Лице на триангулируема фигура

[Румен Симеонов]

Нека за два равнинни (всеки в евклидова равнина) двуизмерни (т.е. - имащи периферни, но също и вътрешни точки) триъгълника $T_1, T_2$ с $T_1\cap T_2$ да обозначаваме равнинната фигура $F$ състояща се от всичките точки $P$, които принадлежат/лежат и на двата триъгълника: $P\in T_1, P\in T_2$ и да/ще наричаме $F$ сечение на $T_1$ и $T_2$. Убедете се, че ако $F$ не е празно множество от точки то то е точка, или е отсечка или е изпъкал $n$ - ъгълник с $6\geqq n\geqq 3$, на който никои 3 върха не лежат на една права. Двата триъгълника $T_1$ и $T_2$ ще наричаме правилно разположени (един спрямо друг) ако сечението им $F=T_1\cap T_2$ е празно или е едноточково множество или е отсечка. Триъгълен агрегат (по-правилно - триъгълников агрегат) ще наричаме съвкупност $A$, може и празна, състояща се от краен брой (двуизмерни) триъгълници всеки два от които са правилно разположени един спрямо друг. Следа на агрегата $A$ ще наричаме множеството $M(A)$ състоящо се от всички точки лежащи по всевъзможните (двуизмерни) триъгълници елементи на агрегата $A$. Докажете, че ако два триъгълни агрегата $A_1$ и $A_2$ имат една и съща следа $F$, $F=M(A_1)=M(A_2)$, то тогава сумата от лицата на триъгълниците елементи на агрегата $A_1$ е равна на сумата от лицата на триъгълниците елементи на агрегата $A_2$. Полигон наричаме всяка следа $F=M(A)$ на (някой, който и да е) триъгълников агрегат $A$. Лице $S(F)$ на полигон $F$ наричаме сумата от лицата на триъгълниците, които са елементи на един (който и да е) агрегат $A$, на който следата е полигона $F$ - т.е. - за който $A$ е изпълнено $F=M(A)$. Полигоните $F$ ще наричаме и ,,фигури" (полигонални двуизмерни фигури). Агрегат $A$, за който $F=M(A)$ (т.е. - $F$ е следа на $A$) ще наричаме (правилно) разрязване/разбиване на фигурата/полигона $F$ на триъгълници.

[grav]

Мноооого дълго за нещо което можеше да напишеш на два реда. Но не е ли очевидно!

Агрегат е обидинение на триъгълници, всеки два от които имат сечение с нулева мярка т.е. [tex]A=\cup T_i[/tex] и [tex]m(T_i\cap T_j) =0[/tex] за [tex]i\not = j[/tex]. Тогава за следата имаш [tex]M(A) = \sum m(T_i)[/tex].

[Румен Симеонов]

Упътване. Ако $OXY$ е правоъгълен равнобедрен триъгълник с прав ъгъл при $O$, то възникват две функции $x=x(A)\in (-\infty, +\infty)$, $y=y(A)\in (-\infty, +\infty)$, такива, че за всяка точка $A$ от същата равнина e изпълнено
$\vec{OA}=x(A)\vec{OX}+y(A)\vec{OY}$,
при което ориентираното лице на $\triangle OAB$ (по дефиниция) е
$L_{OXY}(A,B):=S_{OXY}(O,A,B):=\frac{1}{2}(\vec{OA}\times\vec{OB}).\vec{k}=\frac{1}{2}det\begin{vmatrix}x(A)& y(A) \\ x(B)& y(B)\end{vmatrix}$,
където пък (пак по дефиниция)
$\vec{OA}\times\vec{OB}:=det\begin{vmatrix}x(A)& y(A) \\ x(B)& y(B)\end{vmatrix}.\vec{k}$.
Докажете и (съществен частен случай на) Теоремата на Стокс, според който (случай) ориентираното лице на $\triangle ABC$ е:
$S_{OXY}(A,B,C)=$
$L_{OXY}(A,B)+L_{OXY}(B,C)+L_{OXY}(C,A)$,
където пък, пак по дефиниция:
$S_{OXY}(A,B,C)=\frac{1}{2}(\vec{AB}\times\vec{AC}).\vec{k}=\frac{1}{2}det\begin{vmatrix}x(B)-x(A)& y(B)-y(A) \\ x(C)-x(A)& y(C)-y(A)\end{vmatrix}=$
$\frac{1}{2}det\begin{vmatrix}x(A)&y(A)&1 \\ x(B)& y(B)&1 \\ x(C)&y(C)&1\end{vmatrix}$,
което, при желание и съгласие, накратко можем да запишем и така:
$d\lambda=\omega$,
където
$\lambda_{A}(\vec{AB})=L_{OXY}(A,B):=\frac{1}{2}det\begin{vmatrix} x(A)& y(A) \\ x(B)& y(B) \end{vmatrix}$
$\omega_{A}(\vec{AB},\vec{AC})=2S=2S(A,B,C)=2S_{OXY}(A,B,C)=(\vec{AB}\times\vec{AC}).\vec{k}:=det\begin{vmatrix}x(B)-x(A)& y(B)-y(A) \\ x(C)-x(A)& y(C)-y(A) \end{vmatrix}=$
$det\begin{vmatrix}x(A)&y(A)&1 \\ x(B)& y(B)&1 \\ x(C)&y(C)&1\end{vmatrix}$.
По-горе равенствата с $\vec{k}$ могат (и трябва) да се пропуснат, те са само за разяснение, като $\vec{k}=\vec{OZ}$, $OZ\bot OX, OZ\bot OY, |OZ|=|OY|=|OX|, \vec{OZ}=\vec{OX}\times\vec{OY}$.

