Правоъгълен паралелепипед

[Гост]

Диагоналите ВА1 и BC1 на околните стени на правоъгълник паралелепипед ABCDA1B1C1D1 образуват с основата ABCD ъгли, съответно равни на 30 градуса и 60 градуса, а дължината на AC e равна на корен от 30 см. Намерете обема на паралелепипеда.

[ammornil]

Диагоналите ВА1 и BC1 на околните стени на правоъгълник паралелепипед ABCDA1B1C1D1 образуват с основата ABCD ъгли, съответно равни на 30 градуса и 60 градуса, а дължината на AC e равна на корен от 30 см. Намерете обема на паралелепипеда.

Screenshot 2023-06-14 081414.png (20.87 KiB) Прегледано 1021 пъти

Нека [tex]AB=CD=a; \hspace{0.5em} AD=BC=b; \hspace{0.5em} AA_{1}=BB_{1}=CC_{1}=DD_{1}=c[/tex]
[tex]\triangle{ABA_{1}} \rightarrow \begin{cases} \angle{BAA_{1}}=90^{\circ} \\ \angle{ABA_{1}}=30^{\circ} \end{cases} \Rightarrow BA_{1}=2\cdot{AA_{1}}=2c \Rightarrow (2c)^{2}=a^{2}+c^{2} \Leftrightarrow 3c^{2}=a^{2} \Leftrightarrow[/tex] $$ a = c\sqrt{3} $$

[tex]\triangle{BCC_{1}} \rightarrow \begin{cases} \angle{BCC_{1}}=90^{\circ} \\ \angle{CBC_{1}}=60^{\circ} \end{cases} \Rightarrow \angle{BC_{1}C}=30^{\circ} \Rightarrow BC_{1}=2\cdot{BC}=2b \Rightarrow (2b)^{2} = b^{2} + c^{2} \Leftrightarrow 3b^{2}=c^{2} \Leftrightarrow[/tex] $$ b=\frac{c\sqrt{3}}{3} $$

[tex]\triangle{ABC} \rightarrow \angle{ABC}=90^{\circ} \Rightarrow a^{2} + b^{2} = AC^{2} \Leftrightarrow a^{2} +b^{2} =30 \Rightarrow \underbrace{3c^{2} +\frac{c^{2}}{3}=30}_{\normalsize{3}} \Leftrightarrow 10c^{2}=90 \Leftrightarrow[/tex] $$ c=3[cm] $$

[tex]V= a\cdot b \cdot c = c\sqrt{3}\cdot \frac{c\sqrt{3}}{3} \cdot c =c^{3} \Rightarrow[/tex]$$ V= 3^{3}=27[cm^{3}] $$