Задачи за рационални изрази и формули за съкратено умножение

1 задача Цял ли е относно х рационалният израз:
А) $x^2 - 9x + 2$

Б) $\frac{3x + 2}{a - 1}$

В) $\frac{2}{3}x^2 - \frac17x + \frac15a$

Г) $\frac{7 - x}{x + 1}$

Д) $x^2-\frac{1}{x}$

Е) $\frac12x + \frac2x$
Решение:
От определението един рационален израз е цял по отношение на х, ако х не участвува като делител. Тогава изразите от А, Б, В са цели,а Г, Д, Е са дробни по отношение на х.

2 задача Едночлен ли е изразът?
А) ab²x
Б) ab(-3)c
В) x³ + x
Г)–a + b
Д) 2(a + b)³
Е) 0,67ab
Отговор: А, Б, Е - да, В, Г, Д - не.
В, Г са съставении от сбор на 2 едночлена, а Д е сбор от 2 едночлена повдигнати на степен.

3 задача В нормален вид ли е едночленът?
А) $-3abc$ Б) $x^2y$ В) $0{,}4a.\frac{1}{3}b$
Г) $x^2yx$
Отг: А и Б - да В и Г- не. Нормален вид на В е $\frac{2}{15}ab$, а на Г е $x^3y$

4 задача Да се представи в нормален вид едночленът:
А) $12xy^2x^2$
Б) $3x5ayx$
В) $2.\frac{3}{4}ax^2\frac{-2}{3}a^2x$
Решение: Извършваме всички означени действия и получаваме:
А) $12x^3y^2$
Б) $15ax^2y$
В) $-a^3x^3$

5 задача Пресметнете стойността на едночлена:
А) $-7x^2y^2$ за $x = -2, y = 1$
Б) $7a^2bc$ за $a = 3, b = 2, c = \frac57$
Решение:
А) $-7.(-2)^2.(1)^2= -7.4.1 = -28$
Б) $7.3^2.2.\frac{5}{7} = 7.9.2.\frac57 = 90$

6 задача Представете в нормален вид всеки един от изразите и определете степента му по отношение на променливите х и у
А) $ax10xaax$
Б) $ay.\frac34.bxx.(-\frac12)$
В) $5cxy(-4)cxy$
Отг.: А) $10a^3x^3$ Б) $-\frac38.abx^2.y$
В) $-20c^2.x^2.y^2$
Степените са: А) 3; Б) 3; В) 4

7 задача Направете приведение на подобните едночлени:
А) 9x - [-(5x - 1) - 8x]
Б) 2a - {b - [a + (a - 2b)] + 3a}
В) (x - y)(x² + xy + y²) + (x+y)(x² - xy + y²)
Решение:
А) 9x - [-(5x - 1) - 8x] = 9x - (-5x + 1 - 8x) = 9x - (-13x + 1) = 9x + 13x - 1 = 22x - 1
Б) 2a - {b - [a + (a - 2b)] + 3a} = 2a - {b - (a + a - 2b) + 3a} = 2a - (b - 2a + 2b + 3a) = 2a - (3b + a) = 2a - 3b - a = a - 3b
В)(x - y)(x² + xy + y²) + (x+y)(x² - xy + y²) = (x³ - y³) + (x³ + y³) = 2x³

8 задача Пресметнете стойността на многочлена:
А) 100x + 10y + z за x = 2, y = 3, z = 4
Б) -0,08b + 73a²b + 27a²b за a = 0,2; b = 4
Отг.: А) 234 Б) 15,68

9 задача Запишете като многочлен числото:
А) ab Б) abc
В) abba Г) ba
Упътване: Чрез abc се записва число , на което с е цифрата на единиците , b e цифрата на десетиците и a е цифрата на стотиците. Така получаваме:
А) ab = 10a + b Б) abc = 100a+10b+c
В) abba = 1000a+100b+10b+a = 1001a+10b Г) ba = 10b+a

10 задача Запишете в нормален многочлен израза:
А) $\left(\frac{a^2}{4}\right)^2 + \frac{1}{32}a(16a - 2a^3)$

Б) $12x(y - \frac16x) - 2y(\frac12y + 3x)$
Решение:
А) $\left(\frac{a^2}{4}\right)^2 + \frac{1}{32}a(16a - 2a^3) = \frac{a^4}{16} + \frac{16aa}{32} - \frac{2.a.a^3}{32} = \frac{a^4}{16} + \frac{a^2}{2} - \frac{a^4}{16} =\frac{a^2}{2}$

Б) $12x(y - \frac16x) - 2y(\frac12y + 3x) = 12xy - 12x.\frac16x - 2y.\frac12y - 2y.3x = 12xy - 2x^2 - y^2 - 6xy = 6xy - 2x^2 - y^2$

11 задача Разложете на множители израза:
А) a(c - b) + d(b - c)
Б) a - 3b - 2x(3b - a) + 4y(3b - a)
В) 6(3 - b) + 9(b - 3)²
Г) 5a(2x - 7) + 3b(7 - 2x)
Решение:
А) a(c - b) + d(b - c) = a(c - b) - d(c - b) = (c - b)(a - d)
Б) a - 3b - 2x(3b - a) + 4y(3b - a) = a - 3b + 2x(a - 3b) - 4y(a - 3b) = (a - 3b)(1 + 2x - 4y)
В) 6(3 - b) + 9(b - 3)² = 6(3 - b) + 9(3 - b)² = (3 - b)[6 + 9(3 - b)] = (3 - b)(6 + 27 - 9b) = (3 - b)(33 - 9b) = 3(3 - b)(11 - 3b)
Г) 5a(2x - 7) + 3b(7 - 2x) = 5a(2x - 7) - 3b(2x - 7) = (2x - 7)(5a - 3b)

