Троен интеграл със сферична смяна

[Гост]

Трябва ми помощ да реша този интеграл
зрам че трябва да направя сферична смяна

[Гост]

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=?$

$x^2+y^2+z^2\leq4$ е аналитично зададено кълбо с център $O(0;0;0)$ и радиус $R=\sqrt{4}=2$.

Разбира се, бихме могли да преминем към сферична координатна система, но по-лесно е първо да съобразим, че даденият троен интеграл е всъщност равен на 0.

Имаме: $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}xdxdydz+\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}ydxdydz+\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}zdxdydz$

Всеки от интегралите вдясно е 0. Да видим защо.

Да вземем например $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}xdxdydz=\int_{-2}^2x\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}dzdydx$

За всяко $x\in[-2;2]$ и $F_1(x)=\int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}dzdy$ функцията $F_1$ е четна $\to\ \ \ F_1(-x)=F_1(x)$, защото границите на интегриране са четни функции на $x$.

Следователно функцията $F(x)=xF_1(x)$ е нечетна $\to\ \ \ F(-x)=-xF_1(-x)=-xF_1(x)=-F(x)$

Така имаме $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}xdxdydz=\int_{-2}^2xF_1(x)dx=\int_{-2}^2F(x)dx=\int_{-2}^0F(x)dx+\int_0^2F(x)dx=-\int_0^{-2}F(x)dx+\int_0^2F(x)dx=-\int_0^2F(-x)d(-x)+\int_0^2F(x)dx=\int_0^2F(-x)d(x)+\int_0^2F(x)dx=-\int_0^2F(x)d(x)+\int_0^2F(x)dx=0$

По същия начин намираме $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}ydxdydz=0$ и $\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}zdxdydz=0$.

Сега вече знаем, че трябва да се получи 0 и можем да проверим, дали и при преминаване към сферични координати ще получим 0.

Надявам се до довечера да успея да напиша и решението със сферични координати.

[Гост]

Сферична смяна на координатите:

$x^2+y^2+z^2=\rho^2\leq4,\ \rho\geq0$ по дефиниция $\Rightarrow\rho\in[0;2]$

$\phi$ обикаля по екватора от $0$ до $2\pi$, $\theta$ минава от Северния до Южния полюс - от $0$ до $\pi$.

$\begin{array}{|l}0\leq\rho\leq2\\0\leq\phi\leq2\pi\\0\leq\theta\leq\pi\end{array}$, а сферичната смяна е $\begin{array}{|l}x=\rho cos\phi sin\theta\\y=\rho sin\phi sin\theta\\z=\rho cos\theta\end{array}$

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\int_0^2\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}(\rho cos\phi sin\theta+\rho sin\phi sin\theta+\rho cos\theta)\cdot\left|\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}\right|d\theta d\phi d\rho$

$\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}$ се нарича Якобиан на смяната и $\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}=\begin{array}{|ccc|}\frac{\partial x}{\partial\rho}&\frac{\partial x}{\partial\phi}&\frac{\partial x}{\partial\theta}\\\frac{\partial y}{\partial\rho}&\frac{\partial y}{\partial\phi}&\frac{\partial y}{\partial\theta}\\\frac{\partial z}{\partial\rho}&\frac{\partial z}{\partial\phi}&\frac{\partial z}{\partial\theta}\end{array}$

$\frac{\partial x}{\partial\rho}=(\rho cos\phi sin\theta)'_{\rho}=cos\phi sin\theta,\ \frac{\partial x}{\partial\phi}=(\rho cos\phi sin\theta)'_{\phi}=\rho(-sin\phi)sin\theta=-\rho sin\phi sin\theta,\ \frac{\partial x}{\partial\theta}=(\rho cos\phi sin\theta)'_{\theta}=\rho cos\phi cos\theta$

$\frac{\partial y}{\partial\rho}=(\rho sin\phi sin\theta)'_{\rho}=sin\phi sin\theta,\ \frac{\partial y}{\partial\phi}=(\rho sin\phi sin\theta)'_{\phi}=\rho cos\phi sin\theta,\ \frac{\partial y}{\partial\theta}=(\rho sin\phi sin\theta)'_{\theta}=\rho sin\phi cos\theta$

$\frac{\partial z}{\partial\rho}=(\rho cos\theta)'_{\rho}=cos\theta,\ \frac{\partial z}{\partial\phi}=(\rho cos\theta)'_{\phi}=0,\ \frac{\partial z}{\partial\theta}=(\rho cos\theta)'_{\theta}=-\rho sin\theta$

$\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}=\begin{array}{|ccc|}cos\phi sin\theta&-\rho sin\phi sin\theta&\rho cos\phi cos\theta\\sin\phi sin\theta&\rho cos\phi sin\theta&\rho sin\phi cos\theta\\cos\theta&0&-\rho sin\theta\end{array}$

