Уравнения с модули. Модул

Модул(абсолютна стойност) на едно положително число или нула се нарича самото число, а модул на едно отрицателно число се нарича противоположното му число т.е.

От определението е ясно, че абсолютната стойност на всяко рационално число, което е различно от нула е положително число. Освен това следва, че противоположните числа имат равни модули. Ще разгледаме уравнения от вида |ax + b| = c

1 задача Решете уравнението:
А) |x| = 5
Б) |3x + 4| = 7
В) |1 / 3x + 4| = 0
Г) |2 - 5x| = - 3
Д) –|3x – 1| = - 11
Е) |3x - 3(x - 1)| = 3

Решение:

При решаването на тези уравнения ще използуваме определението модул на рационално число.

А) Щом |x| = 5, то x = 5 или x = - 5, защото както числото 5, така и -5 имат модул 5 .
Освен това няма други числа с такъв модул;

Б) От |3x + 4| = 7 следва, че 3х + 4 = 7 или 3х + 4 = -7
От първото уравнение намираме 3х = 7 - 4 <=> 3х = 3 <=> х = 1,
а от второто 3х = - 7 - 4 <=> 3х = -11 <=> х = -11/3

В) |¹/₃x + 4| = 0 означава, че
¹/₃x + 4 = 0 <=>
¹/₃x = -4 <=> x = -12

Г) |2 - 5x| = -3 няма решение, защото от дадената горе теория следва, че няма число, на което модулът да е отрицателно число.

Д) -|3х – 1| = - 11 <=> |3х - 1| = 11,
което дава, че 3х - 1 = 11 или 3х - 1 = -11
От решаването на последните две уравнения намираме
х = 4 или х = -10/3

Е) |3х - 3х + 3| = 3 <=>|3| = 3, което е тъждество.
Следователно всяко х е решение

2 задача Решете уравнението:
А) 3|5x|+ 4|5x| = 35
Б) |2x|/3 + 3|2x|/2 = 1/2
В) 3,7|x| – 2,2|x| = 22,5
Г) |(x + 1)/3| = 5

Решение:

А) 3|5х| + 4|5х| = 35 <=>
(3 + 4)|5х| = 35 <=>
7 |5х| = 35 <=>
|5х| = 35/7 <=> |5х| = 5
От последното уравнение получаваме 5х = 5 или 5х = - 5.
От тук намираме х = 1 или х = -1

Б) |2х|/3 + 3|2х|/2 = 1/2 <=>
2|2х| + 9|2х| = 3 <=>
11|2х| = 3 е равно на <=> |2х| = 3/11
Следователно 2х = 3/11 или 2х = - 3 / 11,
откъдето х = 3/22 или х = - 3/22

В) 3,7|х| – 2,2|х| = 22,5 <=>
(3,7 - 2,2)|х| = 22,5 <=>
1,5|х| = 22,5 <=>
|х| = 22,5/1,5 <=> |х| = 15,
откъдето получаваме х = 15 или х = - 15

Г) от |(х + 1)/3| = 5 получаваме (х + 1)/3 = 5 или (х + 1)/3 = - 5.
Следователно х + 1 = 15 <=> х = 14 или х + 1 = -15 <=> х = - 16

3 задача Докажете, че няма решение уравнението:
А) -|(2х + 3)/14| = 5
Б) |8х – 4(2х + 3)| = 15

Решение:

А) -|(2х+ 3)/14| = 5 <=> |(2х + 3)/14| = -5
което няма решение, защото няма число, на което модулът е отрицателно число;

Б) |8х - 4(2х + 3)| = 15 <=> |8х - 8х - 12| = 15 <=>
|-12| = 15 <=> 12 = 15, което показва, че е невъзможно за никое х

4 задача Решете уравнението:
А) 2|х – 1| + 3 = 9 – |х – 1|;
Б) 3|x| – (x +1)² = 4|x| – (x² -1) – 2(x - 5);
В) |- 3 - 5x| = 3;
Г) 2|x – 1| = 9 – |x – 1|;
Д) |x| – (3 – x)/4 = (2x - 1)/8

Решение:

