Елипса

[Гост]

Не зная дали задачата е за тук,но ако някои може, моля да ми помогне.

Коя от следните елипси има в точката (0,2) най големия радиус на изкривяване (Krümmungsradius от нeмски)

[tex]x^{2 }[/tex]/9 + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex]/4+ [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex] + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex]/16 + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

Правилния отговор е последния [tex]x^{2 }[/tex]/16 + [tex]y^{2 }[/tex]/4=1но не мога да стигна до него.

[Гост]

Тази задача е за раздел висша математика - диференциална геометрия.

[peyo]

Не зная дали задачата е за тук,но ако някои може, моля да ми помогне.

Коя от следните елипси има в точката (0,2) най големия радиус на изкривяване (Krümmungsradius от нeмски)

[tex]x^{2 }[/tex]/9 + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex]/4+ [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex] + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

[tex]x^{2 }[/tex]/16 + [tex]y^{2 }[/tex]/4 =1

Правилния отговор е последния [tex]x^{2 }[/tex]/16 + [tex]y^{2 }[/tex]/4=1но не мога да стигна до него.

Да видим. Решаваме $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{k} =1 $ за $y$:

$\left[ - 2 \sqrt{\frac{k - x^{2}}{k}}, \ 2 \sqrt{\frac{k - x^{2}}{k}}\right]$

В (0,2) решението което ни интересува е само това:
$y = 2 \sqrt{\frac{k - x^{2}}{k}}$

Тази функция ще има най-голям радиус и без 2 и корен квадратен:

$y = \frac{k - x^{2}}{k} = 1 - \frac{ x^{2}}{k} $

Къде е параболата и накъде сочи също няма значение за радиуса:

$y = \frac{ x^{2}}{k} $

И на тази функция мисля е много по-лесно да се изчислят радиусите в 0.

[Гост]

Благодаря за решението до тук. Ние не сме имали досега подобни задачи и всичко е много ново за мен.
Мога ли да Ви помолч за решението на задачата докрай. Сам със сигурност няма да успея.
Благодаря предварително

[peyo]

Благодаря за решението до тук. Ние не сме имали досега подобни задачи и всичко е много ново за мен.
Мога ли да Ви помолч за решението на задачата докрай. Сам със сигурност няма да успея.
Благодаря предварително

Странно, но не е моя работа ... както и да е. От тук има една кратка формула за R:

https://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html

[tex]R = \| \frac{(1+ y'^2)^{3/2} }{y''} \|[/tex]

[tex]y=\frac{x^2}{k}[/tex], [tex]y'=\frac{2x}{k}[/tex] , [tex]y''=\frac{2}{k}[/tex]

[tex]R(k) = \| \frac{(1+ \frac{2x}{k}^2)^{3/2} }{\frac{2}{k}} \|[/tex]

И сега остава да сметнем това за 4-те стойности от условието:

In [109]: R= abs( (1+y.diff(x))**(3/2)/y.diff(x).diff(x))

In [116]: [ R.subs(x,0).subs(k,val) for val in [9,4,1,16]]
Out[116]: [9/2, 2, 1/2, 8]

При 16 R е наистина най-голямо. ТАДАММММ!

[grav]

Ако уравението на еплисата е
[tex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex]
то [tex]a[/tex] е дължината на хоризонталната полуос. Тъй като другата полуос е еднаква за дадените елипси и въпросната точна е точно върха на елипсата, то най-голяма кривина ще има при най-голямо [tex]a[/tex]. Значи [tex]a=4[/tex] и отговорът е последната елипса.

[grav]

Ако искаш да го пресметнеш, може да полсваш праметризацията
[tex]x=a\cos(t)[/tex]
[tex]y=b\sin(t)[/tex]
дадената точка сътоветства на [tex]t=0[/tex].
Предполагам това сте го учили, но ето го и метода.
https://en.wikipedia.org/wiki/Curvature#In_terms_of_a_general_parametrization