Помощ за троен интеграл

[Гост]

Може ли помощ за решаването на този троен интеграл?

[pipi langstrump]

Със сферични трансформации за тялото се получава

[tex]0\le \varphi \le 2 \pi[/tex]
[tex]1\le r \le 2[/tex]
За да намерим къде се изменя $\theta$, ще заместим трансформациите в уравнението на параболоида. Получава се

[tex]r^2\sin^2 \theta \le r\cos \theta[/tex]
Оттук за $\theta$ имаме

[tex]0 \le \theta \le \arccos \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r}[/tex]

Интеграла става

[tex]\int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{2} r^3\int\limits_{0}^{ \arccos \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r} } \sin \theta d\theta drd\varphi =[/tex]

= [tex]2 \pi \int\limits_{1}^{2} r^3\left( 1- \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r}\right)dr[/tex]

Тоя интеграл го оставям на теб

[aXuita]

Със сферични трансформации за тялото се получава

[tex]0\le \varphi \le 2 \pi[/tex]
[tex]1\le r \le 2[/tex]
За да намерим къде се изменя $\theta$, ще заместим трансформациите в уравнението на параболоида. Получава се

[tex]r^2\sin^2 \theta \le r\cos \theta[/tex]
Оттук за $\theta$ имаме

[tex]0 \le \theta \le \arccos \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r}[/tex]

Интеграла става

[tex]\int\limits_{0}^{2 \pi} \int\limits_{0}^{2} r^3\int\limits_{0}^{ \arccos \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r} } \sin \theta d\theta drd\varphi =[/tex]

= [tex]2 \pi \int\limits_{1}^{2} r^3\left( 1- \frac{ \sqrt{1 + 4r^2} -1}{2r}\right)dr[/tex]

Тоя интеграл го оставям на теб

Якобианата къде е и защо тета е по-голямо от 0?

[pipi langstrump]

Якобианата къде е и защо тета е по-голямо от 0?

Между интегралите е, ако погледнеш внимателно ще го видиш.
За тита - по условие при сферичните трансформации тя е между $0$ и [tex]\pi[/tex].

[aXuita]

Якобианата къде е и защо тета е по-голямо от 0?

Между интегралите е, ако погледнеш внимателно ще го видиш.
За тита - по условие при сферичните трансформации тя е между $0$ и [tex]\pi[/tex].

Да, така е, но все пак не разбирам как стана 0 <= тета <= arccos...

[pipi langstrump]

Да, така е, но все пак не разбирам как стана 0 <= тета <= arccos...

Получава се като се реши неравенството на параболоида за тита.