Максимално лице на вписан триъгълник.

[KOPMOPAH]

Подсказано от тази чудесна задача.

От всички вписани в окръжност с радиус $R$ триъгълници да се намери този, който е с максимално лице.

Скрит текст: покажи

То е ясно, че е равностранният

[Добромир Глухаров]

Нека $\alpha;\ \beta;\ \gamma$ са централните ъгли срещу страните. $a^2=2R^2-2R^2cos\alpha;\ b^2=2R^2-2R^2cos\beta;\ c^2=2R^2-2R^2cos\gamma$.

$S=\frac{abc}{4R}=...=\frac{8R^3}{4R}sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}=2R^2sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}$

Остава да намерим максимума на произведението от синусите. $f(\alpha,\beta,\gamma)=sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}=sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}$

$\begin{array}{|l}\frac{\partial f}{\partial\alpha}=\frac{1}{2}cos\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\alpha+\beta}{2}=0\\\frac{\partial f}{\partial\beta}=\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{1}{2}sin\frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\alpha+\beta}{2}=0\end{array}$

$\begin{array}{|l}tg\frac{\alpha}{2}=cotg\frac{\alpha+\beta}{2}\\tg\frac{\beta}{2}=cotg\frac{\alpha+\beta}{2}\end{array}\Rightarrow\alpha=\beta$

$f=sin^2\frac{\alpha}{2}cos\alpha$

$f'=2sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{2}cos\frac{\alpha}{2}cos\alpha+sin^2\frac{\alpha}{2}(-sin\alpha)=0$

$cos\frac{\alpha}{2}cos\alpha=sin\frac{\alpha}{2}sin\alpha$

$tg\alpha=cotg\frac{\alpha}{2}$

$\alpha=60^\circ$

[Добромир Глухаров]

Иначе е ясно - при фиксирана основа максимална височина дава равнобедрения триъгълник. Измежду равнобедрените - по-голямо лице при фиксирана основа имаме, когато основата и върха са от различни страни на диаметъра. При основа $a$ изразяваме височината, а оттам и лицето чрез $R$ и $a$. Приравнявайки производната на 0, получаваме $a=R\sqrt{3}$ - равностранен триъгълник.