Неопределен интеграл

[Румен Симеонов]

Пресметнете:
$$f(x) = \int (-1)^{[x]}dx,\space x\in (-\infty, +\infty),$$
където
$$ [x] := max \{ \space k\space |\space k\in\Z, k\leqq x\}.$$

[ptj]

Мисля, че като го шифтнем с едно надясно се получава същия интеграл,но с обратен знак, т.е. отговора трябва да е 0.

[Румен Симеонов]

Мисля, че като го шифтнем с едно надясно се получава същия интеграл,но с обратен знак, т.е. отговора трябва да е 0.

Интегралът е неопределен и наистина $f'(x\pm 1) = - f'(x)$, но от това не следва $-f(x)=f(x\pm 1)=f(x)=0$, от което пък би следвало противоречието $0'=f'(x)=(-1)^{[x]}$. Следва само, че $f(x\pm 1) = - f(x) + f(\pm 1) + f(0)$ и $f(-1)=f(1)$ и $f(x+1) = f(x-1)$, но какво от това?

[ptj]

Един принципен въпрос:

Коректно ли да се изписва интеграл, ако границата не съществува и самия безкраен ред е разходящ?

П.П. Редицата от частични суми по целите числа не е сходяща.

[Румен Симеонов]

Един принципен въпрос:

Коректно ли да се изписва интеграл, ако границата не съществува и самия безкраен ред е разходящ?

П.П. Редицата от частични суми по целите числа не е сходяща.

Понеже с така изписания интеграл се обозначава не само една точно определена функция, а цяла фамилиа от функции различаващи се една от друга с константи - не е съвсем коректно. Но такава е наложилата се практика.

[peyo]

Пресметнете:
$$f(x) = \int (-1)^{[x]}dx,\space x\in (-\infty, +\infty),$$
където
$$ [x] := max \{ \space k\space |\space k\in\Z, k\leqq x\}.$$

Отговора е:

$f(x) = (-1)^{[x]}(x-[x]) +\frac{(-1)^{[x+1]}}{2}$

Намерен по метода на математическото отгатване.

[Румен Симеонов]

Пресметнете:
$$f(x) = \int (-1)^{[x]}dx,\space x\in (-\infty, +\infty),$$
където
$$ [x] := max \{ \space k\space |\space k\in\Z, k\leqq x\}.$$

Отговора е:

$f(x) = (-1)^{[x]}(x-[x]) +\frac{(-1)^{[x+1]}}{2}$

Намерен по метода на математическото отгатване.

Ами, да, признава се, макар, че по подразбиране винаги се търсят ВСИЧКИ въъзможни отговори, особено пък при неопределени интеграли, когато винаги се пише едно $+C$. Браво на peyo - самороден отгатвач на сложни теории и решения, той изпревари решавачите от цял свят (ако не се броя аз) - а и не се насочи да прави някакви преобразования на Фурие, както тук:

https://artofproblemsolving.com/communi ... e_integral

[ptj]

Не знам къде съм блял.
Търсих стойност на определен интеграл дефиниран върху цялата числова ос.

[Румен Симеонов]

Не знам къде съм блял.
Търсих стойност на определен интеграл дефиниран върху цялата числова ос.

Мда, и ако съществуваше като крайно число, вашето разсъждение щеше да докаже, че това число е нула. Той обаче не съществува нито като крайно число нито като безсрайност ($-\infty$ или $+\infty$), защото е разходящ ако сие разглежда като определен интеграл от $-\infty$ до $+\infty$).