Лице на триъгълник - 10 клас

[Гост]

няколко задачки от лице на триъгълник хора.. много ще съм благодарна на малко помощ!

1. На страната AC на триъгълник ABC е взета т.N така че CN=5NA, a на страната BC - т.M така че S(MNC) : S(ANBM) = 5:6. Да се намери отношението CM:MB.
отг: 6:5

2.. Равнобедрен трапец с основи a и b e описан около окръжност. Да се намери:
а) лицето на четириъгълника с върхове допирните точки на страните на трапеца с окръжността;
б) отношението на лицата на трапеците, на които се разделя дадения трапец от отсечката, съединяваща допирните точки на бедрата с окръжността.
отговорите са малко смотани... и не мога да ги напиша... амм...a) (ab/a+b).\sqrt{ab} ; б) b^{2}(3a+b)/a^{2}(a+3b)

[ева]

1зад.
Нека т.[tex]А_{1 }[/tex],т.[tex]N_{1 }[/tex]лежат на правата ВС така,че А[tex]А_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]ВС и N[tex]N_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]BC;AN=b,CN=5b,[tex]S_{ABMN }[/tex]=6S,[tex]S_{NMC }[/tex]=5S,[tex]S_{ABC }[/tex]=11S
CM=х; МВ=у ; х:у=
[tex]\frac{АА_{1 }.ВС}{2}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]=11S [tex]\Rightarrow[/tex]A[tex]A_{1 }[/tex]=[tex]\frac{22S}{BC}[/tex] т.е.A[tex]A_{1 }[/tex]=[tex]\frac{22S}{х+у}[/tex] (1)
[tex]\frac{CM.NN_{1 }}{2}[/tex]=[tex]S_{NMC }[/tex]=5S [tex]\Rightarrow[/tex]N[tex]N_{1 }[/tex]=[tex]\frac{10S}{CM}[/tex] т.е.N[tex]N_{1 }[/tex]=[tex]\frac{10S}{х}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]A[tex]A_{1 }[/tex]C[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]N[tex]N_{1 }[/tex]C (1признак)[tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{AA_{1 }}{NN_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AC}{NC}[/tex] ;[tex]\frac{AA_{1 }}{NN_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{6b}{5b}[/tex] т.е.[tex]\frac{AA_{1 }}{NN_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] ползваме (1) и (2)
[tex]\frac{\frac{22S}{х+у}}{\frac{10S}{х}}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] ;[tex]\frac{22х}{10(х+у)}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex] ;11х=6х+6у ;5х=6у /:5у [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex]
отг.6:5

[ева]

2 зад. а) Използвам тригонометрия и лесно се намира,че S на четириъг.е [tex]\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}[/tex].

[ptj]

1-ва:
[tex]\frac{S_{NCM}}{S_{ANMB}}= \frac{5}{6} \Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{MNC}}{S_{ACB}}=\frac{S_{MNC}}{S_{NCM}+S_{ANMB}} =\frac{5}{5+6}=\frac{5}
{11}[/tex]

[tex]S_{NCM}=\frac{NC.CM.sin(\angle{ACB})}{2}[/tex]

[tex]S_{ACB}=\frac{AC.BC.sin(\angle{ACB})}{2}[/tex]

От горните равенства 3 получаваме:

[tex]\frac{5}{11}=\frac{NC.CM}{AC.CB}=\frac{NC.CM}{(AN+NC).CB}=\frac{5.CM}{6.CB}\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{CM}{CB}=\frac{CM}{CM+MB}=\frac{6}{11}[/tex] [tex]\Rightarrow\frac{CM}{MB}=\frac{5}{6}[/tex]

[ева]

2 зад. а) ABCD-равнобедрен трапец,АВ=а,CD=b,[tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\alpha[/tex].Окр.К се допира до AB,BC,CD,AD съответно в т.M, т.N, т.P, т.T.
т.L,т.Е са среди на отс.МТ,РТ;т.[tex]D_{1 }[/tex] лежи на отс.АВ,като D[tex]D_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]AB.
[tex]S_{MNPT }[/tex]=?

Скрит текст: покажи

Първо ще намерим МТ,РТ и sin[tex]\alpha[/tex].

АL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]DAB,DE е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]PDT.
АМ=АТ (допирателни към К от външна т.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AMT е равнобедрен sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{LT}{AT}[/tex]=[tex]\frac{MT}{a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MT=a.sin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (1)
TD=PD (допират.към К от външна т.) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex] TPD е равнобедрен sin[tex]\frac{180^\circ-\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{TE}{TD}[/tex] ; cos[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{PT}{b}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] PT=b.cos[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] (2)
ABCD е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] т.М,т.Р,т.О са среди на AB,CD,MP. т.O лежи на отс.РМ [tex]\Rightarrow[/tex] вписаният [tex]\angle[/tex]РТМ=90[tex]^\circ[/tex]

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{DD_{1 }}{AD}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{AD^{2}-AD_{1 }^{2}}}{AD}[/tex] където AD=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] ,A[tex]D_{1 }[/tex]=[tex]\frac{a-b}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}[/tex] (3)

[tex]S_{MNPT }[/tex]=2[tex]S_{MPT }[/tex]=2.[tex]\frac{MT.PT}{2}[/tex]=asin[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]bcos[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{ab}{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{ab}{2}[/tex].[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}[/tex]=[tex]\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}[/tex]