Може ли някой да ми провери задачата -редове

[CB94]

Здравейте, силно начинаеща съм в този вид математика, уча чрез видео уроци и затова искам да помоля някой от вас,ако е възможно, да ми провери тази задачка.
Условието е да се провери за сходимост реда :

[Добромир Глухаров]

Когато в $(2n)!$ заменим $n$ с $n+1$ получаваме не $(2n+1)!$, а $(2(n+1))!=(2n+2)!$.

Решението накратко е нещо такова:

$a_n=\frac{n!^2}{(2n)!}$

$a_{n+1}=\frac{(n+1)!^2}{(2(n+1))!}=\frac{(n+1)!^2}{(2n+2)!}=\frac{n!^2(n+1)^2}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\to\frac{1}{4}$ - сходящ по Даламбер.

[CB94]

Много благодаря, Добромир Глухаров, разбрах си грешката и благодаря за решението!
Може ли само да попитам как преобразувахте (2n+2)!= 2n!(2n+1)(2n+2) , единствено това не можах да разбера как се получи, извинявам се ако въпроса ми е твърде глупав :/

[Добромир Глухаров]

По дефиниция $n!=1.2.3.4...(n-1).n\Rightarrow (2n+2)!=1.2.3.4.5...(2n-1).(2n).(2n+1).(2n+2)$ - факториелът от дадено естествено число $n$ е равен на произведението на всички естествени числа от $1$ до $n$, аналогично факториелът от естественото число $2n+2$ е равен на произведението на всички естествени числа от $1$ до $2n+2$.

[CB94]

Безкрайно благодаря, много ми помогнахте !

[Гост]

Когато в $(2n)!$ заменим $n$ с $n+1$ получаваме не $(2n+1)!$, а $(2(n+1))!=(2n+2)!$.

Решението накратко е нещо такова:

$a_n=\frac{n!^2}{(2n)!}$

$a_{n+1}=\frac{(n+1)!^2}{(2(n+1))!}=\frac{(n+1)!^2}{(2n+2)!}=\frac{n!^2(n+1)^2}{(2n)!(2n+1)(2n+2)}$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{4n^2+6n+2}\to\frac{1}{4}$ - сходящ по Даламбер.

Извинявам се, но тук става въпрос за (2n)!, т.е. за произведение на четни числа, а не за 2n! Следващия член е 2n+2=(2n)!(2n+2)

[pal702004]

Извинявам се, но тук става въпрос за (2n)!, т.е. за произведение на четни числа, а не за 2n! Следващия член е 2n+2=(2n)!(2n+2)

$(2n)!$ си е точно факториел на числото $2n$.
$(2n)!=1\cdot 2 \cdot 3 \ldots (2n)$

Това, което сте описал се означава с двоен факториел
$(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6\ldots (2n)$.
$(2n+1)!!=1 \cdot 3\cdot 5\ldots (2n+1)$

И го няма в задачата.

[ammornil]

Това с двойния факториел, ако някога съм го знаел, не го помня, но по мое време произведенията на четни и нечетни числа между $1$ и $n$ се означаваха съответно $$\prod_{i=1}^{k}{(2i)}, \hspace{0.5em} k\in\mathbb{N}, \hspace{0.5em} n\in\mathbb{N}, \hspace{0.5em} k={\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor}$$ и $$ \prod_{i=1}^{k}{(2i+1)}, \hspace{0.5em} k\in\mathbb{N}, \hspace{0.5em} n\in\mathbb{N}, \hspace{0.5em} k={\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor} $$ $\\[12pt](2n)!$ логично е произведението на всички цели числа от $1$ до $(2\cdot{}n)$, скобите се пресмятат преди факториела.

[pal702004]

Аз също използвам стандартни обозначения. Просто Гост повдигна въпроса.

Това с двойния факториал не е общоизвестно но го има