Лице на успоредник

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете за тези две задачи:

1. Намерете лицето на успредник със страни 7 и 13 и ъгъл между диагоналите му 150[tex]^\circ[/tex]
2. Намерето лицето на успоредник ABCD с остър ъгъл 45[tex]^\circ[/tex], ако точка М е средата на страна ВС и АМ=1 и DM=6

[Гост]

На втора задача АМ=10

[S.B.]

1. Намерете лицето на успредник със страни 7 и 13 и ъгъл между диагоналите му 150[tex]^\circ[/tex]

Без заглавие - 2024-12-30T200405.146.png (220.24 KiB) Прегледано 241 пъти

Нека [tex]AC = d_{1 } , BD = d_{2 }[/tex]
[tex]S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{2}.\sin 150 ^\circ \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{2}. \frac{1}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ d_{1 }. d_{2 } }{4} $$
1)
Подлагам на транслация с вектор[tex]\vec{DC}[/tex] диагонала $DB$ , при която [tex]D \rightarrow C, B \rightarrow B_{1 }[/tex]
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] имаме:
[tex]A B_{1 } = 26, AC = d_{1 } , B_{1 } C = d_{2 }, \angle AC B_{1 }= 150 ^\circ[/tex] (от свойствата на транслацията)
За [tex]\triangle A B_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]A B_{1 } ^{2 } = AC^{2 } + C B_{1 } ^{2 } - 2 .AC.C B_{1 } .\cos \angle AC B_{1 } \Leftrightarrow 26^{2 } = d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } +2 d_{1 } d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

2)
Подлагам на транслация с вектор[tex]\vec{CB}[/tex] диагонала $AC$ при която [tex]C \rightarrow B , A \rightarrow A_{1 }[/tex]
За [tex]\triangle A A_{1 }C[/tex] имаме:
[tex]A A_{1 } = 14, A_{1 }B = d_{1 } ,DB = d_{2 } , \angle DB A_{1 } = 30 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle DB A_{1 }[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]D A_{1 } ^{2 } = DB^{2 }+ A_{1 }B ^{2 } - 2.DB. A_{1 }B.\cos \angle DB A_{1 } \Leftrightarrow 14^{2 } = d_{1 } ^{2 }+ d_{2 } ^{2 } - 2. d_{1 }. d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

Изваждам почленно получените равнства:

[tex]26^{2 } = d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } + 2 d_{1 } d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]14^{2 } = d_{1 } ^{2 } + d_{2 } ^{2 } - 2 d_{1 } d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

И получавам:
[tex]26^{2 } - 14^{2 } = 4 d_{1 } d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow 480 = 4 d_{1 } d_{2 } \frac{ \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow 240 = d_{1 } d_{2 } \sqrt{3} \Leftrightarrow d_{1 } d_{2 } = \frac{240}{ \sqrt{3} } \Rightarrow d_{1 } d_{2 } = 80 \sqrt{3}[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{ABCD } = \displaystyle \frac{ d_{1 } d_{2 } }{4} \\ d_{1 } d_{2 } = 80 \sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow S_{ABCD } = \displaystyle \frac{80 \sqrt{3} }{4}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = 20 \sqrt{3} $$

[Гост]

Благодаря Ви, успях да се сетя за втората задача за косинусова теорема в тр. DMC и тр. ABM. Реших и първата по този начин, защото транслацията ми е непознат метод.

[S.B.]

Изненадана съм,че не познавате транслацията.
Транслация и ротация се изучават в 8 клас.Добре ще бъде да ги прочетете.В бъдеще ще Ви се налага да ги ползвате.

[Гост]

Ще ги погледна, в момента съм в 12. клас и най-вероятно просто съм ги забравил, имайки предвид, че всичко свързано с геометрия, стереометрия и ротационни тела никога не ми е било сила. В момента, докато сме ваканция, започвам да "преговарям" (по-скоро научавам ) първо геометрията.

