Двоен интеграл

[Гост]

Трябва да се пресметне двойният интеграл :
[tex]\int \int[/tex] x+y dx dy, с дефиниционна област вътрешността на триъгълника ABC, A(0,0), B(1,1), C(2,0).
Дефинирам x[tex]\in[/tex][0,2] и у[tex]\in[/tex][x,2-x]. Явно бъркам с границите на х и у, защото получавам резултат -4/3.
Може ли някой да ми помогне?

[peyo]

Трябва да се пресметне двойният интеграл :
[tex]\int \int[/tex] x+y dx dy, с дефиниционна област вътрешността на триъгълника ABC, A(0,0), B(1,1), C(2,0).
Дефинирам x[tex]\in[/tex][0,2] и у[tex]\in[/tex][x,2-x]. Явно бъркам с границите на х и у, защото получавам резултат -4/3.
Може ли някой да ми помогне?

Нека да решим задачата като намерим физическия смисъла на този интеграл.

Такива интеграли дават обема на 3-мерна фигура. В нашия случай имаме пресечена права призма. Да я нарисуваме с Geogebra 3D:

Screenshot 2024-06-14 092710.jpg (40.04 KiB) Прегледано 136 пъти

Търсения обем според картинката е пирамида с основа правоъгълника BCED и височина AB.
[tex]AB = BC = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}[/tex]
[tex]V=\frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} 2\sqrt{2} \sqrt{2} = \frac{4}{3}[/tex]


Този начин за решаване на двойни интеграли без интегрираме сякаш е по-лесен.