Височина на триъгълник

Разтоянието между връх на триъгълник и противоположна страна се нарича височина. Т.е. височина е най-късото разтояние между връх на триъгълника и протовоположна страна(или продължението и).

Ортоцентър

Всеки триъгълник има 3 височини, които се пресичат в една точка - ортоцентър.

Стандартно височините се означават с AH_a, BH_b, CH_c, които се пресичат в ортоцентъра(т. H). Ако триъгълника е тъпоъгълен(т.е. един от ъглите му е по-голям от 90°), ортоцентъра на триъгълника лежи извън триъгълника, и AH_a, BH_b, CH_c не се прсичат в него, но техните продължения се пресичат в ортоцентъра, които лежи извън триъгълника.

Височини в остроъгълен триъгълник

Ортоцентъра(пресечената точка на височините) е вътрешна точка за триъгълника

∠ AHB = 180 - γ = α + β
∠ BHC = 180 - α = β + γ
∠ AHC = 180 - β = α + γ
∠ AHH_c = β, ∠ BHH_c = α, ∠ BHH_a = γ

Височини в тъпоъгълен триъгълник

Ортоцентъра е извън триъгълника.
Две от височините също са извън триъгълника.
∠ AHH_c = ∠ CBA = β
∠ H_cHB = ∠ CAB = α

Височини в правоъгълен триъгълник

Височината AH_a съвпада с AC.
Височината BH_b съвпада с BC.
Ортоцентърът H съвпада с C.
∠ ACH_c = β, ∠ BCH_c =α

Формули

$AH_a:BH_b:CH_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$

$\frac{a}{AH_a}=\frac{b}{BH_b}=\frac{c}{\frac{AH_aBH_b}{CH_c}}$

R - радиусът на описаната окръжност.
r - радиусът на вписаната окръжност.
p - полупериметърът на триъгълника т.е. (a + b + c)/2

$AH_a=b \sin\gamma=c \sin\beta=\frac{a \sin\beta \sin\gamma}{\sin\alpha}=$

$=2R \sin\beta\ \sin\gamma=\frac{bc}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$

$BH_b=a\ \sin\gamma=c\ \sin\alpha=\frac{b\ \sin\alpha\ \sin\gamma}{\sin\beta}=$
$=2R\ \sin\alpha \sin \gamma=\frac{ac}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$

$CH_c=a\ \sin\beta=b\ \sin\alpha=\frac{c\ \sin\alpha\ \sin\beta}{\sin\gamma}=$
$=2R\ \sin\alpha \sin \beta=\frac{ab}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$

$\frac{1}{AH_a}+\frac{1}{BH_b}+\frac{1}{CH_c}=\frac{1}{r}$