Обратни функции

[Гост]

Докажете, че [tex]arcsin x[/tex] е растяща? Пробвах по познатия начин (n + 1)вия член - nтия, но стигнах доникъде.

[ammornil]

Докажете, че [tex]arcsin x[/tex] е растяща? Пробвах по познатия начин (n + 1)вия член - nтия, но стигнах доникъде.

За да е растяща една функция в даден интервал, нейната първа производна трябва да е винаги положителна в интервала.

[Knowledge Greedy]

Една функция е растяща, когато е растяща нейната обратна функция. Ясно е, че трябва да съобразим дефиниционния интервал на едната и интервала от стойности на другата.
[tex]f(x)=sinx[/tex] знаем, че е строго растяща в интервала [tex]\left[-\frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right][/tex] , приемайки стойности от [tex]-1[/tex] до [tex]1[/tex] включително.

Съгласно споменатата по-горе теорема, обратната ѝ функция [tex]f^{-1}(x)=arcsinx[/tex], дефинирана в интервала [tex][-1;+1][/tex] и приемаща стойности в интервала [tex]\left[-\frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2}\right][/tex], е строго растяща ( в интервала [tex][-1;\,\ 1][/tex] ).

[Knowledge Greedy]

Ето по-подробен запис на същия подход. (Тук под първа производна [tex]y'[/tex] разбираме отношението [tex]y'=\frac{dy}{dx}[/tex])

Искаме да докажем, че функцията [tex]y=arcsinx[/tex] е растяща в интервала [tex]\left [- 1; 1 \right ][/tex]

Нейната обратна [tex]x=siny[/tex] има производна [tex]\frac{dx}{dy}=cosy>0[/tex] в интервала [tex]y \in \left (- \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right )[/tex],
което показва, че [tex]x[/tex] е растяща.

Производната на нашата функция [tex]y=arcsinx[/tex], която е обратна на обратната функция, има вида

[tex]\frac{dy}{dx}= \frac{1}{cosy}>0[/tex] в същия интервал за [tex]x[/tex], респективно - в интервала [tex]\left (- \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right )[/tex] за [tex]y[/tex].

Последното разбира се изисква замяна на [tex]y[/tex] - с [tex]x[/tex] , от питагоровата теорема за синус и косинус на един и същ ъгъл [tex]sin^2y+cos^2y=1[/tex].

Без съмнение за знака на [tex]cosy =\sqrt{1-x^2}[/tex] в интервала [tex]\left (- \frac{\pi }{2}; \frac{\pi }{2} \right )[/tex]

Така [tex]\frac{dy}{dx}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0[/tex]

Следователно [tex]y'>0[/tex] и функцията [tex]y[/tex] е растяща в интервала [tex]\left [- 1; 1 \right ][/tex].
---------------
Пропускът на крайните точки не е фатален за такъв вид свойства като монотонността.
---------------
На практика изведохме и формулата [tex](arcsinx)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]