Уравнения с модул

Модул (абсолютна стойност) на едно число е разстоянието от това число до нулата върху числовата ос. Модулът на положително число или на нула е самото число, а модулът на отрицателно число е противоположното му число:

${|a|=a}$ при ${a\ge 0}$,   и   ${|a|=-a}$ при ${a<0}$

Следователно модулът на всяко число, различно от нула, е положително число, а противоположните числа имат равни модули: ${|5|=|{-5}|=5}$. Оттук следва правилото за основното уравнение ${|X|=c}$, където $X$ е израз с неизвестното:

Дясна страна	Уравнението ${|X|=c}$ означава
${c>0}$	${X=c}$ или ${X=-c}$
${c=0}$	${X=0}$
${c<0}$	няма решение, защото модулът никога не е отрицателен

Следват задачи с подробни решения. За уравнения, в чиято дясна страна има параметър, вижте линейни уравнения с параметър.

Задача 1

Решете уравнението:

А) ${|x|=5}$   Б) ${|3x+4|=7}$   В) ${\left|\frac{1}{3}x+4\right|=0}$
Г) ${|2-5x|=-3}$   Д) ${-|3x-1|=-11}$   Е) ${|3x-3(x-1)|=3}$

Решение:

А) ${x=5}$ или ${x=-5}$: и 5, и $-5$ имат модул 5, а никое друго число няма такъв модул.

Б) ${3x+4=7}$ или ${3x+4=-7}$. От първото уравнение ${3x=3}$ и ${x=1}$, а от второто ${3x=-11}$ и ${x=-\frac{11}{3}}$.

В) Модулът е 0 само за числото 0, затова ${\frac{1}{3}x+4=0}$, ${\frac{1}{3}x=-4}$ и ${x=-12}$.

Г) Няма решение: дясната страна е отрицателна, а модулът никога не е отрицателен.

Д) Умножаваме с $-1$: ${|3x-1|=11}$. Тогава ${3x-1=11}$ или ${3x-1=-11}$, откъдето ${x=4}$ или ${x=-\frac{10}{3}}$.

Е) В модула ${3x-3x+3=3}$, т.е. уравнението е ${|3|=3}$, което е вярно за всяко $x$. Всяко число е решение.

Задача 2

Решете уравнението:

А) ${3|5x|+4|5x|=35}$   Б) ${{\frac{|2x|}{3}+\frac{3|2x|}{2}}={\frac{1}{2}}}$
В) ${3{,}7|x|-2{,}2|x|=22{,}5}$   Г) ${\left|\frac{x+1}{3}\right|=5}$

Решение:

А) Събираме подобните членове: ${7|5x|=35}$, т.е. ${|5x|=5}$. Тогава ${5x=5}$ или ${5x=-5}$, откъдето ${x=1}$ или ${x=-1}$.

Б) Умножаваме по 6: ${2|2x|+9|2x|=3}$, т.е. ${11|2x|=3}$ и ${|2x|=\frac{3}{11}}$. Тогава ${2x=\frac{3}{11}}$ или ${2x=-\frac{3}{11}}$, откъдето ${x=\frac{3}{22}}$ или ${x=-\frac{3}{22}}$.

В) ${1{,}5|x|=22{,}5}$, т.е. ${|x|=15}$ и ${x=15}$ или ${x=-15}$.

Г) ${\frac{x+1}{3}=5}$ или ${\frac{x+1}{3}=-5}$, т.е. ${x+1=15}$ или ${x+1=-15}$, откъдето ${x=14}$ или ${x=-16}$.

Задача 3

Докажете, че уравнението няма решение:

А) ${-\left|\frac{2x+3}{14}\right|=5}$   Б) ${|8x-4(2x+3)|=15}$

Решение:

А) Умножаваме с $-1$: ${\left|\frac{2x+3}{14}\right|=-5}$. Няма число с отрицателен модул, затова уравнението няма решение.

Б) В модула ${8x-8x-12=-12}$, т.е. уравнението е ${|{-12}|=15}$, или ${12=15}$, което не е вярно за никое $x$. Уравнението няма решение.

