Меню
1) a(1) = [tex]\alpha[/tex], а(n+1) = [tex]\frac{3a^2(n) + a(n) + 6}{a(n)+9}[/tex], [tex]\alpha[/tex] [tex]\ne[/tex] -9
2) a(1)= [tex]\alpha[/tex], [tex]\alpha[/tex] [tex]\ne[/tex] -6, a(n+1) = [tex]\frac{2a^2(n)+a(n)+4}{a(n)+6}[/tex]
Първо се допуска, че е сходяща и намираме кандидатите за граница. Предполагам, че ако няма никакви автоматично редицата не е сходима? И след като намерим кандидатите съм виждал няколко подхода на решаване, но не разбирам каква е логиката в тях и защо въобще се прилагат действията - как се прилагат и какво постигаме чрез тях.
Решение на 1):
Допускам, че редицата е сходяща, тоест [tex]\lim_{n \to \infty } a_{n }[/tex] = [tex]\lim_{n \to \infty } a_{n + 1 }[/tex] = l => l = [tex]\frac{(3l^2 + l + 6)}{(l+9)}[/tex] => [tex]\frac{(3l^2 + l + 6 - l^2 - 9l)}{(l+9)}[/tex] = 0 => [tex]\frac{(2l^2 - 8l + 6)}{(l+9)}[/tex] = 0 => Кандидатите за граница са: l(1) = 1, l(2) = 3, l [tex]\ne[/tex] -9.
Изследвам монотонност: a(n+1)-a(n) = [tex]\frac{(3a^2(n) + a(n) + 6)}{(a(n)+9)}[/tex] - a(n) = (същото като отгоре) [tex]\frac{(2a^2(n) - 8a(n) + 6)}{(a(n)+9)}[/tex] => При a(n)[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex], -9) редицата намалява, при a(n)[tex]\in[/tex](-9, 1) расте, при a(n)[tex]\in[/tex](1, 3) намалява и при a(n)[tex]\in[/tex](3, +[tex]\infty[/tex]) расте.
От тук може да се направят още няколко интервала с корените на горното уравнение, тоест (a(n+1) - 1), (a(n+1) - 3), (a(n+1) + 9). Но не разбирам каква е логиката да се правят тези интервали. Но ето ги:
1. a(n+1) - 1 = [tex]\frac{3a^2(n)-3}{a(n)+9}[/tex] => (Понеже не мога да го запиша с числова ос тук ще го напиша вместо "При a(n)[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex], -9) редицата намалява" [tex]\Leftrightarrow[/tex] -[tex]\infty[/tex] намалява -9 ....) -[tex]\infty[/tex] намалява -9 расте -1 намалява 1 расте +[tex]\infty[/tex]
2. a(n+1) - 3 = [tex]\frac{3a^2(n)-2a(n)-21}{a(n)+9}[/tex] => -[tex]\infty[/tex] намалява -9 расте -7/3 намалява 3 расте +[tex]\infty[/tex]
3. a(n+1) + 9 = [tex]\frac{3a^2(n)+10a(n)+87}{a(n)+9}[/tex] => Числителят е с D<0 и 3 > 0 => е положителен [tex]\forall[/tex]a(n) => -[tex]\infty[/tex] намалява -9 расте +[tex]\infty[/tex]
От тук може да се вземат от 1. (-1) и от 2. (-7/3) и да се направи същото с тях, но отново не разбирам каква е логиката.
4. a(n+1) + 1 = [tex]\frac{3a^2(n)+2a(n)+15}{a(n)+9}[/tex] => -[tex]\infty[/tex] намалява -9 расте +[tex]\infty[/tex]
5. a(n+1) + 7/3 = [tex]\frac{9a^2(n)+10a(n)+81}{a(n)+9}[/tex] => -[tex]\infty[/tex] намалява -9 расте +[tex]\infty[/tex]
И от тук не знам какво се прави, ще съм благодарен, ако ми помогнете и обясните (Мога да пратя останалата част на решението ("помощна" таблица + някакви индукции), но не съм я писал аз и не я разбирам).
Решение на 2):
Допускам, че редицата е сходяща, тоест [tex]\lim_{n \to \infty } a_{n }[/tex] = [tex]\lim_{n \to \infty } a_{n + 1 }[/tex] = l => (Аналогично) l1 = 1, l2 = 4, l [tex]\ne[/tex] 6
Изследвам монотонност:
a(n+1) - a(n) = (a(n) - 1)(a(n) - 4)/ (a(n) + 6) => намалява -6 расте 1 намалява 4 расте
a(n+1) + 6 => намалява -6 расте
a(n+1) - 1 => намалява -6 расте -1 намалява 1 расте
a(n+1) - 4 => намалява -6 расте -5/2 намалява 4 расте
Този път не се използват неизползваните корени (-1, -5/2) на "вторичните" уравнения за още едни уравнения (не знам защо). Този път за останалата част на решението е друг вид "помощна" таблица и не се използват индукции.
Ще съм изключително благодарен, ако ми обясните защо се решават тези "вторични" уравнения и как точно се ползват интервалите им за решаването на задачата както и как се довършват задачите.
