Да се намери лицето и периметъра на четириъгълник

[Гост]

Задачата е следната :

Даден е правоъгълен триъгълник с катети АЦ=15 и БЦ=20.
Окръжност с диаметър височината ЦХ пресича АЦ в точката М
и БЦ в точката П.Намерете периметъра и лицето на четириъгълника АБПМ

[S.B.]

Задачата е следната :

Даден е правоъгълен триъгълник с катети AC=15 и BC=20.
Окръжност с диаметър височината CH пресича ACв точката M
и BC в точката P.Намерете периметъра и лицето на четириъгълника ABPM

Без заглавие - 2024-08-13T101541.483.png (221.58 KiB) Прегледано 282 пъти

Построявам [tex]CH \bot AB , O \in AB , CO = HO[/tex], окръжност $ k(O, d )= CH$, [tex]k \cap AC = M , k \cap BC = P[/tex]

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Питагорова теорема и намирам $AB = 25$

[tex]\begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle\frac{AC.BC}{2} \\ S_{ABC }= \displaystyle \frac{AB.CH}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} S_{ABC } = \displaystyle \frac{15.20}{2} \\ S_{ABC } = \displaystyle \frac{25.CH}{2} \end{cases} \Rightarrow CH = 12[/tex]
От метричните свойства в правоъгълния триъгълник:[tex]AH.BH = CH^{2 }[/tex]
Нека $AH = x, BH = 25 - x$
[tex]x.(25 - x) = 12^{2 } \Leftrightarrow x^{2 } - 25x + 144 = 0 ,D = 49 , x_{1,2 } = \frac{25 \pm7 }{2}[/tex]
$AH = 9 , BH = 16$
От метричните свойства на секущи и допирателни:
[tex]AM.AC = AH^{2 } \Leftrightarrow AM.15 = 9^{2 } \Rightarrow AM = 5,4[/tex]
[tex]BP.BC = BH^{2 } \Leftrightarrow BP.20 = 16^{2 } \Rightarrow BP = 12,8[/tex]
Четириъгълникът $MHPC$ е вписан в окръжност, [tex]\angle MCP = 90 ^\circ \Rightarrow \angle MHP = 90 ^\circ \Rightarrow MP[/tex] e диаметър
[tex]\Rightarrow MP= CH = 12[/tex]

[tex]P_{ABPM } = AB + BP + PM + MA = 25 + 12,8 + 12 + 5,4 = ......[/tex]

[tex]S_{ABPM } = S_{ABC } - S_{MPC }[/tex]
[tex]S_{MPC } = \frac{CM.CP}{2}[/tex]
$CM = 15 - 5,4$
$CP = 20 - 12,8$
[tex]S_{ABC } = 150[/tex]
Можеш да довършиш сам(сама) задачата. Успех!