Правоъгълен триъгълник и ъглополовящи

[alekseft]

Здравейте!

Моля за решение на следната задача за 7. клас:

В правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] [tex](\angle ACB = 90^\circ)[/tex] ъглополовящите на [tex]\angle BAC[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex]. Ако [tex]AB = 13 см[/tex] и разстоянието от [tex]O[/tex] до [tex]AB[/tex] e [tex]2[/tex] [tex]см[/tex], намерете периметъра на [tex]\triangle ABC[/tex].

Благодаря!

[S.B.]

Здравейте!

Моля за решение на следната задача за 7. клас:

В правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] [tex](\angle ACB = 90^\circ)[/tex] ъглополовящите на [tex]\angle BAC[/tex] и [tex]\angle ABC[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex]. Ако [tex]AB = 13 см[/tex] и разстоянието от [tex]O[/tex] до [tex]AB[/tex] e [tex]2[/tex] [tex]см[/tex], намерете периметъра на [tex]\triangle ABC[/tex].

Благодаря!

Без заглавие - 2020-10-07T204509.933.png (246.7 KiB) Прегледано 3124 пъти

Ако една точка принадлежи на ъглополовящата на даден ъгъл,то тя е на равни разстояния от раменете му и обратно, ако една точка е на равни разстояния от раменете на даден ъгъл,то тя принадлежи на ъглополовящата му

Точка $O$ принадлежи на ъглополовящата на [tex]\angle BAC \Rightarrow OM = OP = 2[/tex]
Точка $O$ принадлежи на ъглополовящата на $\angle ABC \Rightarrow OM = ON = 2$
$\begin{cases} OM = OP \\ OM = ON\end{cases} \Rightarrow OP = ON \Rightarrow OC$ е ъглополовяща на $\angle ACB \Rightarrow \angle OCN = \angle OCP = 45^\circ$
$\triangle OCP$ е равнобедрен правоъгълен $\Rightarrow OP = CP = 2$
Аналогично за $\triangle OCN \rightarrow ON = CN = 2$
$\triangle OMA \cong \triangle OPA$ (по втори признак )$ \Rightarrow AM = AP$
$\triangle OMB \cong \triangle ONB$ (по втори признак )$\Rightarrow BM = BN$
Но $AM + MB = 13 \Rightarrow AP + BN = 13$
$P_{\triangle ABC } = AB + BC + AC = AB + (BN + NC) + (AP + PC) = AB + (BN + AP) + CN + CP = 13 + 13 + 2 + 2 = 30$

[alekseft]

Благодаря за пълното решение!