Градуси и радиани

Ъгли по-големи от 360 градуса

Когато обект се завърти около точка и направи пълен кръг ъгъла на завъртане е 360 градуса(360°).
Един градус е $\frac{1}{360}$ от кръга.

Когато един обект прави повече от едно завъртане то той се е завъртял на повече от 360 градуса.

Това често се случва в ежедневието ни. Автомобилната гума прави множество цикли, когато превозното средство се движи и колелото се завърта на ъгъл по-голям от 360°.

За да намерим броя завъртания, броим колко пъти числото 360 може да бъде добавено, за да получим число равно или по-малко(от 360°) на дадения ъгъл.

Пример
1. Открийте броя на завъртанията, когато обект се завърти на ъгъл
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Решение
a) 380 = (1 × 360) + 20
Обектът прави едно цяло завъртане и застава на 20°
Тъй като $20^{\circ} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}$ завъртания
Обектът прави $1\frac{1}{18}$ завъртания.

b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Обектът прави две цели завъртания и 50°
$50^{\circ} = \frac{50}{360} = \frac{5}{36}$ завъртания.
Обектът прави $2\frac{5}{36}$ завъртания
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ завъртания
Обектът прави $2\frac{7}{9}$ завъртания

Положителни и отрицателни ъгли

Когато обект се отмести по посока на часовниковата стрелка спрямо някаква точка, ъгъла, който се образува е отрицателен, а когато се отмести в посока обратна на часовниковата стрелка ъгъла е положителен.

Изобразяваме положителните и отрицателните ъгли по този начин:

Всеки отрицателен ъгъл може да се изрази чрез положителен, и обратно всеки положителен може да се изрази чрез отрицателен.

Например, отрицателния лъч на ордината е на 270°. Отрицателният ъгъл, който съответства на 270° e -90°.
Просто изваждаме 360 от 270 или 270 - 360 = -90.

Ако ъгъл е отрицателен и искаме да намерим съответния му положителен го събираме с 360°

Когато ъгълът е -360°, това означава, че обектът е направил едно завъртане в посока обратна на часовниковата стрелка.

Пример 3
1. Намерете съответстващия положителен ъгъл на:
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) -670°

Решение
1. Добавяме 360 към ъгъла за да получим съответстващия положителен ъгъл.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Това е един цикъл в посока на часовниковата стрелка.(360)
360 + (-310) = 50°
Ъгълът е 360 + 50 = 410°

2. Намерете съответстващия отрицателен ъгъл на 80°, 167°, 330° и 1300°.

Решение
Изваждаме 360 от ъгъла за да получим съответстващия му отрицателен ъгъл.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (един цикъл(завъртане) извършен)
940 - 360 = 580 (втори цикъл(завъртане) извършен)
580 - 360 = 220 (трети цикъл(завъртане) извършен)
220 - 360 = -140°
Ъгълът е -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Следователно 1300° = -1220°

Радиан

Радиан(означават се с rad) е друга мярка за измерване на ъгли.
На картинката ъгълът AOB е един радиан. Дъгата $\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ е равна на радиусът на окръжността.

Радиус $= r = OA = OB = \overset{\displaystyle\frown}{AB}$
Ъгъл AOB е равен на 1 радиан ≈ 57,3°.

Тъй като дължината на окръжността е $2\pi r$ или $2\pi$ радиуса следва, че радианите при едно завъртане са $2\pi$.

Някои от основните ъгли в радиани:

$360^{\circ} = 2\pi\ rad$
$180^{\circ} = \pi\ rad$
$90^{\circ} = \frac{\pi}{2} rad$

$30^{\circ} = \frac{30}{180}\pi = \frac{\pi}{6} rad$

$45^{\circ} = \frac{45}{180}\pi = \frac{\pi}{4} rad$

$60^{\circ} = \frac{60}{180}\pi = \frac{\pi}{3} rad$

$270^{\circ} = \frac{270}{180}\pi = \frac{27}{18}\pi = 1\frac{1}{2}\pi\ rad$

Пример 4
1. Превърнете ъглите 240°, 45°, 270°, 750° и 390° в радиани.
Решение
Умножаваме ъглите по $\frac{\pi}{180}$.

$240^{\circ} = 240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4}{3}\pi=1\frac{1}{3}\pi$

$120^{\circ} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

$270^{\circ} = 270 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{3}{2}\pi=1\frac{1}{2}\pi$

$750^{\circ} = 750 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{25}{6}\pi=4\frac{1}{6}\pi$

$390^{\circ} = 390 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{13}{6}\pi=2\frac{1}{6}\pi$

2. Превърнете ъглите в градуси.
а) $\frac{5}{4}\pi$
б) $3,12\pi$
в) 2,4 rad
Решение
$180^{\circ} = \pi$
а) $\frac{5}{4} \pi = \frac{5}{4} \times 180 = 225^{\circ}$
б) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^{\circ}$
в) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac{2,4 \times 57,3}{1} = 137,52$

Отрицателни ъгли и ъгли по-големи от $2\pi$ радиана

За да превърнем отрицателен ъгъл в положителен, добавяме $2\pi$ към ъгъла.
За да превърнем положителен ъгъл в отрицателен, изваждаме $2\pi$ от ъгъла.

Пример 5
1. Превърнете $-\frac{3}{4}\pi$ и $-\frac{5}{7}\pi$ в положителни ъгли(в радиани).

Решение
Добавяме $2\pi$ към ъглите
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$
$-\frac{5}{7}\pi = -\frac{5}{7}\pi + 2\pi = \frac{9}{7}\pi = 1\frac{2}{7}\pi$

Когато обект се завърти на ъгъл, който е по-голям от $2\pi$ той би направил повече от едно завъртане.
За да определим броя завъртания(k), откриваме число(k), което да умножим по $2\pi$ така, че
$ 0 \leq $ ъгъла $ - k\cdot2\pi \leq 2\pi $.

Пример 6
1. Открийте броя завъртания, при когато обект се отмести спрямо началото на координатната система на ъгъл:
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$

Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$; след като $-2\pi$ означава едно завъртане в посока на часовниковата стрелка, това означава,
че обектът е направил 5 завъртания в посока на часовниковата стрелка и е застанал на същото място на което е бил.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ половин цикъл
Обектът е направил четири и половина завъртания в посока обранта на часовниковата стрелка.

c) $\frac{7}{2}\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ e три четвърти завъртания $(\frac{1,5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
Обектът е направил едно цяло и три четвърти завъртания по посока обратна на часовниковата стрелка.