Олимпиада 2011 - областен кръг

[rashi101]

Как се справихте? Какви отговори получихте?

[Mechkov]

Аз съм 11-ти клас.
На 1: [tex]2\sqrt{3} \cup (-4; \frac{28}{3}][/tex]
На 2: [tex]sin{\frac{\gamma} {2}} = \sqrt{2} - 1[/tex] и от това си изразяваме [tex]sin \gamma[/tex] и получаваме няква гадория
На 3: Едната посока я правя като си доказвам една лемичка, която общо взето е: ако p|n и p не дели a, то най - високата степен на p, която дели [tex]{n \choose a}[/tex] е по - голяма или равна от най - високата степен на p, която дели n.
За другата посока вземам p - произволен общ прост делител на a-тата. Нека [tex]p^{\alpha}[/tex] е най - високата степен на p, която дели всяко от a-тата. Нека [tex]b_i = \frac{a_i}{p^{\alpha}}[/tex]. И нека k е минималното такова, че [tex]p^k - 1 > b_i[/tex] за всяко i. Тогава си вземаме [tex]n = p^{\alpha}(p^k - 1)[/tex] и правим малко разписвания и получаваме с теорема на Люка, че p не дели произведението, а p|n => противоречие.

P.S. На трета написах и алтернативно д-во без т-ма на Люка, защото ще ми проверяват даскали от СМГ иии реших, че може и да се заядат, при което общо взето си разписвам в p-ична бройна система (което всъщност правя и в решението с т-ма на Люка, ноо айде ся подробности).

[mkmarinov]

12 клас. На първа корен от 3.
На втора получавам, че [tex]sin \angle ACB = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] и май само аз го получавам това. След като я решавах 3 пъти на чисто вкъщи.
На трета, в едната посока допускам, че съществува общ делител на всичките а-та. Избирам n=p.d. Тогава d участва на степен [tex]p+[\frac{p}{d}]+[\frac{p}{d^2}]+...[/tex] в каноничното разлагане на [tex]n![/tex]. В разлагането на [tex]a_k! (n-a_k)![/tex] участва [tex]p+[\frac{p-a_k}{d}]+[\frac{a_k}{d}]+...[/tex]. Доказвам, че съществува р, при което двете суми са равни. Оттам - d не дели произведението.

[Ксения Цочева]

Аз съм 11-ти клас.
На 1: [tex]2\sqrt{3} \cup (-4; \frac{28}{3}][/tex]
На 2: [tex]sin{\frac{\gamma} {2}} = \sqrt{2} - 1[/tex] и от това си изразяваме [tex]sin \gamma[/tex] и получаваме няква гадория
На 3: Едната посока я правя като си доказвам една лемичка, която общо взето е: ако p|n и p не дели a, то най - високата степен на p, която дели [tex]{n \choose a}[/tex] е по - голяма или равна от най - високата степен на p, която дели n.
За другата посока вземам p - произволен общ прост делител на a-тата. Нека [tex]p^{\alpha}[/tex] е най - високата степен на p, която дели всяко от a-тата. Нека [tex]b_i = \frac{a_i}{p^{\alpha}}[/tex]. И нека k е минималното такова, че [tex]p^k - 1 > b_i[/tex] за всяко i. Тогава си вземаме [tex]n = p^{\alpha}(p^k - 1)[/tex] и правим малко разписвания и получаваме с теорема на Люка, че p не дели произведението, а p|n => противоречие.

P.S. На трета написах и алтернативно д-во без т-ма на Люка, защото ще ми проверяват даскали от СМГ иии реших, че може и да се заядат, при което общо взето си разписвам в p-ична бройна система (което всъщност правя и в решението с т-ма на Люка, ноо айде ся подробности).

Само да отбележа,че интервала на 1-ва е (4;28/3] , но предполагам е печатна грешка

[Станислав]

Не, не е. Пробвай с [tex]2\sqrt{3}[/tex] ;]

[Togop]

Мисля, че Ксения говореше за минуса пред 4-ката на Мечков, а не за 2\sqrt{3}

[Mechkov]

Мда, няма минус, щеше да е странно, ако бях получил отрицателно число като сума на две степени на 3-ката . Иначе от днес:
1) 11
2) f(0) = a, f(x) = b, за x различно от 0 (a и b - някви константи) (Аз лично не забелязах, че нулата може и да е с друга константа)
3) Дефинирам си втора редица [tex]y_n = \frac{x_{a^{2^n}}}{a^2}[/tex], ако [tex]\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}[/tex] е с краен брой различни прости делители, то [tex]\{y_n\}_{n=1}^{\infty}[/tex] ще е така. От друга страна лесно се вижда, че [tex]y_n = a^{2^{2010 + n}} - 1[/tex], което се доказва на два реда, че е с безброй много различни прости делители.

[admin]

Задачите от 2-рия ден на олимпиадата по математика(Областен кръг)

[mkmarinov]

Ученик от 11 клас да знае условието на третата задача за 12 клас си е чисто подсказване .

