Задача за доказателство

[Гост]

Здравейте! Моля за помощ за следната задача:
Даден е триъгълник ABC. Точката K е средата на BC, а върху страната AB са отбелязани точките M и P така, че AM=MP=PK и BC=2CM. Докажете, че AB=2AC.

[Евва]

Да начертаем [tex]\triangle[/tex]АВС -остроъгълен .Нека АМ=МР=РК=у ,РВ=х и СМ=ВК=СК=а .
Докажете ,че АВ=2АС .
Да отбележим на чертежа [tex]\angle[/tex]МСР=[tex]\gamma[/tex] и [tex]\angle[/tex]МРС=[tex]\varphi[/tex] .
[tex]\triangle[/tex]РКС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]МРС (3 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]КРС=[tex]\angle[/tex]МРС =[tex]\varphi[/tex] (1) и [tex]\angle[/tex]РСК=[tex]\angle[/tex]МСР=[tex]\gamma[/tex] (2)
Тогава СР е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]МВС [tex]\frac{МР}{ВР} = \frac{СМ}{ВС}[/tex] ;[tex]\frac{у}{ВР}= \frac{a}{2а}[/tex] ; ВР=2у (3)
[tex]\angle[/tex]ВРК е съседен на [tex]\angle[/tex]МРК [tex]\Rightarrow[/tex] (4) [tex]\angle[/tex]ВРК=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\varphi[/tex] (виж(1))
Нека т.Т е среда на отс.ВР ; РТ=РК=у ;[tex]\triangle[/tex]РТК е равнобедрен и (5) [tex]\angle[/tex]РКТ=[tex]\angle[/tex]РТК=[tex]\varphi[/tex] (виж(4))

Получихме ,че съответните ъгли са равни [tex]\angle[/tex]МРС=[tex]\angle[/tex]МТК=[tex]\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] СР||КТ ,а от тук следва ,че
(6) [tex]\angle[/tex]ТКВ=[tex]\angle[/tex]РСВ=[tex]\gamma[/tex] (съответни ъгли)

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АМС и [tex]\triangle[/tex]РВК
1. МС=ВК=а (дадено)
2. АМ=РК=у (дадено)
3. [tex]\angle[/tex]АМС=[tex]\gamma+ \varphi[/tex]=[tex]\angle[/tex]РКВ

Скрит текст: покажи

Защото [tex]\angle[/tex]АМС е външен за [tex]\triangle[/tex]МРС и [tex]\angle[/tex]РКВ=[tex]\angle[/tex]РКТ+[tex]\angle[/tex]ТКВ=[tex]\varphi+ \gamma[/tex] (виж (5) и (6)

[tex]\triangle[/tex]АМС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]РВК (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] АС=РВ (7)

За финал АВ=АМ+МР+ВР =у+у+2у= 4у =2ВР (от (3)) =2АС (от (7))