А) 2|x – 1| + |x -1| = 9 - 3 <=> (2 + 1)|x -1| = 6 <=>
3|x – 1| = 6 <=> |x - 1| = 2
Следователно х - 1 = 2 или х - 1 = - 2,
откъдето намираме х = 3 или х = - 1

Б) 3|x| – (x + 1)² = 4|x| – (x² - 1) - 2(x - 5)<=>
x² - 1 + 2(x – 5) – (x + 1)² = 4|x| – 3 |x| <=>
x² - 1 + 2x - 10 – (x² + 2x + 1) = (4 - 3)|x| <=>
x² + 2x - 11 – x² - 2x - 1 = |x| <=>
-12 = |x|, което няма решение;

В) от |-3 - 5x| = 3 получаваме -3 - 5x = 3 или -3 - 5x = - 3.
Следователно -3 - 3 = 5x <=> x = - 6/5 или -3 + 3 = 5x <=>
0 = 5x <=> x = 0;

Г) 2 |x – 1| = 9 – |x – 1| <=>
2 |x – 1| + |x – 1| = 9 <=>
(2 + 1)|x – 1| = 9 <=> 3|x – 1| = 9 <=>
|x – 1| = 3 Оттук получаваме х - 1 = 3 или х - 1 = -3,
т.е. х = 4 или х = - 2

Д) |x| = (2x - 1)/8 + (3 – x)/4 <=>
|x| = [2x - 1 +2(3 – x)]/8 <=>
|x| = 5/8, откъдето х = 5/8 или х = -5/8

5 задача Решете уравнението:
А) |4 – |x|| = 2
Б) |9 + |x|| = 5

Решение:

А) От |4 – |x|| = 2 получаваме 4 – |x| = 2 или 4 – |x| = -2
От тук намираме 4 - 2 = |x| <=>
|x| = 2 или 4 + 2 = |x| <=> |x| = 6
Следователно решенията са х = 2, -2; 6, -6

Б) От |9 + |x|| = 5 получаваме 9 + |x| = 5 или 9 + |x| = - 5
От тук намираме |x| = -4 или |x| = -13, но последните две уравнения нямат решения.

6 задача Да се реши уравнението:
|(2х + 1)² - 4х² - 2| - 3|4x – 1| = - 6

Решение:

|(2х + 1)² - 4х² - 2| – 3|4x -1| = - 6 <=>
|4x² + 4х + 1 - 4х² - 2 | - 3|4x - 1| = - 6 <=>
|4x – 1| - 3|4x – 1| = - 6 <=> -2|4x – 1| = - 6 <=>
|4x – 1| = 3 <=> 4х - 1 = 3 или 4х - 1 = -3
Следователно х = 1 или х = -1/2

7 задача Да се реши уравнението:
A) |2x – (3х + 2)| = 1
Б) |x|/3 – 2|x|/2 = - 1
В) |3x – 1| = 2|3x – 1| - 2

Решение:

А) |2x – 3х – 2| = 1 <=> |-x – 2| = 1 <=>
-х - 2 = 1 или –х - 2 = -1
От първото уравнение получаваме -2 - 1 = х <=> х = -3,
а от второто -2 + 1 = х <=> х = -1

Б) |x|/3 – 2 |x|/2 = -1 Привеждаме към най-малък общ знаменател и получаваме
2|x| – 3.2.|x| = - 6 <=>
2|x| - 6|x| = - 6 <=>
- 4|x| = -6 <=> |x| = 3/2 <=>
х = 3/2 или х = - 3/2

В) |3x – 1| = 2|3x – 1| – 2 <=>
2 = 2|3x – 1| – |3x – 1| <=>
2 = |3x – 1| <=>
3х - 1 = 2 или 3х - 1 = - 2,
откъдето 3х = 3 <=> х = 1 или 3х = - 1 <=> х = - 1/3

Задачи за упражнение

Задача 1:
Да се реши неравенството |x-3| < 5

Задача 2:
Да се реши неравенството 3|3x - 10| < 0

Задача 3:
Да се реши неравенството |4 - 5x| < 2

Уравнения с модул във форума

Форум за уравненя

Още модул във форума за математика