Намерете лицето

[Евва]

Върху страната ВС на [tex]\triangle[/tex]АВС е нанесена т.D ,а върху страната АС е нанесена т.Е така ,че
BD:DC=3:4 и АЕ:ЕС=2:5 .
Точка К е пресечната точка на AD и ВЕ . Намерете лицето на [tex]\triangle[/tex]ЕАК ,ако [tex]S_{BDK }[/tex]=45 .

Скрит текст: покажи

Отговор 16

[Гост]

Скрит текст: покажи

За тази задача могат да се ползват теореми на Чева и Менелай. После би могло да се намери каква част от лицето на големия триъгълник са лицата на малките триъгълници и така да се реши задачата.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Реших я със знания за 9 клас .

[Гост]

Скрит текст: покажи

Навремето - теоремите на Чева и Менелай бяха за 9-ти клас. Щом може да се реши с тях - би могла да се реши и само с използване на лица. Доколко е изкуствено е друга тема.

[Евва]

Скрит текст: покажи

Тази сутрин успях да я реша със знания за 7 клас .
Това решение е по-кратко и изчистено .
И в двете си решения не използвам теоремите на Чева и Менелай .

[math10.com]

ZT.png (92.72 KiB) Прегледано 1275 пъти

Стандартна олимпиадна задача за 6-ти клас
Нека [tex]S_{ ABC} = S[/tex] и нека [tex]S_{ AKE}=2S_1 \Rightarrow S_{EKC}=5S_1[/tex] (Като спуснем височина от точката К към АС тя ще е еднаква и за двата триъгълника)
Аналогично [tex]S_{BKD}=45 \Rightarrow S_{CKD}=60[/tex]
[tex]S_{BCE}=\frac{5}{7}S=S_{BDK}+S_{CDK}+S_{ECK}=45+60+5S_1 \Rightarrow S=147+7S_1[/tex]
[tex]S_{ACD}=\frac{4}{7}S=S_{AKE}+S_{CKE}+S_{DKC}=7S_1+45 \Rightarrow S=\frac{49S_1+315}{4}[/tex]
Сега вече лесно намираме [tex]147+7S_1=\frac{49S_1+315}{4} \Rightarrow 4(21+S_1)=7S_1+45 \Rightarrow 3S_1=24 \Rightarrow S_1=8[/tex]
[tex]S_{ AKE}=2S_1=16[/tex]

[Евва]

Решенията ни с math10.com напълно съвпадат .

Скрит текст: покажи

Лека корекция -[tex]S_{ACD }[/tex]=[tex]\frac{4}{7}[/tex]S=...=7[tex]S_{1 }[/tex]+60 .

Aко желаете ,ще изпратя първото си решение .