Така получаваме следното уравнение: 8100 + 15/100.х + 10/100 . (8100 – х) = 9100
Следователно 8100 + 3/20х + 1/10 (8100 – х) = 9100 1/20 .х = 190 х = 3800
И така първата година са надоили по 3800 и 4300 л. от всяка крава, а през втората
година по 4370 л и 4730 л.
Задача 10
Разстоянието между гарите А и В е 148 км. От гара А за гара В тръгва експресен
влак, който се движи със скорост 80 км/ч, а едновременно с него от гара В за гара А тръгва товарен влак със скорост 36 км/ч Известно е, че до срещата на двата влака в гара С експресният влак е правил престой от 10 мин., а товарният влак - от 5 мин. Да се намери:
а) Разстоянието от гара С до гара В
б) В колко часа е тръгнал товарният влак от гара В, ако срещата с експресния влак в гара С е станала в 12 часа на обяд.
Решение:
а) Означаваме разстоянието от гара В до гара С с х км. Тогава разстоянието от гара С до гара А е (148 –х )км. До момента на срещата в гара С експресния влак е пътувал (148 –х)/80 + 10/60 часа , а товарният влак х/36 +5/60 .Тъй като влаковете са тръгнали едновременно , тези времена са равни :
(148 – х)/80 + 1/6 = х/36 + 1/12 Привеждаме към най-малък общ знаменател, който за 6, 12, 36, 80 е 720 Освобождаваме от знаменател и получаваме:
9(148 – х) +120 = 20х +60 1332 – 9х + 120 = 20х + 60
29х = 1392 х = 48
Следователно разстоянието от гара В до гара С е 48 км.
б) До момента на срещата в гара С товарният влак е пътувал
$\frac{48}{36} + \frac{5}{60} часа = \frac{85}{60} = 1$ час и $\frac{25}{60}$ или 1 час и 25 мин.
Следователно той е тръгнал от гара В в $12 - 1\frac{25}{60} = 10\frac{35}{60}$ часа, т.е. в 10 часа и 35 минути.
Задача 11
Моторист трябвало да измине разстоянието от град А до град В за определено време. Два часа след тръгването си той забелязал, че е изминал 80 км и ако продължава да се движи със същата скорост, ще пристигне в град В със закъснение от 15 минути, затова той увеличил скоростта си с 10км/ч и пристигнал в град В 36 минути преди определеното време . Да се намери:
а) Разстоянието между двата града;
б) Определеното време ,за което мотористът е трябвало да измине разстоянието от град А до град В
Решение:
Означаваме разстоянието от град А до град В с х км. Тъй като мотористът за 2 часа е изминал 80 км, то скоростта му е V = 80/2 = 40 км/ч. (скоростта е равна на пътя делено на времето) С тази скорост би изминал целия път за време х/40 ч, (Времето е равно на пътя разделен на скоростта), закъснявайки с 15 мин., т.е определеното време е х/40 – 15/60 ч. Останалият път (х - 80) км. той изминал
със скорост V = 40 + 10 = 50 км/ч Така времето, за което той е изминал пътя от
А до В, е
2 +(х - 80)/50 ч. и то е с 36 мин. по-малко от предвиденото. Следователно предвиденото време е 2 + (х -80)/50 + 36/60 Като приравним изразите за предвиденото време, получаваме уравнението:
х/40 – 15/60 = 2 + (х -80)/50 + 36/60 (х - 10)/40 = (100 + х - 80 + 30)/50 (х - 10)/4 = (х +50)/5 5х - 50 = 4х + 200 х = 250
И така търсеното разстояние е 250 км. Определеното време ще намерим, като заместим х с 250 в една от страните на първото уравнение, например;
х/40 – 15/60 = 250/40 – 1/4 = 25/4 – 1/4 = 24/4 = 6 часа.