[Румен Симеонов]

Мноооого дълго за нещо което можеше да напишеш на два реда. Но не е ли очевидно!

Агрегат е обидинение на триъгълници, всеки два от които имат сечение с нулева мярка т.е. [tex]A=\cup T_i[/tex] и [tex]m(T_i\cap T_j) =0[/tex] за [tex]i\not = j[/tex]. Тогава за следата имаш [tex]M(A) = \sum m(T_i)[/tex].

Лесно ти е защото не проследяваш дефинициите и доказателствата на твърденията за тях започвайки с аксиомите. При теб се получава порочен кръг, защото приемаш на готово, че въпросните носители/полигони имат изначално определено лице, което има, при това, и свойствато адитивност - да е равно на сумата от лицата на триъгълниците в агрегата представящ дадения полигон, който и да е той, такъв. Аз пък, точно тук показвам как се дефинира това лице, за да можеш ти после спокойно да го използваш без да се замисляш (както обикновено). Съответно, не си дал решение на задачата. Ако ползваш някоя теория на мярката/лицето за равнинни фигури вкл. полигони може и да се признае твоето за решение, но забравих да кажа, че се иска решение без да се използва нищо повече от училищна математика. Съответно, малко си извинен и можеш да опиташ пак при така разяснена задача. Все пак, трябваше и сам да забележиш, че аз давам дефиниция за лице на полигон и, следователно, не може да се ползва друга дефиниция за лице на полигон и нейното (евентуално, но все още не доказано) съвпадане с настоящата дефиниция (нито пък нейната адитивност в тази връзка). Ако забележиш всичко това, ще установиш, че всъщност използваната от теб друга дефиниция (без дори да кажеш коя) и нейните свойства (теореми за нея) е нещо ужасно много пъти по-сложно от моето изложение тук. Вече стана дума, че сложността на използваното трябва да се добавя (като тежест) когато се преценява сложността на дадено доказателство (което не значи всеки път да се доказва отново използваното).
Точно това е есенцията на моята задача и упътването - че се получава страхотно елементарно изграждане на теорията на лицата на равнинни фигури (по отношение на полигоните, засега, който случай пък, ще се използва за по-елементарно доизграждане на теорията на лицата отнасяща се и за по-общи фигури. При това, ще стане много лесно доказването инвариантността на лицата относно ортогонални преобразования на равнината, което обикновено е доста трудно при другите изграждания на теорията на лицата (и-или обемите и въобще - на мярката).

[Румен Симеонов]

Резюме на упътването (кратък вариант):

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x(A)&y(A)&1 \\ x(B)& y(B)&1 \\ x(C)&y(C)&1\end{vmatrix}=$

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x(A)&y(A) \\ x(B)& y(B)\end{vmatrix}+$

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x(B)&y(B) \\ x(C)& y(C)\end{vmatrix}+$

$\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x(C)&y(C) \\ x(A)& y(A)\end{vmatrix}$

т.е.

$S(A,B,C)=$

$L(A,B)+$

$L(B,C)+$

$L(C,A)=$

$\sigma([L(A,B), L(B,C), L(C,A)])$,
$\sigma([p,q,r]):=\Delta([p,q,r])/\#([p,q,r])$,
$[p,q,r]:=\{ (p,q,r), (q,r,p), (r,p,q) \}$,
$\Delta(M):=\Sigma \{ \delta(x) | x\in M\}$,
$\delta((p,q,r)):=p+q+r$.