Вписана окръжност и лица на триъгълници

[alekseft]

Здравейте!
Моля за решение на следната задача:

За [tex]\triangle ABC[/tex] центърът на вписаната окръжност е [tex]O[/tex] и лицата на [tex]\triangle AOB[/tex], [tex]\triangle BOC[/tex] и [tex]\triangle AOC[/tex] са съответно 4, 9 и 11. Намерете дължините на страните на [tex]\triangle ABC[/tex].

Благодаря Ви!

[mail_dinko]

Правим чертеж, след което установяваме, че радиусът на вписаната окръжност се явява височина във всеки един от трите триъгълника с известни лица
Центърът на вписаната окръжност е пресечна точка на ъглополовящите
[tex]S _ {\triangle ABO} = \frac {rc}{2} \Leftrightarrow 4 = \frac {rc}{2} \Rightarrow c = \frac 8r[/tex]
[tex]S _ {\triangle CBO} = \frac {ra}{2} \Leftrightarrow 9 = \frac {ra}{2} \Rightarrow a = \frac {18}{r}[/tex]
[tex]S _ {\triangle CAO} = \frac {rb}{2} \Leftrightarrow 11 = \frac {ra}{2} \Rightarrow b = \frac {22}{r}[/tex]
[tex]p _ {\triangle ABC} = \frac {P _ {\triangle ABC}}{2}= \frac {a+b+c}{2} = \frac {24}{r}[/tex]
[tex]S=pr[/tex]
[tex]\sqrt {\frac {24}{r}.\frac {16}{r}.\frac {6}{r}.\frac {2}{r}}= r. \frac {24}{r}[/tex]
[tex]\cancel {24}= \frac {\cancel {12.4}. \sqrt {2}}{r^2}[/tex]
[tex]r = \sqrt[4]{2}[/tex]
[tex]a= \frac {18}{ \sqrt[4]{2}}[/tex]
[tex]b = \frac {22}{ \sqrt[4]{2}}[/tex]
[tex]c = \frac {8}{ \sqrt[4]{2}}[/tex]

Принос за корекцията има S.B.

[Какаши Сенсей]

Един подход и от мен, системата ще я оставя ти да я решиш

[S.B.]

Здравейте!
Моля за решение на следната задача:

За [tex]\triangle ABC[/tex] центърът на вписаната окръжност е [tex]O[/tex] и лицата на [tex]\triangle AOB[/tex], [tex]\triangle BOC[/tex] и [tex]\triangle AOC[/tex] са съответно 4, 9 и 11. Намерете дължините на страните на [tex]\triangle ABC[/tex].

Благодаря Ви!

Без заглавие - 2022-03-10T111233.890.png (306.17 KiB) Прегледано 1229 пъти

Нека $OM = ON = OP = r , AB = c , BC = a , AC = b$
[tex]S_{AOB } = \frac{c.r}{2} \Leftrightarrow \frac{c.r}{2} = 4 \Rightarrow c = \frac{8}{r}[/tex]

[tex]S_{BOC } = \frac{a.r}{2} \Leftrightarrow \frac{a.r}{2} = 9 \Rightarrow a = \frac{18}{r}[/tex]

[tex]S_{AOC } = \frac{b.r}{2} \Leftrightarrow \frac{b.r}{2} = 11 \Rightarrow b = \frac{22}{r}[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] ще приложа Хероновата формула за лице:
$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $$
[tex]S_{ABC } = 4 + 11 + 9 = 24[/tex]
[tex]p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24}{r} , p - a = \frac{6}{r} , p - b = \frac{2}{r} , p -c = \frac{16}{r}[/tex]
[tex]24 = \sqrt{ \frac{24}{r} \frac{6}{r} \frac{2}{r} \frac{16}{r} } \Leftrightarrow 24 = \sqrt{ \frac{ 6^{2 }. 2^{7 } }{ r^{4 } } } \Rightarrow 24 = \frac{48 \sqrt{2} }{ r^{2 } } \Rightarrow r^{2 } = 2 \sqrt{2} \Rightarrow r^{2 } = \sqrt{8} \Rightarrow[/tex]
$$r = \sqrt[4]{8}$$
За страните на [tex]\triangle ABC[/tex] получавам:
$$AB = c = \frac{8}{ \sqrt[4]{8} } ; BC = a = \frac{18}{ \sqrt[4]{8} } ; AC = b = \frac{22}{ \sqrt[4]{8} } $$

[alekseft]

Здравейте!
Моля за решение на следната задача:

За [tex]\triangle ABC[/tex] центърът на вписаната окръжност е [tex]O[/tex] и лицата на [tex]\triangle AOB[/tex], [tex]\triangle BOC[/tex] и [tex]\triangle AOC[/tex] са съответно 4, 9 и 11. Намерете дължините на страните на [tex]\triangle ABC[/tex].

Благодаря Ви!

Без заглавие - 2022-03-10T111233.890.png

Нека $OM = ON = OP = r , AB = c , BC = a , AC = b$
[tex]S_{AOB } = \frac{c.r}{2} \Leftrightarrow \frac{c.r}{2} = 4 \Rightarrow c = \frac{8}{r}[/tex]

[tex]S_{BOC } = \frac{a.r}{2} \Leftrightarrow \frac{a.r}{2} = 9 \Rightarrow a = \frac{18}{r}[/tex]

[tex]S_{AOC } = \frac{b.r}{2} \Leftrightarrow \frac{b.r}{2} = 11 \Rightarrow b = \frac{22}{r}[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] ще приложа Хероновата формула за лице:
$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} $$
[tex]S_{ABC } = 4 + 11 + 9 = 24[/tex]
[tex]p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24}{r} , p - a = \frac{6}{r} , p - b = \frac{2}{r} , p -c = \frac{16}{r}[/tex]
[tex]24 = \sqrt{ \frac{24}{r} \frac{6}{r} \frac{2}{r} \frac{16}{r} } \Leftrightarrow 24 = \sqrt{ \frac{ 6^{2 }. 2^{7 } }{ r^{4 } } } \Rightarrow 24 = \frac{48 \sqrt{2} }{ r^{2 } } \Rightarrow r^{2 } = 2 \sqrt{2} \Rightarrow r^{2 } = \sqrt{8} \Rightarrow[/tex]
$$r = \sqrt[4]{8}$$
За страните на [tex]\triangle ABC[/tex] получавам:
$$AB = c = \frac{8}{ \sqrt[4]{8} } ; BC = a = \frac{18}{ \sqrt[4]{8} } ; AC = b = \frac{22}{ \sqrt[4]{8} } $$

Благодаря много! Бях стигнал донякъде. ^_^