Задача 12
Бригада, за да изработи една поръчка от машинни детайли в определен срок, трябва да изработва по 25 детайла дневно. След 3 дни работа бригадата увеличила дневната си производителност с 5 детайла, поради което изработила 100 детайла над плана за определения срок. Да се намери колко детайла е изработила бригадата и за колко дни?
Решение:
Нека дните, за които работи бригадата, са х . Тогава 25.х са детайлите, които е трябвало да произведе. При новата норма е произвела:
1.25 + (х - 3)(25 + 5) = 75 + 30.(х - 3) и те са със 100 повече от предвидените.
Тогава: 25.х = 75 + 30(х -3) – 100 o 25х = 75 +30х -90 – 100
190 -75 = 30х -25 115 = 5х х = 23
И така дните са 23 , а изработените детайли са 23.25 = 575 броя
Задача 13
Броят на учениците от 7а клас е 24 .По време на бригада те засадили общо 24 брези и рози,като всяко момиче засадило по 3 рози, а всеки три момчета засадили общо по 1 бреза. Да се намери колко брези и колко рози са засадени от учениците от 7а клас?
Решение:
Нека броят на засадените рози е х, тогава брезите са (24 – х). Щом всяко момиче е засадило по 3 рози,
то броят на момичетата е х/3. От това, че 3 момчета са засадили една бреза следва, че момчетата са 3(24 - х).
Общият брой на учениците в този клас е 24, т.е. х/3 + 3(24 – х) = 24 х + 9(24 – х) = 3.24 х + 216 - 9х = 72 216 – 72 = 8х 144/8 = х х = 18 Следователно засадените рози са 18, а брезите са 24 – х = 24 - 18 = 6 броя.
Задача 14
От град А тръгнал автомобил по опеделен маршрут за град В със скорост V = 32км/ч. След 3 часа от тръгването си той направил престой от 15 мин. в град С и поради повреда на пътя продължил за В по друг път, който е с 28км. по-дълъг от предвидения, със скорост V = 40км/ч. Ако автомобилът е пристигнал в град В с 30 мин. закъснение от определеното време, да се намери:
а) изминатият от автомобила път
б) времето, за което автомобилът е изминал пътя от С до В
Решение:
От условието на задачата не е ясно дали престоят от 15 мин. в град С е предвиден или се е наложил поради ремонта на пътя. Поради това ще разгледаме двата варианта.
І вариант . Ако престоят е предвиден и когато се е движил пряко към В . За двата случая ще следим движението само от С до В. Реалното движение (по обходния път) нека е станало за х ч. Тогава изминатият път от С до В е S = 40.х км. Времето от С до В при прякото движение е х - 30/60 = х - 1/2ч.Пътят,който е трябвало да се измине от С до В, ако е нямало ремонт, е (х - 1/2).32км, който е с 28 км.по-къс от 40.х км. Така уравнението което получаваме, е
(х - 1/2).32 +28 = 40х 32х -16 +28 = 40х 8х = 12 $x = \frac{12}{8}$
$x = 1\frac{4}{8} = 1\frac{1}{2} = 1\frac{30}{60} = $ = 1час и 30 минути
И така времето,за което автомобилът е изминал пътя от С до В, е 1час и 30 мин.
А изминатият път от А до В е $3.32 + \frac{12}{8}.40 = 96 + 60 = 156$ км.
ІІ вариант
Нека престоят в град С от 15 минути е извършен само в реалния случай, т.е. поради наложилото се отклонение. Нека отново движението,което на практика е осъществено от С до В, е за х ч. Тогава пътят отново е S = 40.х км.При прякото движение от С до В времето х - 30/60 + 15/60 = х - 15/60 = х - 1/4 ч. Прекият път от С до В е 32(х - 1/4)км. и той е с 28 км. по-къс от 40.х, т.е.
32(х - 1/4) + 28 = 40х 32х - 8 + 28 = 40х 20 = 8х
$x = \frac{20}{8}=\frac{5}{2}$
х = 2 часа и 1/2 ч.