Задача 4

Решете уравнението:

А) ${{2|x-1|+3}={9-|x-1|}}$
Б) ${3|x|-(x+1)^2}={4|x|-(x^2-1)-2(x-5)}$
В) ${|{-3-5x}|=3}$
Г) ${{2|x-1|}={9-|x-1|}}$
Д) ${{|x|-\frac{3-x}{4}}={\frac{2x-1}{8}}}$

Решение:

А) Събираме модулите в едната страна:

${{2|x-1|+|x-1|}={9-3}}$, откъдето ${3|x-1|=6}$ и ${|x-1|=2}$

Тогава ${x-1=2}$ или ${x-1=-2}$, откъдето ${x=3}$ или ${x=-1}$.

Б) Прехвърляме ${3|x|}$ в дясната страна, а всичко останало – в лявата:

${x^2-1+2(x-5)-(x+1)^2}={4|x|-3|x|}$

${x^2-1+2x-10-x^2-2x-1}={|x|}$

${-12=|x|}$, което няма решение.

В) ${-3-5x=3}$ или ${-3-5x=-3}$. От първото ${-6=5x}$ и ${x=-\frac{6}{5}}$, а от второто ${0=5x}$ и ${x=0}$.

Г) ${{2|x-1|+|x-1|}={9}}$, т.е. ${3|x-1|=9}$ и ${|x-1|=3}$. Тогава ${x-1=3}$ или ${x-1=-3}$, откъдето ${x=4}$ или ${x=-2}$.

Д) Прехвърляме дробта в дясната страна и събираме:

${{|x|}={\frac{2x-1}{8}+\frac{3-x}{4}}}$

${{|x|}={\frac{2x-1+2(3-x)}{8}}}$, откъдето ${|x|=\frac{5}{8}}$

и ${x=\frac{5}{8}}$ или ${x=-\frac{5}{8}}$.

Задача 5

Решете уравнението:

А) ${\left|4-|x|\right|=2}$   Б) ${\left|9+|x|\right|=5}$

Решение:

А) ${4-|x|=2}$ или ${4-|x|=-2}$, т.е. ${|x|=2}$ или ${|x|=6}$. Уравнението има четири решения: ${x=2}$, ${x=-2}$, ${x=6}$ и ${x=-6}$.

Б) ${9+|x|=5}$ или ${9+|x|=-5}$, т.е. ${|x|=-4}$ или ${|x|=-14}$. Нито едно от тези уравнения няма решение, затова даденото уравнение няма решение. (По-бързо: ${9+|x|}$ е поне 9, затова модулът му не може да е 5.)

Задача 6

Решете уравнението

${\left|(2x+1)^2-4x^2-2\right|-3|4x-1|}={-6}$

Решение: Опростяваме израза в първия модул:

${(2x+1)^2-4x^2-2}={4x^2+4x+1-4x^2-2}={4x-1}$

Уравнението става

${{|4x-1|-3|4x-1|}={-6}}$, откъдето ${-2|4x-1|=-6}$ и ${|4x-1|=3}$

Тогава ${4x-1=3}$ или ${4x-1=-3}$, откъдето ${x=1}$ или ${x=-\frac{1}{2}}$.

Задача 7

Решете уравнението:

А) ${|2x-(3x+2)|=1}$   Б) ${{\frac{|x|}{3}-\frac{2|x|}{2}}={-1}}$   В) ${{|3x-1|}={2|3x-1|-2}}$

Решение:

А) ${|2x-3x-2|=1}$, т.е. ${|{-x-2}|=1}$. Тогава ${-x-2=1}$ или ${-x-2=-1}$, откъдето ${x=-3}$ или ${x=-1}$.

Б) Умножаваме по 6: ${2|x|-6|x|=-6}$, т.е. ${-4|x|=-6}$ и ${|x|=\frac{3}{2}}$. Тогава ${x=\frac{3}{2}}$ или ${x=-\frac{3}{2}}$.

В) ${{2}={2|3x-1|-|3x-1|}}$, т.е. ${|3x-1|=2}$. Тогава ${3x-1=2}$ или ${3x-1=-2}$, откъдето ${x=1}$ или ${x=-\frac{1}{3}}$.

Още за уравненията: Уравнения от първа степен · Уравнения от вида (a₁x + b₁)(a₂x + b₂) = 0 · Линейни уравнения с параметър