Сфера

Сферата е геометрично място на точки, равноотдалечени от дадена точка, наречена център на сферата.

Отсечката, която съединява центъра с една точка от сферата, се нарича радиус на сферата. Отсечката, която съединява две точки от сферата и минава през центъра, се нарича диаметър на сферата. Съвкупността от точките в пространството, които не лежат на сферата, се разделя на две части: вътрешност и външност на сферата. Вътрешността е съвкупността от тези точки в пространството, разстоянието, на които до центъра на сферата е по-малко от радиуса ѝ. Обратно, точките от външността са отдалечени от центъра на разстояние, по-голямо от радиуса.

Сферата е затворена повърхнина - една непрекъсната линия не може да съединява точка от вътрешността с точка от външността, без да има обща точка със сферата, т.е. без да я пресича. Следователно, ако една права минава през вътрешна точка на сферата, тя има поне една обща точка със сферата. Две точки от сферата, които са краища на диаметър, се наричат противоположни точки.

Ако една равнина има само една обща точка със сферата, равнината се нарича допирателна към сферата.

Допирателната равнина е перпендикулярна на радиуса в точката на допирането.

Аналогично една права се нарича допирателна към сферата, ако има с нея точно една обща точка. Всяка допирателна права лежи в допирателната равнина, минаваща през допирната точка.

Ако една равнина(права) има повече от една обща точка със сферата, равнината(правата) се нарича секуща. Общата част(сечението) на секущата равнина със сферата е окръжност. Една секуща права има точно две общи точки със сферата.

Ако центърът на окръжност от сферата съвпада с центъра на сферата, окръжността се нарича голяма окръжност. В противния случаи окръжността е малка. Всяка голяма окръжност разделя сферата на две части, които наричаме полусфери. Всяка равнина, която минава през центъра, пресича сферата в голяма окръжност.

Кълбо

Кълбото е запълнена сфера, т.е. множеството от точки от сферата и тези, които са вътрешни за сферата. (В равнината кръгът е запълнена окръжност.)

Формули

Кълбо

Лице на повърхнина:
$S=4\pi R^2 = \pi d^2=\sqrt[3]{36\pi V^2}$

Обем:
$V = \frac43 \pi R^3 = \frac{\pi}{6}d^3 = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{s^3}{\pi}}$

Кълбов сектор

Кълбов израз или сектор, наричаме част от кълбото, ограничена от сферичен свод и коничната повърхнина с основа – основата на отреза и връх – центъра на кълбото.

Лице на пълна повърхнина:
$S=\pi R(2h + r)$

Обем:
$V = \frac{2\pi R^2h}{3}$

Кълбов сегмент

Част от кълбовата повърхнина, която произволна равнина отсича от нея, се нарича отрез или сферичен свод.

Лице на околна повърхнина(лицето само на отрязаната част от кълбото):
$S=2\pi Rh = \pi d h=\pi(r^2+h^2)$

Лице на пълна повърхнина:
$S=2\pi R h + \pi r^2 = \pi(h^2 + 2r^2) = \pi h(4R - h)$

Обем:
$V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h) = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)$

Кълбов пояс

Част от кълбовата повърхнина, ограничена от две успоредни равнини, коитo пресичат кълбото, се нарича кълбов пояс.

Лице на околна повърхнина(лицето само на отрязаната част от кълбото):
$S=2\pi R h$

Лице на пълна повърхнина:
$S=2\pi Rh + \pi r_1^2 + \pi r_2^2 = \pi(2Rh + r_1^2 + r_2^2)$

Обем:
$V = \frac{1}{6}\pi h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$