Тогава времето за реалното движение от С до В е 2 часа и 30 мин.
Изминатият път е 40.2,5 = 100 км.
Задача 15
Тракторист, за да изоре един блок в определен срок, трябва да изорава по 120 декара дневно. Поради технически причини той изоравал по 85 дка на ден и в резултат на това орал 2 дни повече от определеното време, като му останали за изораване още 40 дка. Да се намери колко декара е целият блок и за колко дни е трябвало да бъде изоран?
Решение:
Нека дните, за които е трябвало да бъде изоран блокът, са х Тогава целият блок е 120.х дка.
При реално оране времето е х + 2 и по 85 дка.на ден ,следователно е изорано 85(х + 2), което е с 40 дка по-малко от блока. Тогава уравнението е:
120.х = 85(х + 2) + 40 35х = 210 х = 6
И така дните, за които е трябвало да бъде изоран блокът, са 6 а блокът е 120.6 = 720 дка.
Задача 16
Един стругар изработва за 24 дни определено количество детайли.Като увеличил дневната си норма с 5 детайла, той работил 22 дни и изработил 80 детайла над определеното количество. Да се намери дневната норма на стругаря и колко детайла е трябвало да изработи?
Решение:
Нека х детайла е дневната му норма. За 24 дни ще изработи 24.х детайла. Новата му норма е
x + 5 детайла и за 22 дни ще изработи 22.(х + 5) детайла, които са 80 повече от 24х. Тогава уравнението е:
24.х + 80 = 22.(х +5) 30 = 2х х = 15
И така дневната норма е 15 детайла, а а общо е трябвало да изработи 15.24 = 360 детайла.
Задача 17
Моторист изминал половината от пътя между два града за 2ч.30мин., а след това като увеличил скоростта си с 2км/ч изминал втората половина от пътя за 2ч.20мин. Да се намери разстоянието между двата града и първоначалната скорост на моториста?
Решение:
Ако първата половина на пътя скоростта е х км/ч, то във втората половина ще бъде х + 2 км/ч
Пътищата, изминати с тези скорости, са съответно $2\frac{30}{60}.х$ км и $2\frac{20}{60}.(х + 2)$ км и те по условие са равни помежду си.
От уравнението: $2\frac{30}{60}.х = 2\frac{20}{60}.(х + 2)$ получаваме х = 28км/ч
Половината от пътя е измината за 2 часа и 30 минути или 2,5 часа с 28 км в час или 2,5 . 28 = 70.
Следователно целят път е 2.70 = 140км.
Задача 18
Влак, след като изминал половината от пътя между две гари А и В със скорост 48 км/ч, спрял за 15 мин., а след това увеличил скоростта си с 5/3 м/сек. и пристигнал навреме в град В .
Да се намерят разстоянието между двете гари и скоростта на влака след спирането?
Решение:
Първо ще определим скоростта на влака след спирането. Увеличението от 5/3м/сек = 5.60.60/3.1000 км/ч = 6км/ч
Тогава новата скорост е 48 + 6 = 54 км/ч. Ако първата половина от пътя е измината за х часа, то втората - за х – 15/60 = х - 0,25ч
Тогава уравнението е: 48.х = 54.(х - 0,25)
48x = 54x - 54 . 0,25
48x - 54x = -13.5
-6x = -13,5
x = 2,25 часа.
Търсеният път e 2.48.2,25 = 216км.
Задача 19
Един работник може да свърши определена работа за 15 дни, а друг работник свършва за същото време само 75% от нея. Отначало вторият работник работил няколко дни, след това се включил и първият работник и двамата свършили останалата част от работата заедно за 6 дни .
Да се намери колко дни е работил всеки работник и какъв процент от работата е свършил всеки от тях?
Решение:
Първо ще намерим дневната норма на всеки от работниците. Ако цялата извършена работа приемем за единица (1), то нормата на първия е 1/15, а на втория е 75% от 1/15 ,т.е.