[rashi101]

В Стара Загора бяхме всичко трима души на областен кръг втория ден клас с трима кверстори (: Аз пак се радвам,че реших нещо, ето я равносметката:

(10 клас)

1: Получиха ми се доста случаи (към 6), някои от които така и не ми стигна времето да разпиша. Ако съм решавала правилно ще черпя (:

2: [tex]a+b[/tex] не дели [tex](a^2 + ab +b^2)[/tex], [tex]a+b[/tex] дели [tex]p[/tex], [tex]a+b = p[/tex], [tex]ab= p^2-1501[/tex], [tex]p>38[/tex], квадратно уравнение (Виет), дискриминанта, [tex]p <45[/tex], [tex]p[/tex] e [tex]41[/tex] или [tex]43[/tex], проверка, отговор [tex]41[/tex] (:

4: [tex][-4;-3)[/tex]

5a: [tex]h=\frac{2rr_a}{r_a-r }[/tex]

За останалите писах по нещо, но така и не стигнах до решение. Може ли някой да каже как се решава шеста, ще съм адски благодарна

[mimoslav4eto]

Аз също съм 10 клас и съм от Велико Търново. При нас имаше повечко на областен
За първа получих по-малко случаи. За 2-ра поне аз съм отчел още един случай, при който обаче не излизат решения Иначе уж толкова получавам. на 4 и 5а също получавам толкова. Писах и по 5 б. А за 6-та имам доста оскъдни неща написани... Аз също съм ЗА това някой да удари едно рамо за 6-та...

[rashi101]

Я, стана ми интересно - какъв друг случай има на втора? И къде греша в разсъжденията си, че да го пропусна?

[mimoslav4eto]

Поне аз допълвам до точен квадрат и става [tex]p.(a+b)^{2}-p.a.b=1501(a+b)[/tex]
И a+b дели първото и трябва да дели и второто и разглеждам p=a+b или a+b дели a.b; от второто излизат a и b, но не са взаимно прости и не са решения

[rashi101]

А, ясно (: Подобно на моето решение, само че аз елиминирах опцията а+б да дели аб, защото ако вземем един прост делител на ab d, той е или измежду простите делители на а, или на б, но не и на двете, следователно не дели а+б, от което следва че а+б и аб са взаимнопрости.

[vermat]

Някой ако може да ми каже решенията на 1ва и 2ра от първия ден. Много Ви благодаря )

[Kamito]

http://www.minedu.government.bg/opencms ... 11-T12.pdf 11-12 кл.
http://www.minedu.government.bg/opencms ... T9-T10.pdf 9-10 кл.

[mimoslav4eto]

Колко точки имате?

[CappyHappy]

Някъде публикувани ли са резултатите от областния кръг, кои са класирани за 3-ти кръг ?

[Николай Каракехайов]

Някъде публикувани ли са резултатите от областния кръг, кои са класирани за 3-ти кръг ?

Да, в неработещия от няколко дни насам сайт на МОН (имах късмет да проверя часове преди да го затворят поради неясни причини). Призовавам ако има някой от комисията, който чете тази тема, да качи резултатите, за да могат да ги видят хората...

[inveidar]

Те яла те:

2011_math_dopusnati_nac.pdf

(306.32 KiB) 1437 пъти

И не съм от Комисията, а си го свалих от уж неработещия сайт на МОНМ!

[amsara]

Не е уж неработещ. До вчера наистина не се отваряше, от днес вече си е ок.

[Николай Каракехайов]

Действително сайтът им не работеше поне 3-4 дни.

[Гост]

Аз съм 11-ти клас.
На 1: [tex]2\sqrt{3} \cup (-4; \frac{28}{3}][/tex]
На 2: [tex]sin{\frac{\gamma} {2}} = \sqrt{2} - 1[/tex] и от това си изразяваме [tex]sin \gamma[/tex] и получаваме няква гадория
На 3: Едната посока я правя като си доказвам една лемичка, която общо взето е: ако p|n и p не дели a, то най - високата степен на p, която дели [tex]{n \choose a}[/tex] е по - голяма или равна от най - високата степен на p, която дели n.
За другата посока вземам p - произволен общ прост делител на a-тата. Нека [tex]p^{\alpha}[/tex] е най - високата степен на p, която дели всяко от a-тата. Нека [tex]b_i = \frac{a_i}{p^{\alpha}}[/tex]. И нека k е минималното такова, че [tex]p^k - 1 > b_i[/tex] за всяко i. Тогава си вземаме [tex]n = p^{\alpha}(p^k - 1)[/tex] и правим малко разписвания и получаваме с теорема на Люка, че p не дели произведението, а p|n => противоречие.

P.S. На трета написах и алтернативно д-во без т-ма на Люка, защото ще ми проверяват даскали от СМГ иии реших, че може и да се заядат, при което общо взето си разписвам в p-ична бройна система (което всъщност правя и в решението с т-ма на Люка, ноо айде ся подробности).