обем на непълна елипсовидна бъчва

[koliovini]

здравей
казвам се николай. технолог съм във Австралия. имам проблем от практиката. бих искал да Ви помоля за помощ, виждам 4е тук има разбиращи от материята.
проблема ми ни враща назад при Kepler.
имам във винарната големи ХОРИЗОНТАЛНИ дървени бъ4ви. налага ми се да измеря загубите на изпарение на вино в тях. това става като потапям стоманен метър откъм горния отвор и от4итам нивото на виното в бъ4вата. после сравнявам по таблица, НО ТАКАВА ЛИПСВА:-). знам само обема на бъ4вата(може би:-)). засега нямам възможност да ги долея и така да си направя практи4еска таблица(виното е много старо десертно и не се долива)
Проблема ми е 4е бъ4вите НЕ СА КРЪГЛИ. Дъната(по то4но предната и задната 4аст на бъ4вата) им са ЕЛИПСИ. Дъгите им приемам за ПАРАБОЛИ.

първона4ално подходих към зада4ата като намиране на обем на ротационно тяло. Проблема ми е 4е в този слу4аи въртенето не е по окъжност. тоест немога да приложа pi*∫y^2dx, преси4ащ се с равнина z=H. търсих по интернет интеграл за ротация по елипса но не намерих такъв.

тожа ме поставя в положение да намеря обема като троен интеграл.
постъпих по следния на4ин.

1. приех геометри4ния център на бъ4вата - О, да е в на4алото на координатната система
О = (0;0;0). Така разделям бъ4вата на 8 симетри4ни октанта. За да реша зада4ата, ПРИЕМАМ 4Е нивото на виното z = H, е над половината от бъ4вата. По този на4ин ми се налага да опеделя обема само на Първи октант.

2. направих замервания на бъ4вите и определих уравненията на елипсата и на параболата както и границите.
ето ги за една от бъ4вите(приел съм 1 метър за една линейна единица)
а = 0,700
b = 0,525
А = 0,775
В = 0,585
L = 1,200
H = 0 празна бъ4ва
H = 1,400 - пълна бъ4ва
където:
а- дължината на голямата полуос на дъното на бъ4вата
b- дължината на малката полуос на дъното на бъ4вата
А- дължината на голямата полуос на средното се4ение на бъ4вата
В- дължината на малката полуос на средното се4ение на бъ4вата
L - дължина на бъ4вата от дъно до дъно
H - висо4ина на слоя вино в средното се4ение на бъ4вата

Уравненията на дъгата(парабола), на дъната и на средното се4ение на бъ4вата(елипси) съм ги приложил на картинките(трудно ми е да пиша уравнениа на компа, моля да ме извините)

3. Границите ги приемам(за първи октант)

0≤x≤0,585
0≤y≤0,600
0≤z≤h
където
h - разстоянието на нивото на виното от равнината x0y
h= 2.A - H
за решаването на конкретен пример приемам:
h = 0,720
Или за ГРАНИЦИ НА ИНТЕГРАЛА
0≤x≤0,585
0≤y≤0,600
0≤z≤0,720

ПРОБЛЕМИ:
1. Не съм сигурен за границите
2. Полу4авам две разли4ни уравнения на елипси - в средното се4ение и на дъното
3. Как да съставя тройния интеграл
2. Как да го реша

Моля за помощ, 10 години от последния път, когато съм се занимавал с итегрално смятане.

Може би някой има друга идея как да подходя към намирането на обема на виното?

ПС Уравненията и скицата сам ги прика4ил като .RAR архив ba4va.rar

[Гост]

А защо реши, че дъгите са параболи? Тя тази бъчва по-скоро е триосен елипсоид, от който са изрязани два върха. Известен ли е обемът на бъчвата? Това вътрешни размери на бъчвата ли са? Изобщо техническа характеристика на бъчвата имаш ли?

[koliovini]

А защо реши, че дъгите са параболи? Тя тази бъчва по-скоро е триосен елипсоид, от който са изрязани два върха. Известен ли е обемът на бъчвата? Това вътрешни размери на бъчвата ли са? Изобщо техническа характеристика на бъчвата имаш ли?

1. Навсякъде, където намерих информация,

http://www.intmath.com/applications-int ... lution.php
http://www.had2know.com/academics/barre ... lator.html

приемат дъгата за парабола. предполагам 4е това приемане опростява по-нататъшните из4исления.
Ако можеш да ми помогнеш, като приемеш бъ4вата като триосен елипсоид, нямам нищо напротив. важен е резултата.

2. Обемът който имам, но не съм сигурен колко е то4ен, е:
V = 1363 dm3

3. Това са вътрешни размери на бъ4вата.

4. Какво имаш предвид под техни4еска характеристика на бъ4ва? Приложил сам в attachment ba4va.rar скица с основните размери и данни за бъ4вата. ако желаеш някакъв друг размер, ще го измеря. ина4е никакжи други данни нямам. тези бъ4ви са на 50+ години.