$\frac{75}{100}\cdot \frac{1}{15} = \frac{1}{20}$
Нека вторият работник е работил сам х дни .Тогава свършената от него работа ще бъде х/20 За шестте дни обща работа те са изработили 6.(1/15 +1/20) = 6.7/20 = 7/10 Сборът на х/20 и 7/10 дава цялата работа, т.е. 1. И така получаваме уравнението:
х/20 +7/10 = 1 х = 6 Вторият работник е работил 6 +6 = 12 дни , а първият само 6 дни. Работата извършена от втория, е 12.1/20 = 60/100 = 60%, а от първия 6.1/15 = 40/100 = 40%
Задача 20
Трактористи запланували да изорат едн блок,като изорават по 120дка. на ден След първите два дни те увеличили нормата с 25%, поради което завършили работата два дни предсрочно . Да се
намери:
а) колко декара е целият блок?
б) за колко дни е изоран блокът?
в) за колко дни по план би бил изоран блокът?
Решение:
Първо ще намерим новата норма на трактористите в дка.: 25% от 120 дка са 25/100.120 = 30 дка, следователно 120 + 30 = 150 дка. е новата норма. Нека първоначално необходимото време за изораване на блока е х дни . Тогава блокът е 120.х дка.Същият блок може да се намери , когато към 120.2дка прибавим 150.(х -4)дка Тогава уравнението е 120х = 120.2 + 150.(х -4)
х = 12 И така, 12 дни са били необходими по план , а реално блокът е изоран за 12 -2 =10 дни
Блокът е 120.12 = 1440 дка.
Задача 21
За да окоси еди блок с трева в определен срок, бригада косачи трябвало да окосява по 15 дка дневно. Пъвите 4 дни те работили с тази норма, а след това увеличили нормата си с 33.1/3%от заплануваната, поради което съкратили срока с 1 ден Да се намери:
А) колко декара е целият блок?
Б) за колко дни е изоран блокът?
В) за колко дни по план би бил изоран блокът?
Упътване: Увеличението на нормата е 33 1/3% = 100/3%от15 или (100/3.100).15 = 5 дка
Така новата норма е 15 +5 = 20 дка . Виж задача 20 и реши сам Отговор: А) 120 дка Б) 7 дни В) 8 дни
Задача 22
Един влак трябвало да измине разстоянието от А до В по разписание за определено време. Ако влакът тръгне от гара А и се движи със скорост 75км/ч, ще пристигне в гара В 48 минути по-рано, а ако се движи с 50км/ч,за определеното време ще стигне на 40км. Преди гара В. Д а се намери:
А) разстоянието между двете гари;
Б)времето по разписание, за което влакът изминава това разстояние;
В) скоростта, с която трябва да се движи влакът, за да спази разписанието;
Решение:
Нека времето за движение от А до В е х часа. Тогава пътят от А до В можем да намерим по два начина. Първо 75(х - 48/60)км., и второ, 50х + 40 км. Итака получаваме уравнението:
75(х - 48/60) = 50х + 40 х = 4 часа е времето по разписание. Разстоянието между двете гари е 50.4 +40 = 240 км Тогава скоростта, за да се спази времето от 4 часа, е 240/4 = 60 км/ч
Задача 23
От два града А и В, разстоянието между които е 300км, тръгнали едновременно един срещу друг два влака. Известно е, че скоростта на единия влак е с 10 км/ч по-голяма от скоростта на другия влак. Да се намерят скоростите на двата влака, ако два часа след тръгването им разстоянието между тях е 40 км.
