Двоен интеграл

[Гост]

Здравейте, имам затруднение със следната задача и ще съм благодарен, ако някой поне даде насоки:

В декартовата равнина да се намери лицето на фигурата, определена от неравенствата: [tex]\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ y \le x \sqrt{x} \\ y \le 6x - x^{2} \end{cases}[/tex]

Построих фигурата чрез графиките на двете функции и защриховах общата област под тези функции, съобразявайки се с [tex]x \ge 0 \\ y \ge 0[/tex], т.е. областта само в първи квадрант. Но не мога да моделирам (предполагам чрез двоен интеграл) търсеното лице

[Гост]

sigurno imash predvid [tex]y \ge x \sqrt{x}[/tex], vizh purvo kude se presichat grafikite

[Гост]

Условието е както е написано:
[tex]x \ge 0; y \ge 0; y\le x \sqrt{x} ; y \le 6x - x^{2};[/tex]

Пресечните точки на двете функции са (0;0) и (4;8), но не знам как да намеря лицето на фигурата

[peyo]

Първото нещо е да си направим чертеж в Geogebra Classic като просто напишем неравенствата:

geogebra-export(28).png (1.04 MiB) Прегледано 1953 пъти

И търсим лицето на най-синята област.

Значи като гледаме сложните функции се пресичат в 4 и после от 4 до 6 втората част. Значи:

In [117]: var("x")
Out[117]: x
In [119]: integrate( x*sqrt(x), (x,0,4)) + integrate( 6*x-x**2, (x,4,6))
Out[119]: 332/15
In [120]: 332/15
Out[120]: 22.133333333333333


И сега като преброим на ръка колко квадратчета има в най-синята част, май ги изкарвам около 22, значи отговора ни сигурно е верен.

[Гост]

Да, този чертеж и аз си го построих. Обаче това разсъждение както и определянето на интегралите не ги разбрах...

Значи като гледаме сложните функции се пресичат в 4 и после от 4 до 6 втората част.

[Гост]

За да намериш лицето на фигурата с двоен интеграл, ще искаш интеграл от 1ца(това ти намира просто лицето на фигура когато говорим за двойни интеграли) и си го ограничаваш от функциите. Общо взето се разбива на два интеграла, тъй като се разглеждат двата случая заради ограниченията на y и получаваш
[tex]\begin{cases} 0 <= x <= 4 \\ 0 <= y <= x \sqrt{x} \end{cases}[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\begin{cases} 4 <= x <= 6 \\ 0 <=y <= 6x - x^{2 } \end{cases}[/tex]

правиш си двата интеграла
I1 = [tex]\int\limits_{0}^{4} \int\limits_{0}^{x \sqrt{x} } 1 dy dx[/tex]
I2 = [tex]\int\limits_{4}^{6} \int\limits_{0}^{ 6x - x^{2 } } 1 dy dx[/tex]
Интегрираш ги и ги събираш.
hope it helps