Пресметнете границата

[Гост]

[tex]\lim_{x \to a}x[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a}[/tex]

[Гост]

[tex]\lim_{x \to a}[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a}[/tex]

* обърках се тази е границата

[Гост]

[tex]\lim_{x \to a}[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a}[/tex]

* обърках се тази е границата

Коя?!То е същото!

[peyo]

[tex]\lim_{x \to a}[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a}[/tex]

Да видим:

[tex]\lim_{x \to a}[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a} = \frac{a^{a }- a^{a }}{a-a}= \frac{(a-a)(\sum_{i=0}^{a-1 }a^{ a-1-i}a^i)}{a-a} = \sum_{i=0}^{a-1 }a^{ a-1-i}a^i) =[/tex]

$= \sum_{i=0}^{a-1 }a^{ a-1-i +i}) = \sum_{i=0}^{a-1 }a^{ a-1} = a^a$

Това изглежда малко съмнително, но може и да е вярно.

[ammornil]

Според мен:[tex]\\[/tex]

[tex]\lim_{x \to a}[/tex][tex]\frac{a^{x }- x^{a }}{x-a}[/tex]

[tex]\\ \lim_{x \to a}\frac{a^{x}-x^{a}}{x-a}=\lim_{x \to a}\frac{(a-x)(a^{x-1}-x^{a-1})}{-(a-x)}=\lim_{x \to a}(x^{a-1}-a^{x-1})=\cdots=0[/tex]

[Гост]

Правило на Лопитал.

[Davids]

Айде и според мен (но също и според Wolfram )

$L := \lim_{x\to a}\frac{a^x-x^a}{x-a} \stackrel{t \,:=\, x - a}{=} \lim_{t\to 0}\frac{a^{t+a} - (t+a)^a}{t} = a^a\lim_{t\to 0}\frac{a^t - \left(\frac{t}{a} + 1\right)^a}{t}$

Значи $\frac{1}{a^a}L = \lim_{t\to 0}\left(\frac{a^t - 1}{t} + \frac{1 - \left(1 + \frac{t}{a}\right)^a}{t}\right)$

И тук сега двете дроби, на които съм разделил тъй далновидно дясната страна, добавяйки и изваждайки изкуствено единица в числителя, могат да се сметнат поотделно като граници. Според зависи кой курс сме (примерно, в някое ВУЗ), колко надълбоко сме навлизали и какви са ни нотационните навици, изразите горе може да познаваме като:

- "основни граници": $\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 = \lim_{x\to 0}\frac{(1 + x)^a - 1}{ax}$

- "асимптотични сравнения": $e^x - 1 \stackrel{x\to 0}{\sim} x$ и $(1+x)^a - 1 \stackrel{x\to0}{\sim} ax$

- или най-общо полезното, от което следват и горните две по-частни формулировки - можем да боравим с редове на Тейлър (в частност около нулата, където нас ни интересува в момента, на Маклорън) и да записваме остатъците в подходяща форма спрямо контекста и нуждите си:

$e^x \stackrel{x\to 0}{=} \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + o(x)$

$(1+x)^a \stackrel{x\to 0}{=} \sum_{n = 0}^{\infty}\binom{a}{n} x^k = 1 + ax + o(x)$

И тъй:

$\frac{1}{a^a}L = \lim_{t\to 0}\frac{e^{t\ln a} - 1}{t} + \lim_{t\to 0}\frac{1 - \left(1 + \frac{t}{a}\right)^a}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{1 + t\ln a + o(t) - 1}{t} + \lim_{t\to 0}\frac{1 - \left(1 + a\frac{t}{a} + o(t)\right)}{t} = \left(\ln a + \lim_{t\to 0}\frac{o(t)}{t}\right) + \left(-1 + \lim_{t\to 0}\frac{o(t)}{t}\right) = \ln a - 1$

И в крайна сметка:

$\boxed{L = a^a\left(\ln a - 1\right)}$

[peyo]

...
И в крайна сметка:

$\boxed{L = a^a\left(\ln a - 1\right)}$

Very nice! Аз подозирах, че моето решение не е вярно, защото примерите ми не излизаха точно, но се надявах да е заради загубата на точност при работа с плаваща запетая. Но твоето решение е най-вярно:

In [359]: ((a**x-x**a)/(x-a)).subs({a: 5, x:4.99999999999})
Out[359]: 1904.52722266631

In [360]: 5**5*(math.log(5)-1)
Out[360]: 1904.4934763565634

[pal702004]

А за по-мързеливите Лопитал е измислил чудесно правило.