Решение:
Нека скоростта на влака, който се движи по –бавно, е х км. /ч , на другия ще бъде х + 10 км/ч След два часа те ще са изминали съответно 2х км и 2 9х +10) км.Тогава целият път от А до В е 2х + 2(х +10) +40 = 4х +60 км, ако влаковете още не са се срещнали, или 2х +2( х +10) -40 = 4х -20 км, ако те са се разминали. Така получаваме следните две уравнения: 4х + 60 = 300 4х = 240 х = 60 или
4х – 20 = 300 4х = 320 х = 80
И така скоростта на влака, който се движи по-бавно, е 60 км/ч или 80 км/ч, а съответната скорост на другия влак е 70 км/ч или 90 км/ч
Задача 24
Един автобус изминава разстоянието между два града А и В за определено време.Ако автобусът се движи с 50 км/ч, ще пристигне в В с 42 мин.закъснение, а ако увеличи скоростта си с 5.5/9 м/сек.,ще пристигне в В с 30 мин. преди определеното време Да се намери:
А) разстоянието между двата града;
Б) определеното време, за което автобусът е трябвало да измине това разстояние;
В) скоростта на движение на автобуса( по разписание) за определеното време.
Решение:
Първо ще определим новата скорост на автобуса. Увеличението е 5.5/9 м/сек. = 50/9 м/сек = 50.60.60/9.1000 км/ч = 20 км/ч Следователно новата скорост е V = 50 +20 = 70 км/ч Ако по разписание времето за движение е х часа, то при скорост 50 км/ч се е движил от А доВ за х +42/60 ч, а при V = 70км/ч за време х – 30/60ч Тогава 50(х +42/60) = 70(х -30/60) 5(х +7/10) = 7(х -1/2)
7/2 +7/2 = 7х -5х 2х = 7 х = 7/2 И така времето по разписание е 3ч.30мин.
Разстоянието от А до В е 70(7/2 -1/2) = 70.3 = 210 км, а скоростта по разписание е 210/(7/2) = 60км/ч.
Задача 25
Да се докаже че:
А) сборът на кое да е двуцифрено число и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, се дели на 11
Б) разликата на кое да е двуцифрено число и числото, записано със същите цифри, но в обратен ред, се дели на 9
Решение:
Нека двуцифреното число е ху, следователно ху = 10х +у
А) ху + ух = 10х + у + 10у + х = 11х + 11у = 11(х + у ) Последният запис показва,че за всяко х и у сборът ху + ух се дели на 11
Б) ху – ух = 10х + у – 10у – х = 9х - 9у = 9(х – у) разглежданата разлика се дели на 9
Задача 26
Да се докаже, че:
А)разликата от квадратите на две последователни нечетни числа се дели на 8;
Б) разликата от квадратите на две последователни четни числа се дели на 4;
Решение:
А)Две последователни нечетни числа задаваме с формулите 2n + 1, 2n + 3, където n е произволно цяло число. Тогава (2n + 1)2 – (2n + 3)2 = 4n2 + 4n + 1 – (4n2 +12n +9) = 4n2 +4n +1 - 4n2 - 12n – 9 = -8n – 8 = - 8(n +1) Следователно въпросната разлика се дели на 8
Б)Две последователни четни числа се задават с формулата 2n, 2n +2 Тогава (2n)2 – (2n + 2)2 = 4n2 - 4n2 – 8n – 4 = - 4(2n +1), което показва, че въпросната разлика се дели на 4
Задачи за упражнение
Задача 1: Такси изминало разтоянието от A до B и обратно за 131/2 часа. От A до B се движило със скорост 65 км/ч, а обратно със 70 км/ч. Колко е разтоянието AB
Отговор: 455 km. Използвайте формулата S=V.T и съставете уравнение.
Задача 2: Да се намери число, което при деление на 5 дава остатък 1, а при деление на 7 остатък 5 и сборът от получените частни е 1/3 от търсеното число.
Отговор: 96.
Задача 3: След 4 години ще бъда 2 пъти по-голям, отколкото бях преди 4 години, а моята сестра след 6 години ще бъде 3 пъти по-голяма, отколкото е била преди 6 години. Кой е по-голям?
Меню