Метод на лицата

[filip]

Точкa P е вътрешна за триъгълник АВС и лежи в вътрешността на ъгъл АВС. През Р са построени прави m успоредна на АВ и n успоредна на ВС, които пресичат страните ВС и АВ съответно в точките M и N. Докажете, че S ABC=S ABM+S BCN - S CAP.

[filip]

Едно уточнение : точка Р е външна за триъгълник АВС и вътрешна за ъгъл АВС.

[Евва]

Построявам успоредник ABCF . Нека разстоянието м/у успоредните прави CF и m е [tex]h_{1 }[/tex] ,
a разстоянието м/у успоредните прави AB и m е [tex]h_{2 }[/tex] .
Нека C[tex]C_{1 }[/tex]=[tex]h_{1 }[/tex]+[tex]h_{2 }[/tex] е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС и отсечките АС и РМ се пресичат в т.Т .

[tex]S_{ABC }[/tex]-[tex]S_{ABM }[/tex]=

= [tex]S_{AMC }[/tex]= [tex]S_{AMT }[/tex]+[tex]S_{TMC }[/tex]=

=[tex]\frac{TM. h_{2 } }{2}[/tex]+[tex]\frac{TM. h_{1 } }{2}[/tex]= [tex]\frac{TM( h_{1 }+ h_{2 } )}{2}[/tex] =

=[tex]\frac{(PM-PT)C C_{1 } }{2}[/tex]=[tex]\frac{(BN-PT)C C_{1 } }{2}[/tex]=

=[tex]\frac{BN.C C_{1 } }{2}[/tex]-[tex]\frac{PT.C C_{1 } }{2}[/tex]= [tex]S_{BCN }[/tex]-[tex]\frac{PT( h_{1 }+ h_{2 } )}{2}[/tex]=

=[tex]S_{BCN }[/tex] - ([tex]\frac{PT. h_{1 } }{2}[/tex]+[tex]\frac{PT. h_{2 }) }{2}[/tex]= [tex]S_{BCN }[/tex] -([tex]S_{PTC }[/tex]+[tex]S_{ATP }[/tex])=

=[tex]S_{BCN }[/tex]-[tex]S_{CAP }[/tex]