12-ти клас! Цилиндър

[Namelesagemma]

received_2058944670841958.jpeg (105.02 KiB) Прегледано 1687 пъти

[Davids]

1) Ако радиусът на цилиндъра е $r$, то едната страна на развивката ще е обиколката на основата, т.е. $2\pi r$, следователно другата страна, явяваща се височината на цилиндъра, ще е или $\pi r$, или $4\pi r$ (понеже не е казано коя към коя страна се отнася както 1:2). Търсеният тангенс представлява отношението на височината на цилиндъра към диаметъра на основата му (лесно е да си го представиш, можеш да го докажеш и сам), следователно търсим $tg\alpha = \frac{h}{2r}$, при което $tg_1\alpha = \frac{\pi}{2}$ и $tg_2\alpha = 2\pi$

2) Понеже дадените стойности дефинират несъществуващ правоъгълен триъгълник, ще го карам параметрично
Полученото тяло е цилиндър с височина - хипотенузата на триъгълника ($H = c = \frac{2S}{h_c}$), и с радиус - височината към хипотенузата му ($r = h_c$), от който цилиндър са извадени два конуса респективно с образуващи - двата катета на триъгълника, и височини, които ще изразим по питагорова теорема: $h_1 = \sqrt{a^2 - r^2}$ и $h_2 = \sqrt{b^2 - r^2}$ (катетите можеш да намериш с помощта на метричните зависимости в правоъгълен триъгълник от 9. клас). Следователно сборът от обемите на двата конуса е $V_1 + V_2 = \frac{B(h_1 + h_2)}{3}$, докато обемът на целия конус е $V = B.H = Bc$.
В крайна сметка търсим обема на цилиндъра без тези конуси, т.е.:
$V_{figure} = Bc - \frac{B(h_1 + h_2)}{3} = \pi r^2(c - \frac{\sqrt{a^2 - r^2} + \sqrt{b^2 - r^2}}{3})$