Троен интеграл

[Гост]

Имам следната задача
Т е тетраедър с върхове (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) и f(x,y,z)=x+y
Да се пресметне обема на тетраедъра чрез следния интеграл

[tex]\int \int \int[/tex]f(x,y,z)dV
Прилагам решението си ,но мисля че имам някъде грешка.
Може ли моля някой да ми помогне?

[ammornil]

Имам следната задача
Т е тетраедър с върхове (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3) и f(x,y,z)=x+y
Да се пресметне обема на тетраедъра чрез следния интеграл

[tex]\int \int \int[/tex]f(x,y,z)dV
Прилагам решението си ,но мисля че имам някъде грешка.
Може ли моля някой да ми помогне?

$\\[12pt] $ Според мен $\\[6pt] I_{z}= \int\limits_{0}^{3\left(1-x-\frac{y}{2} \right)}{(x+y)dz}= (x+y)\cdot{}3\left(1-x-\dfrac{y}{2} \right) \\[6pt] \quad I_{z}= 3(x+y)(1-x) -\dfrac{3}{2}y(x+y) \\[6pt] \quad I_{z}= 3x -3x^{2} +3y -3xy -\dfrac{3}{2}xy-\dfrac{3}{2}y^{2}= -\dfrac{3}{2}y^{2} +3\left(1 -\dfrac{3}{2}x\right)y +3x -3x^{2} \\[6pt] I_{y}= \int\limits_{0}^{2(1-x)}{I_{z}dy}= -\dfrac{1}{2}\cdot{}[2(1-x)]^{3} +\dfrac{3}{2}\left(1 -\dfrac{3}{2}x\right)[2(1-x)]^{2} +3x(1-x)\cdot{}2(1-x) \Rightarrow \\[6pt] \quad I_{y}= -4(1-x)^{3} +6\left(1 -\dfrac{3}{2}x\right)(1-x)^{2} +6x(1-x)^{2}= -4(1-x)^{3} +6\left(1 -\dfrac{1}{2}x\right)(1-x)^{2} \\[6pt] \quad I_{y}= -4(1 -3x +3x^{2} -x^{3}) +(6 -3x)(1 -2x +x^{2})= -4 +12x -12x^{2} +4x^{3} +6 -12x +6x^{2} -3x +6x^{2} -3x^{3} \\[6pt] \quad I_{y}= x^{3} -3x +2 \\[6pt] I_{x}= \int\limits_{0}^{1}{I_{y}dx}= \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{2} +2= \dfrac{3}{4} $

Проверете сметките, защото писах директно е LATEX, но проверката ми в Python също дава отговор 0,75.

Скрит текст: покажи

Код: Избери целия код

from sympy import symbols, integrate
x, y = symbols('x y')

integr_z = 3*(x + y)*(1 - x) - (3/2)*(x + y)*y
integr_y = integrate(integr_z , (y, 0, 2*(1 - x)))
integr_x= integrate(integr_y , (x, 0, 1))

print(integr_x)


$\\[6pt]$

Screenshot 2025-03-13 100036.png (12.36 KiB) Прегледано 90 пъти

[Гост]

Намерих си грешката. Благодаря.
А какво са Latex i python?

[ammornil]

А какво са Latex i python?

LATEX е език от структурирани команди, който е версия на езика TeX, и осигурява потребителски интерфейс за писане на научни статии, дипломни работи и книги. В този сайт се използва за писане на математически означения. Бутоните под формата за нов коментар въвеждат TeX код, затова когато натиснете някой от тези бутони се появява нещо, което започва с tex и завъшва с /tex.
Python e скриптов програмен език, който предлага широка гама от библиотеки с предварително програмирани фунцкции за решаване на проблеми в математиката, текстообработката, изпълнителен код и др.