12 задача Умножете многочлените:
А) (x - y)(x + y)
Б) (x + 5)(y - 7)
В) (2y - 7)(x + 1/y)
Г) (-2a - 3b)(a + b³)
Д) (a + b - c)(x - y)
Решение:
Б) (x + 5)(y - 7) = xy + 5y + x(-7) + 5(-7) = xy + 5y - 7x - 35
Г) (-2a - 3b)(a + b³) = (-2a).a - 3ba - 2a.b³ - 3bb³ = -2a² - 3ab - 2ab³ - 3b⁴
Отг.: А) x² - y² Д) ax+bx-cx-ay-by+cy

13 задача Извършете действията и доведете многочлена до нормален вид:
А) (a + 1)(a² - a + 1)
Б) (a - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14)
В) (2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ + 3b)
Г) (x - y)(x + y) + x² + 2xy + y²
Д) –(x - y)² + x² - 2yx + y²
Решение:
От дадените формули за съкратено умножение имаме:
А) (a + 1)(a² - a + 1) = a³ + 1
Б) (a - 7)(a + 2)-(2a - 1)(a - 14) = a.a - 7.a + 2.a - 7.2 - (2aa - 1a - 2a.14 + 1.14) = a²- 7a + 2a - 14 - (2a² - a - 28a + 14) = a² - 5a - 14 - (2a² - 29a + 14) = a² - 5a - 14 - 2a² + 29a - 14 = -a² + 24a - 28
В) (2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b³ + 3b) = 2 + 4b - b - 2b² + b³ + 3b + b⁴ + 3b² = b⁴ + b³ + b² + 6b + 2
Г) (x - y)(x + y) + x² + 2xy + y² = x² - y² + x²+ 2xy + y² = 2x² + 2xy
Д) -(x - y)² + x² - 2xy + y² = -(x² - 2xy + y²)+x² - 2xy + y² = -x² + 2xy - y² + x² - 2xy + y² = 0

14 задача Извършете действията:
А) $\frac{2x(-5xy)}{2xy}$

Б) $\frac{21x^3y^2}{\frac{-7x^2y}{x^5}}$

В) $\frac{a^8}{\frac{a^2}{a} : \frac{a^2}{a}}$
Решение:
А) $\frac{2x(-5xy)}{2xy} = \frac{-10x^2y}{2xy} = -5x$

Б) $\frac{21x^3y^2}{\frac{-7x^2y}{x^5}} = \frac{21x^3y^2.x^5}{-7x^2y} = \frac{21x^8y^2}{-7x^2y} = -3x^6y$

В) $\frac{a^8}{\frac{a^2}{a} : \frac{a^2}{a}} = \frac{a^8}{\frac{a^2.a}{a.a^2}} = \frac{a^8}{\frac{a^3}{a^3}} = \frac{a^8}{1} = a^8$

15 задача Извършете умножението:
А) $–a^2.a^6$

Б) $–x^p.x^q$

В) $3.x^p.y.x.y^p$

Г) $\frac{\frac{x^3m}{x^m}}{x^m}$

Д) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}.y^{-4+q}}$
Решение:
А) $–a^2.a^6 = -a^{2 + 6} = -a^8$

Б) $–x^p.x^q = -x^{p + q}$

В) $3.x^p.y.x.y^p = 3.x^{p + 1}.y^{1 + p}$

Г) $\frac{\frac{x^3m}{x^m}}{x^m} = \frac{x^{3m - m}}{x^m} = \frac{x^{2m}}{x^m} = x^{2m - m} = x^m$

Д) $\frac{x^py^q}{x^{4-p}.y^{-4+q}} = x^{p - (4 - p)}.y^{q - (-4 + q)} = x^{p - 4 + p}.y^{q + 4- q} = x^{2p - 4}.y^4$

16 задача Извършете делението:
А) $\frac{x^3 – x^2 + y.x^2}{x^2}$

Б) $\frac{m.n.a^2 + 3.a.n.m^2 – 2.n.a^2}{3.a.n}$

В) $\frac{-6x^2.y^3 + 8.y.x^3 – x.y}{-2x}$
Решение:
А) $\frac{x^3 – x^2 + y.x^2}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} – \frac{x^2}{x^2} + \frac{y.x^2}{x^2} = x^{3-2} – x^{2-2} + y.x^{2-2} = x – x^0 + y.x^0 = x - 1 + y$

Б) $\frac{m.n.a^2 + 3.a.n.m^2 – 2.n.a^2}{3.a.n} = \frac{an(m.a + 3.m^2 – 2.a)}{3.a.n}=\frac{m.a + 3.m^2 – 2.a}{3}=\frac{m.a}{3}+m^2-\frac{2a}{3}$

В) $\frac{-6x^2.y^3 + 8.y.x^3 – x.y}{-2x} = \frac{-6.x^2.y^3}{-2x} – \frac{8yx^3}{2x} + \frac{xy}{2x} = 3x^{2-1}.y^3 – 4y.x^{3-1} + \frac{x^{1-1}y}{2} = 3xy^3 – 4yx^2 + \frac{y}{2}$