[Гост]

Ще съм благодарен, ако можете да препоръчате някой наистина хубав сборник като за начинаещи, свързан с геометрия и стереометрия, понеже задачите в сборниците, които имам, или са прекалено сложни, или просто не ми харесват (знам колко глупаво звучи) - имам предвид задачи за доказване и такива само с букви (това сигурно още по-глупаво звучи).

[S.B.]

Ще си позволя в последния ден на 2024 година да Ви кажа няколко думи за математиката.
Математиката не се учи избирателно.Тя не е концерт по желание,а стройна система от знания,които Вие трябва да усвоите ако искате да имате успех.
Математиката е най- лесната,но същевременно и най-трудната наука.
Най-лесна,защото всеки нов урок надгражда изучаваното до този момент,а най - трудна защото ако веднъж прекъснете веригата от знания , Вие не можете да продължите напред без да възстановите пропуснатото.
Желая Ви здраве ,упоритост и успех през Новата 2025 година!

[ptj]

Благодаря Ви, успях да се сетя за втората задача за косинусова теорема в тр. DMC и тр. ABM. Реших и първата по този начин, защото транслацията ми е непознат метод.

Найстина колко повече знания имате- толкова по добре за вас. Но аз лично не ви съветвам да се опитвате тепърва да учите, какво е ротация и трянслация.
Ако сте добър в решенията с еднакви и подобни триъгълници и допълнителни построения, на практика може да решите почти всяка гометрична задача.
Също почти всичко решимо с теорема на Талес е достъпно с вектори.

Последно- за да решите една задача ви е необходимо да виждате връзките в нея. Т.е. равенствата и елементите, които са ви дадени в условието до какви други факти могат да ви доведат.
Много често се налага анализ отзад- напред, който на практика е същия като написаното по-горе, но тогава се тръгва от заключението...

П.П. Ако имате съществени пропуски в геометрията, всяко стереометрично доказателство ще ви е изключително трудно, защото в него се изискват основно 3 неща - пространствено въображение, малко базова геометрия и вероятно теорема за трите перпендикуляра ( или някоя друга касаеща взаимното положение на права и равнина и т.н.).

[peyo]

1. Намерете лицето на успредник със страни 7 и 13 и ъгъл между диагоналите му 150[tex]^\circ[/tex]

Тук ни изглежда , че ще ни трябвват дължините на диагоналите. Да ги намерим със система с косинусовата теорема. Нека $a$ и $b$ са половинките на диагоналите за улеснение:

[tex]\begin{array}{|l} 13^2 = a^2 +b^2 -2ab\ cos(150) \\ 7^2 = a^2 +b^2 -2ab\ cos(30) \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 13^2 = a^2 +b^2 +2ab\frac{\sqrt{3}}{2} \\ 7^2 = a^2 +b^2 -2ab\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 169 = a^2 +b^2 +\sqrt{3}ab \\ 49 = a^2 +b^2 -\sqrt{3} ab\end{array}[/tex]

И сега си мислим, че да решим тази система ще е доста трудно, защото отива към уравнение на 4-та степен, и вместо това ще търсим само $ab$

[tex]\begin{array}{|l} 169 - \sqrt{3}ab= a^2 +b^2 \\ 49 + \sqrt{3} ab= a^2 +b^2 \end{array}[/tex]

$169 - \sqrt{3}ab= 49 + \sqrt{3} ab$
$2\sqrt{3}ab=120 $

$ab= \frac{60}{\sqrt{3}}$

И сега има формула за лице на триъгълник:

[tex]S = \frac{1}{2} a b \ sin( \gamma )[/tex]

$sin(150)=sin(30)=1/2$

[tex]S_1 = \frac{1}{2} \frac{60}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} = \frac{15}{\sqrt{3}}[/tex]

[tex]S_2 = \frac{1}{2} \frac{60}{\sqrt{3}} \frac{1}{2} = \frac{15}{\sqrt{3}}[/tex]

$S = 2S_1+2S_2 = \frac{60}{\sqrt{3}}= \frac{60\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = 20 \sqrt{3}$