Определен интеграл

[Гост]

Здравейте, може ли помощ с тази задача:
Отговорът би трябвало да е 1,5. Благодаря предварително’

[Гост]

Понеже границите са с $\pi$ в знаменател и имаме тригонометрична фенкция с аргумент $\frac{1}{x}$ най-естествено е да го положим да е равен на нова променлива.

$$\frac{1}{x}=u\Rightarrow x=\frac{1}{u}\Rightarrow dx=-\frac{du}{u^2}$$

При тази смяна на интеграционната променлива границите на определения интеграл се заместват с реципрочните им стойности.

$$\int_\frac{1}{\pi}^\frac{3}{\pi}\frac{sin\frac{1}{x}}{x^2}dx\{x=\frac{1}{u}\Rightarrow dx=-\frac{du}{u^2}\}=\int_\pi^\frac{\pi}{3}\frac{sinu}{\frac{1}{u^2}}\cdot\frac{-du}{u^2}=\int_\pi^\frac{\pi}{3}(-sinu)du=cosu|_\pi^\frac{\pi}{3}=cos\frac{\pi}{3}-cos\pi=\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$$

[Гост]

Понеже границите са с $\pi$ в знаменател и имаме тригонометрична фенкция с аргумент $\frac{1}{x}$ най-естествено е да го положим да е равен на нова променлива.

$$\frac{1}{x}=u\Rightarrow x=\frac{1}{u}\Rightarrow dx=-\frac{du}{u^2}$$

При тази смяна на интеграционната променлива границите на определения интеграл се заместват с реципрочните им стойности.

$$\int_\frac{1}{\pi}^\frac{3}{\pi}\frac{sin\frac{1}{x}}{x^2}dx\{x=\frac{1}{u}\Rightarrow dx=-\frac{du}{u^2}\}=\int_\pi^\frac{\pi}{3}\frac{sinu}{\frac{1}{u^2}}\cdot\frac{-du}{u^2}=\int_\pi^\frac{\pi}{3}(-sinu)du=cosu|_\pi^\frac{\pi}{3}=cos\frac{\pi}{3}-cos\pi=\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$$

Благодаря!