Благодаря за съдействието

[Гост]

Здравей Ники, мисля по твоя въпрос имам и някои решения. Но преди да ги споделя искам да направя рецезия на сметките си. За целта ако знаеш на някоя бъчва размерите, които си дал(вътрешните, без дебелината на дъските) , знаеш нивото на виното (h), и със сигурност знаеш обема (не от сметки, а от това колко си сложил), и ги публикуваш. Тогава ще сверя и ще ти отговоря (и надявам се помогна).

[koliovini]

Здравей Ник/и, мисля по твоя въпрос имам и някои решения. Но преди да ги споделя искам да направя рецезия на сметките си. За целта ако знаеш на някоя бъчва размерите, които си дал(вътрешните, без дебелината на дъските) , знаеш нивото на виното (h), и със сигурност знаеш обема (не от сметки, а от това колко си сложил), и ги публикуваш. Тогава ще сверя и ще ти отговоря (и надявам се помогна).

Гост


здравей гост,

1. ето размерите за още една бъ4ва(вътрешните)

а = 0,850
b = 0,625
А = 0,925
В = 0,710
L = 1,200
V = 2409 dm3
където:
а- дължината на голямата полуос на дъното на бъ4вата
b- дължината на малката полуос на дъното на бъ4вата
А- дължината на голямата полуос на средното се4ение на бъ4вата
В- дължината на малката полуос на средното се4ение на бъ4вата
L - дължина на бъ4вата от дъно до дъно
V - обем на бъ4вата, dm3

2. нивото на виното го зная, но то е без зна4ение, защото виното не съм го пълнил аз, а много години преди мен. освен това през тези години иното се е изпарявало и нивото е намалявало. ТУК е и проблема: на какво ниво, какъв обем отговаря. за съжаление аз не мога да изто4а виното за да измеря обема - много е старо и всяка намеса, освен ако не го бутилираш е вредна.
ето го за този пример(нивото)
h = 1,700
обема съответстващ на тази висо4ина не зная. както споменах, това е търсеното в зада4ата

благодаря за съдействието

[Гост]

Зяравей Ники, пак съм аз (този, който искаше размери и обем). Реших ти проблема, но в идеализирания случай, а именно при "перфектни параболи" и "перфектни елипси". Проблема не е тривиален, наистина се свежда до троен интеграл по обем, заграден от повърхнини. Уравненията на едната повърхнина (другите са равнини) не е мн. елементарно и стандартните субституции(цилиндрични, сферични) не водят до кой знае какво облекчение. Не съм отделял мн. време за да мисля дали интеграла е решим в квадратури и да ти дам напрво формула в която заместваш. Имам съмнения, че може да се реши аналитично, но дори това да е така тази формула ще е твърде дълга и сложна. Както и да е. Направих програма която изчислява интеграла при различни параметри (за около 10-20 се кунди) с точност 0.000001 мисля, че е достатъчно. Разликата между мат. модела и конкретната бъчва на която знаеш обема, в най-лошия слъчай е по-мака от 4 %,
(сметката е за целия обем < 4%). Тази разлика се получава в резултат на това, че в бъчвата няма "идеални параболи" и "идеални елипси". Ako проявиш интерес пиши ми на
irgeorgiev@uni-ruse.bg за да разменим skype и да се чуем лично. Ако искаш файла който ти прави тези сметки ще ти го дам, но трябва да инсталираш Matlab. След като инсталираш програмата и ти дам файла тр. да се чуем по skype за инструкции. Между другото skype ми е: ivan_rg.Поздрави.

[Гост]

Според мене са ти объркали сметката. Щом всички сечения на бъчвата са елипси, значи е елипсоид. Така че намесването на каквито и да е параболи е погрешно.

[Гост]

Темата е малко стара, но пък задачата е много проста. Има си точно решение за елипса, което се извежда на салфетка и бутилка хубаво вино:

Обемът на което и да е ротационно тяло, получено чрез въртене на крива [tex]y(x)[/tex] около ос [tex]x[/tex] е
[tex]V =\pi \int\limits_{x_{1}}^{x_{1}} y^{2}dx[/tex]
Формулата за елипса е:
[tex]\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1[/tex]
Оттук веднага се получава изразът за [tex]y^{2}[/tex]:
[tex]y^{2} = (1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}[/tex]
Неопределения интеграл е:
[tex]I(x) = x b^{2} (1 - \frac{x^{2}}{3a^{2}})[/tex]
И сега, ако искаш да намериш обема на отрязък, ограничен между координати [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex], трябва да пресметнеш:
[tex]V =\pi (I(x_{2}) - I(x_{1}))[/tex], което е определения интеграл. Нулата е в центъра на обемното тяло.
Ако бъчвата е симетрична, с височина [tex]h = 2 a_{1}[/tex], се получава:
[tex]V = \pi (I(a_{1}) - I(-a_{1})) = 2 \pi a_{1} b^{2} (1 - \frac{a_{1}^{2}}{3a^{2}})[/tex]
Ако [tex]a_1 = a[/tex], се получава обемът на цял целеничък ротационен елипсоид:
[tex]V = \frac{4}{3} \pi a b^{2}[/tex]
http://calcpad-bg.com/TemplateView/28
И за да бъде съвсем ясно, отговорът е: Обемът на бъчва с височина h, отрязана от елипосид с полуоси a и b е:
[tex]V = \pi h b^{2} (1 - \frac{h^{2}}{12a^{2}})[/tex]

