Интеграл

[Гост]

Добър вечер, задачата е тази от снимката. Знам, че трябва да се реши с групиране, някой може ли да помогне по някакъв начин, благодаря предварително!

[Davids]

$\int\frac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d\ln x = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d(1 + \ln x) \stackrel{u := 1 + \ln x}{=} \int\frac{u - 1}{\sqrt{u}}du = \int(u^\frac{1}{2} - u^{-\frac{1}{2}})du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{1}{2}}\left(\frac{u}{3} - 1\right) +C = 2\sqrt{lnx + 1}\left(\frac{lnx + 1}{3} - 1\right) +C = \frac{2}{3}\sqrt{lnx + 1}\left(lnx - 2\right) +C$

[Гост]

$\int\frac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d\ln x = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d(1 + \ln x) \stackrel{u := 1 + \ln x}{=} \int\frac{u - 1}{\sqrt{u}}du = \int(u^\frac{1}{2} - u^{-\frac{1}{2}})du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{1}{2}}\left(\frac{u}{3} - 1\right) +C = 2\sqrt{lnx + 1}\left(\frac{lnx + 1}{3} - 1\right) +C = \frac{2}{3}\sqrt{lnx + 1}\left(lnx - 2\right) +C$

Това ли е оптималния варинт, или има вариант с u, dv, v и по формулата u.v - int vdu? Благодаря много!

[Davids]

$\int\frac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d\ln x = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}d(1 + \ln x) \stackrel{u := 1 + \ln x}{=} \int\frac{u - 1}{\sqrt{u}}du = \int(u^\frac{1}{2} - u^{-\frac{1}{2}})du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2u^{\frac{1}{2}} + C = 2u^{\frac{1}{2}}\left(\frac{u}{3} - 1\right) +C = 2\sqrt{lnx + 1}\left(\frac{lnx + 1}{3} - 1\right) +C = \frac{2}{3}\sqrt{lnx + 1}\left(lnx - 2\right) +C$

Това ли е оптималния варинт, или има вариант с u, dv, v и по формулата u.v - int vdu? Благодаря много!

На това му викаме интегриране по части и е техника за когато е удобно и смислено. Това са ситуациите, в които подинтегралната функция е произведение на два множителя, единият от които "ще стане по-лесен" след диференциране / интегриране, а другият най-малко "ще запази сложността си"... та в крайна сметка новият интеграл да е по-лесен.

Аз лично тук не виждам приноса от прилагането на тази формула като можем и по-директно. Сигурно можем да натъкмим някакво използване зорлем, но според мен не е това идеята... което ме навежда на чуденето - какво поражда този въпрос?

[Davids]

Вероятно е от този раздел в съответното помагало... Е, ето и разумен вариант с използване на интегриране по части:

$\int\frac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}dlnx = \stackrel{u := lnx}{=} \int\frac{u}{\sqrt{1 + u}}du = \int\frac{u}{\sqrt{1 + u}}d(1 + u) = 2\int ud\sqrt{1 + u}$

И сега по части:

$= 2\left(u\sqrt{1+u} - \int\sqrt{1+u}du\right) = 2\left(u\sqrt{1+u} - \int\sqrt{1+u}d(1+u)\right) = 2\left(u\sqrt{1+u} - \frac{2}{3}(1+u)^\frac{3}{2}\right)$
$= 2\sqrt{1+u}\left(u - \frac{2}{3}(1+u)\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1+u}(u - 2)$

За мен по-интуитивен остава горният подход, все пак

[Гост]

Аз лично тук не виждам приноса от прилагането на тази формула като можем и по-директно. Сигурно можем да натъкмим някакво използване зорлем, но според мен не е това идеята... което ме навежда на чуденето - какво поражда този въпрос?

Досега мисля, че сме използвали формулата постоянно, затова реших да попитам дали има и друго решение, благодаря за обяснението.

[Гост]

Вероятно е от този раздел в съответното помагало... Е, ето и разумен вариант с използване на интегриране по части:

$\int\frac{lnx}{x\sqrt{1+lnx}}dx = \int\frac{lnx}{\sqrt{1+lnx}}dlnx = \stackrel{u := lnx}{=} \int\frac{u}{\sqrt{1 + u}}du = \int\frac{u}{\sqrt{1 + u}}d(1 + u) = 2\int ud\sqrt{1 + u}$

И сега по части:

$= 2\left(u\sqrt{1+u} - \int\sqrt{1+u}du\right) = 2\left(u\sqrt{1+u} - \int\sqrt{1+u}d(1+u)\right) = 2\left(u\sqrt{1+u} - \frac{2}{3}(1+u)^\frac{3}{2}\right)$
$= 2\sqrt{1+u}\left(u - \frac{2}{3}(1+u)\right) = \frac{2}{3}\sqrt{1+u}(u - 2)$

За мен по-интуитивен остава горният подход, все пак

Много благодаря!