Развиваме детерминантата на Якобиана по последния ред:

$\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}=cos\theta\begin{array}{|cc|}-\rho sin\phi sin\theta&\rho cos\phi cos\theta\\\rho cos\phi sin\theta&\rho sin\phi cos\theta\end{array}-\rho sin\theta\begin{array}{|cc|}cos\phi sin\theta&-\rho sin\phi sin\theta\\sin\phi sin\theta&\rho cos\phi sin\theta\end{array}$

$\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}=cos\theta(-\rho^2sin^2\phi sin\theta cos\theta-\rho^2cos^2\phi sin\theta cos\theta)-\rho sin\theta(\rho cos^2\phi sin^2\theta+\rho sin^2\phi sin^2\theta)$

$\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}=-\rho^2sin\theta cos^2\theta(sin^2\phi+cos^2\phi)-\rho^2sin^3\theta(sin^2\phi+cos^2\phi)=-\rho^2sin\theta(cos^2\theta+sin^2\theta)=-\rho^2sin\theta$

$\left|\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}\right|=|-\rho^2sin\theta|=\rho^2|sin\theta|$

$0\leq\theta\leq\pi\Rightarrow sin\theta\geq0\Rightarrow\left|\frac{D(x,y,z)}{D(\rho,\phi,\theta)}\right|=\rho^2sin\theta$

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\int_0^2\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(\rho cos\phi sin\theta+\rho sin\phi sin\theta+\rho cos\theta)\rho^2sin\theta d\phi d\theta d\rho=\int_0^2\rho^3d\rho\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(cos\phi sin^2\theta+sin\phi sin^2\theta+cos\phi sin\theta)d\phi d\theta$

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\frac{\rho^4}{4}|_0^2\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi}+sin^2\theta.(-cos\phi)|_0^{2\pi}+sin\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi})d\theta=$

$=\frac{2^4}{4}\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(0-0)+sin^2\theta.(-1-(-1))+sin\theta.(0-0))d\theta=0$

[Гост]

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\int_0^2\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(\rho cos\phi sin\theta+\rho sin\phi sin\theta+\rho cos\theta)\rho^2sin\theta d\phi d\theta d\rho=\int_0^2\rho^3d\rho\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(cos\phi sin^2\theta+sin\phi sin^2\theta+cos\phi sin\theta)d\phi d\theta$

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\frac{\rho^4}{4}|_0^2\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi}+sin^2\theta.(-cos\phi)|_0^{2\pi}+sin\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi})d\theta=$

$=\frac{2^4}{4}\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(0-0)+sin^2\theta.(-1-(-1))+sin\theta.(0-0))d\theta=0$

Открих си грешка, която за щастие не променя крайния резултат.

$\iiint_{x^2+y^2+z^2\leq4}(x+y+z)dxdydz=\int_0^2\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(\rho cos\phi sin\theta+\rho sin\phi sin\theta+\rho cos\theta)\rho^2sin\theta d\phi d\theta d\rho=\int_0^2\rho^3d\rho\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi}(cos\phi sin^2\theta+sin\phi sin^2\theta+cos\theta sin\theta)d\phi d\theta=$

$=\frac{\rho^4}{4}|_0^2\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi}+sin^2\theta.(-cos\phi)|_0^{2\pi}+\frac{1}{2}sin(2\theta)\int_0^{2\pi}d\phi)d\theta=$

$=\frac{\rho^4}{4}|_0^2\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(+sin\phi)|_0^{2\pi}+sin^2\theta.(-cos\phi)|_0^{2\pi}+\frac{1}{2}sin(2\theta){2\pi})d\theta=$

$=\frac{2^4}{4}\cdot\int_0^{\pi}(sin^2\theta.(0-0)+sin^2\theta.(-1-(-1)))d\theta+\frac{2^4}{4}\int_0^{\pi}\frac{\pi}{2}sin(2\theta)d(2\theta)=$

$=\frac{16}{4}\cdot0+\frac{16}{4}\cdot\frac{\pi}{2}(-cos(2\theta))|_0^{\pi}=0+2\pi.(-cos(2\pi)+cos0)=0+2\pi(-1+1)=0$

[Гост]

Благодаря за помоща, но Само да попитам тъй като там не е помалко или равно, а е =4 това променя ли нещата

[Гост]

Благодаря за помоща, но Само да попитам тъй като там не е помалко или равно, а е =4 това променя ли нещата

"По-малко или равно" означава, че интеграционната област е кълбо - имаме троен интеграл върху обем. "Равно на 4" означава, че интеграционната област е сфера - имаме двоен интеграл по повърхност. Но в този случай бихме имали само два знака за "интеграл" - удължено S и само две интеграционни променливи - $dxdy$, а не $dxdydz$.

[Гост]

Благодаря за отделеното време и помоща