Поздрави и наздраве от инж. Неделчо Ганчовски
Строителен инженер, конструктор

[koliovini]

Здравейте г-н Ганчовски,
Темата е наистина стара. Води началото си от Кеплер и неговата "Nova Stereometria doliorum vinariorum"(Нова стереометрия на винена бъчва) от 1615 година. За мое съжаление, аз не съм математик от неговата величина, за да реша проблема аналитически. Но успях да вникна в същината. А именно:

1. Кривата която се завърта е парабола (дъгата на бъчвата), а не елипса(дъното на бъчвата)
2. Параболата се върти, но завъртането не е по окръжност, както на обикновенна бъчва (тоест по една ос), а елиптично(тоест има 2 оси на симетрия).

Търся обема на това тяло (въртене на парабола по елипса - т.нар. елипсовиден винен резервоар):
https://share.google/images/UrOaz5wiSbD8taAhB

а не обем на това тяло (въртене на елипса около една ос - т.нар. "каунка":
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... id_321.png

и не на това тяло също(въртене на права по елиса - т.нар. "млековозка"):
https://www.isuzujp.com/wp-content/uplo ... anda-2.jpg

и не на това тяло(въртене на парабола по окръжност - т.нар. "бъчва за вино"):
https://www.matematicasvisuales.com/ima ... rrel02.jpg

Цитирам Ви специалист от Русенският университет:
"...Проблема не е тривиален, наистина се свежда до троен интеграл по обем, заграден от повърхнини. Уравненията на едната повърхнина (другите са равнини) не е мн. елементарно и стандартните субституции(цилиндрични, сферични) не водят до кой знае какво облекчение. "

Имате ли аналитично решение за намиране на обем на въртяща се ПО ЕЛИПСА КРИВА?(1. по елипса, а не по окръжност; 2. крива, а не права)

С уважение:
Николай К.

[peyo]

Здравейте г-н Ганчовски,
Темата е наистина стара. Води началото си от Кеплер и неговата "Nova Stereometria doliorum vinariorum"(Нова стереометрия на винена бъчва) от 1615 година. За мое съжаление, аз не съм математик от неговата величина, за да реша проблема аналитически. Но успях да вникна в същината. А именно:

1. Кривата която се завърта е парабола (дъгата на бъчвата), а не елипса(дъното на бъчвата)
2. Параболата се върти, но завъртането не е по окръжност, както на обикновенна бъчва (тоест по една ос), а елиптично(тоест има 2 оси на симетрия).

Търся обема на това тяло (въртене на парабола по елипса - т.нар. елипсовиден винен резервоар):
https://share.google/images/UrOaz5wiSbD8taAhB

а не обем на това тяло (въртене на елипса около една ос - т.нар. "каунка":
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... id_321.png

и не на това тяло също(въртене на права по елиса - т.нар. "млековозка"):
https://www.isuzujp.com/wp-content/uplo ... anda-2.jpg

и не на това тяло(въртене на парабола по окръжност - т.нар. "бъчва за вино"):
https://www.matematicasvisuales.com/ima ... rrel02.jpg

Цитирам Ви специалист от Русенският университет:
"...Проблема не е тривиален, наистина се свежда до троен интеграл по обем, заграден от повърхнини. Уравненията на едната повърхнина (другите са равнини) не е мн. елементарно и стандартните субституции(цилиндрични, сферични) не водят до кой знае какво облекчение. "

Имате ли аналитично решение за намиране на обем на въртяща се ПО ЕЛИПСА КРИВА?(1. по елипса, а не по окръжност; 2. крива, а не права)

С уважение:
Николай К.

Забавна задачка, но дъното не е парабола, защото не прилича. Според условието:

а = 0,850
b = 0,625
...
където:
а- дължината на голямата полуос на дъното на бъ4вата
b- дължината на малката полуос на дъното на бъ4вата

Да нарисуване въпросната "парабола""

Код: Избери целия код

from sympy import symbols, Point, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot

# Symbols
x, a = symbols('x a')

# Given values
width = 0.625      # distance between x-intercepts
c = 0.425          # y-intercept

# Solve 2*sqrt(-c/a) = width  for a
eq = 2*sqrt(-c/a) - width
a_val = solve(eq, a)[0]   # gives -4.352...

# Parabolas
y1 = a_val * x**2 + c      # passes through (0, 0.425)
y2 = -y1                   # symmetric, passes through (0, -0.425)

# Plot both
p = plot(
    y1, y2,
    (x, -width/2, width/2),
    ylim=(-0.6, 0.6),
    aspect_ratio=(1, 1),
    show=True
)


Резултат:

Figure_1.png (19.46 KiB) Прегледано 28 пъти

Както виждаме където двете параболи се пресичат има прекалено изразени ръбове, каквито няма в действителност, значи дъното не са две параболи, а нещо друго. По близо до елипса вероятно.