Задача от лица на фигури.

[Гост]

Може ли помощ за следната задача?

[Гост]

$S_{\Delta AFE}=x cm^2$

$S_{\Delta AEB}=\frac{1}{2}AB.h=\frac{1}{2}CD.h=S_{\Delta ADC}$

$\Rightarrow S_{\Delta ABF}+x cm^2=64 cm^2+x cm^2+36 cm^2\Rightarrow S_{\Delta ABF}=100 cm^2$

$S_{\Delta ABC}=S_{\Delta ACD}\Rightarrow 100 cm^2+S_{\Delta BCF}=64 cm^2+x cm^2+36 cm^2\Rightarrow S_{\Delta BCF}=x cm^2$

$\Delta ABF\sim\Delta CEF$ по Първи признак (Вътрешно-кръстни ъгли).

$\frac{S_{\Delta ABF}}{S_{\Delta CEF}}=\frac{AB^2}{CE^2}\Rightarrow\frac{100}{36}=\frac{AB^2}{CE^2}\Rightarrow CE=\frac{6}{10}AB$

Означаваме $AB=10a\Rightarrow CE=6a\Rightarrow DE=4a$

$\frac{S_{\Delta AED}}{S_{\Delta ACE}}=\frac{(4a)^2}{(6a)^2}\Rightarrow\frac{64}{x+36}=\frac{16a^2}{36a^2}=\frac{4}{9}\Rightarrow x=\frac{64.9}{4}-36=108 cm^2$

$S_{ABCD}=64 cm^2+x cm^2+36 cm^2+100 cm^2+x cm^2=200 cm^2+2x cm^2=416 cm^2$

[Гост]

Допуснал съм груба грешка: триъгълниците AED и ACE не са подобни, а лицата им се отнасят както основите (височината е обща).

$\frac{S_{\Delta AED}}{S_{\Delta ACE}}=\frac{4a}{6a}\Rightarrow\frac{64}{x+36}=\frac{4a}{6a}=\frac{2}{3}\Rightarrow x=\frac{64.3}{2}-36=60 cm^2$

$S_{ABCD}=64 cm^2+x cm^2+36 cm^2+100 cm^2+x cm^2=200 cm^2+2x cm^2=320 cm^2$

Дано не съм оплескал още нещо .

[Гост]

Благодаря! Но задачата е даена на състезанието "Европейско кенгуру" за 7 клас, не са учили подобни триъгълници и отношение на лицата им.

[Гост]

Лема.jpg (183.56 KiB) Прегледано 187 пъти

Задача-page-001.jpg (72.08 KiB) Прегледано 187 пъти

[Darina73]

Да построим FH -височина в [tex]\triangle[/tex]ABF и FP -височина в [tex]\triangle[/tex]FCE .
Нека FP=[tex]h_{1 }[/tex] и FH=[tex]h_{2 }[/tex]
[tex]S_{ABCD }[/tex] =?

[tex]\frac{EC.FP}{2}[/tex]=36 ;EC=[tex]\frac{72}{h_{1 }}[/tex]

[tex]\frac{DE( h_{1 } +h_{2 } )}{2}= 64 ;DE= \frac{128}{ h_{1 } +h_{2 } }[/tex]

Лесно се доказва ,че [tex]S_{ABF }[/tex] = 100 [tex]см.^{2 }[/tex] ; [tex]\frac{AB.FH}{2}= 100 ; AB= \frac{200}{ h_{2 } }[/tex]

CE+DE =AB
[tex]\frac{72}{ h_{1 } }+ \frac{128}{ h_{1 } +h_{2 } }= \frac{200}{ h_{2 } }[/tex] |:8[tex]\ne[/tex]0

[tex]\frac{9}{ h_{1 } } +\frac{16}{ h_{1 } +h_{2 } }= \frac{25}{ h_{2 } }[/tex]

[tex](3 h_{2 }) ^{2 }[/tex]=[tex](5 h_{1 }) ^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]h_{2 } = \frac{5 h_{1 } }{3}[/tex] (1)

[tex]S_{ABCD } = 2S_{ABE } =2. \frac{AB( h_{1 } +h_{2 }) }{2} = \frac{200}{ h_{2 } }( h_{1 } +h_{2 })[/tex]=[tex]\frac{200}{ \frac{5 h_{1 } }{3} }( \frac{3 h_{1 } }{3}+ \frac{5 h_{1 } }{3} ) = \frac{120}{ h_{1 } } . \frac{8 h_{1 } }{3} =320 см.^{2 }[/tex]