Лице на трапец

[Reny]

Здравейте, имам затруднение със следните задачи:
1.В трапеца ABCD диагоналите са 5 и 3 см. Отсечката, съединяваща средите на основите му е 2см. Да се намери лицето.
2.Даден е триъгълник ABC в който ъгъл BAC =120[tex]^\circ[/tex]. Радиуса на вписаната и описаната окръжност са съответно r=\sqrt{3} и R=14\sqrt{3}/3 . Намерете страните на триъгълника.
Благодаря предварително

[Nathi123]

1.зад. [tex]S_{ABCD }=\frac{1}{2}AC.BDsin\angle (AC,BD) =\frac{15}{2}sin\varphi[/tex]. Нека Р и Q са среди съответно на DC и АВ,а М и N - на AD и ВС.
Тогава четириъг. МРNQ-успоредник и [tex]\varphi =\angle PNQ; PQ=2 ; PN=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2} ; QN=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2};\triangle PQN[/tex]
и косинусова т-ма [tex]\Rightarrow cos\varphi =\frac{3}{5}\Rightarrow sin\varphi =\frac{4}{5}\Rightarrow S_{ABCD }=6[/tex].

[Nathi123]

2.зад. От синусова т-ма за [tex]\triangle ABC\Rightarrow a=2Rsin120^\circ =14 ; S_{\triangle ABC }=\frac{bcsin120^\circ}{2}=pr\Rightarrow[/tex]
[tex](14+b+c).2=bc;[/tex] k(O,r)- вписана в дадения триъг. Нека [tex]k\cap AB=P\Rightarrow AP=\frac{b+c-14}{2}; \triangle AOP\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle PAO=60^\circ ; \angle APO=90^\circ \Rightarrow \frac{AP}{r}=cotg60^\circ =\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow b+c-14=2[/tex]
Решаваме системата и получаваме,че другите 2 страни са 10 и 6 .

[Евва]

2 зад.

Скрит текст: покажи

Ето още един начин за тези,които обичат да решават системи.

[tex]\begin{array}{|l} \frac{a+b+c}{2}.r=S \\ \frac{abc}{4R}=S \\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos120^\circ \\a=2R.sin120^\circ \end{array}[/tex]

В нея неизвестните са: a,b,c,S
Получавам отговор a=14, b=10, c= 6,или a=14, b=6, c=10

[Евва]

1 зад. (2 начин)
Построяваме т.Р,т.Q-среди съответно на DC и АВ.Построяваме успоредниците QMCP и BECD .
AB=a ,CD=b ,PQ=CM=2 см.
АМ=?
AQ=[tex]\frac{a}{2}[/tex] и PC=QM=[tex]\frac{b}{2}[/tex] (събираме ги) AM=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] (1)
AE=AB+BE т.е. АЕ=a+b (2) от (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] т.М е среда на АЕ т.е. СМ е медиана в [tex]\triangle[/tex]АЕС

[tex]СМ^{2}[/tex]=[tex]\frac{2СЕ^{2}+2АС^{2}-АЕ^{2}}{4}[/tex] т.е.

4=[tex]\frac{2.25+2.9-АЕ^{2}}{4}[/tex] ... АЕ=2[tex]\sqrt{13}[/tex]

Вече знаем трите страни на[tex]\triangle[/tex]АЕС ,чието лице е равно на лицето на трапеца ABCD.
Опитай се да завършиш задачата сама.