Трапец

[Гост]

В окръжност с радиус 6cm е вписан трапец ABCD с ъгъл ВАС=45° и височина DH=2√2 cm. Да се намери лицето на трапеца.

[ptj]

Вписания трапец е рaвнобедрен.

От [tex]\angle BAC=45 ^\circ \Rightarrow[/tex]дъгата [tex]BC[/tex] ще има мярка [tex]90 ^\circ \Rightarrow BC=6 \sqrt{2}[/tex]. (страна срещу централен ъгъл 90 градуса).

Нека [tex]CC_1[/tex] e височина в [tex]\triangle ABC[/tex].

[tex]\triangle AC_1C[/tex] e равнобедрен и правоъгълен, сл. [tex]AC_1=2 \sqrt{2}[/tex].

[tex]BC_1= \sqrt{CB^2-CC_1^2}= \sqrt{72-8}= 8[/tex]

[tex]CD=AB-2.BC_1=2 \sqrt{2}- 8 <0[/tex]

Нещо не е наред в условието.

[S.B.]

В окръжност с радиус 6cm е вписан трапец ABCD с ъгъл ВАС=45° и височина DH=2√2 cm. Да се намери лицето на трапеца.

Без заглавие - 2024-03-02T111938.450.png (199.71 KiB) Прегледано 957 пъти

Аз също като колегата ptj считам, че нещо не е наред в условието и тъй като лицето на трапеца може спокойно да се намери и без да се уточнява на колко е равен радиусът на описаната около него окръжност ,може да се приеме ,че става въпрос за грешка.Може би е казано само ,че трапецът е вписан в окръжност или по-точно,че трапецът е равнобедрен.

[tex]C H_{1 } \bot AB ,C H_{1 } = DH = 2 \sqrt{2}[/tex]
От [tex]\triangle A H_{1 }C \rightarrow \frac{C H_{1 } }{AC} = \sin 45 ^\circ \Leftrightarrow C H_{1 } = AC.\sin 45 ^\circ \Leftrightarrow 2 \sqrt{2} = AC. \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow AC = 4$$
Трапецът е равнобедрен [tex]\Rightarrow BD = AC = 4[/tex]
[tex]AC \cap BD = O[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]\angle AOB = 90 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.\sin \angle AOB \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{4.4}{2}.1[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 8$$

Скрит текст: покажи

Не е посочено и за кой клас става въпрос.Ако не сте учили все още тригонометрия ,то тогава ще решите задачата като докажете,че [tex]\triangle A H_{1 } C[/tex] е равнобедрен правоъгълен и с Питагорова теорема ще намерите хипотенузата $AC$.

[ptj]

Да, перпендикулярността на диагоналите е очевидна. Не знам защо не го видях вчера.

Относно забележката на колежката - наистина радиуса не е необходим за намиране на лицето.
Проблема е също, че стойността за него в условието е невъзможна, т.е. не съществува такъе трапец.