Задачи по геометрия за 7 клас ниво - от нормално до трудно.

1. Медианата към едното бедро на равнобедрения триъгълник АBС дели обиколката му на две части – едната с дължина 15см, а другата – 12см(в която се съдържа основата). Определете дължините на страните на триъгълника.
Отг. 7см. 10см

2. Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е 130% от ъгъла при върха. Определете ъгъла, който ъглополовящата на ъгъла при основата сключва със срещуположното бедро.
Отг. 82градуса 30 минути

3. В равнобедрен триъгълник ъгълът при основата е 45 градуса, а основата е по-дълга от височината с 9см. Намерете лицето на триъгълника.
Отг. 81 кв. см

4. От двата върха на един триъгълник са спуснати перпендикуляри към срещуположните страни. Тези перпендикуляри сключват помежду си ъгъл равен на 130 градуса. Намерете вътрешните ъгли на дадения триъгълник, ако ъглите при върховете, от които са спуснати перпендикулярите се отнасят както 3:2. Определете и вида на триъгълника.
Отг. 78; 52; 50 градуса, разностранен.

5. Правите AMNB и CKSD се пресичат с правите EMKF и GNSH. Дадено е, че ъгъл AME = 29/24d, ъгъл ANS = 11/8d и ъгъл MKS = 19/24d. Определете ъгъл DSH.
Отг. Упътване Докажете, че AMNB || CRSD, ъгъл DSN = 5/8d.

6. Две успоредни прави са пресечени с трета. Сборът на един от вътрешните ъгли и острия ъгъл, който ъглополовящата му сключва с другата от успоредните прави е 124 градуса и 31 минути. Изчислете всички ъгли при пресечните точки.
Отг. Острият ъгъл, който сключва ъглополовящата с другата успоредна права е 41градус 30минути 20 секунди.

7. Даден е триъгълника АBC. През пресечната точка D на ъглополовчщите на външните му ъгли при върховете А и В е прекарана права успоредна на АВ, която пресича продълженията на страните АС и ВС съответно в точките М и Р.
а) Да се докаже, че МР = АМ + ВР;
б) Да се изчислят ъглите на триъгълника АВС, ако се знае, че ъглополовящите сключват с МР съответно ъглите 79, 80 гр. 30мин. и 20градуса 30минути.
Отг Доказателство: МР = МD + DР. Но МD = АМ (ъгъл МАD = ъгъл МDА Защо?) и DР = ВР (ъгъл РDВ = ъгъл DВР защо?). Следователно МР = АМ + ВР;
б) 22градуса, 139градуса, 19градуса.

8. Върху раменете на даден ъгъл са нанесени от върха му О отсечки ОА = ОВ и ОС = ОD. Докажете, че пресечната точка М на отсечките АD и ВС лежи на ъглополовящата на ъгъла.
Отг. Упътване: Докажете, че АОD еднакъв на ВОС, ВDМ еднакъв на АМС, ОDМ еднакъв на ОМС.

9. Верни ли са твърденията:
а) Сумата на два съседни ъгъла е 180 градуса и обратно?
б) Два ъгъла с взаимно перпендикулярни рамене са равни помежду си?
в) Ако два ъгъла са равни помежду си, то те са или с взаимноуспоредни или с взаимноперпендикулярни рамене?
Отг. а) Обратното не е вярно;
б) Не винаги;
в) Не винаги.

10. В равнобедрения триъгълник АВС точките D и Е делят основата АВ на три равни части. Върхът В е съединен с тези точки. Докажете, че:
а) ъгъл АDС = ъгъл ВЕС и
б) ъгъл АСЕ = ъгъл ВСD
Отг. Упътване: Докажете, че АDС еднакъв на ВЕС; АСЕ еднакъв на ВСD.

11. Докажете, че правата която съединява пресечната точка на височините към бедрата на равнобедрен триъгълник с неговия връх е ъглополовяща за ъгъла при върха на триъгълника.
Oтг. Упътване: Докажете, че АNС еднакъв на ВMС; MOC еднакъв на NOC.

12. Докажете, че всяка медиана на триъгълника е по-малка от неговия полупериметър.
Отг. Доказателство:
(1)АМ < АС + СМ,
(2) АМ < АВ + МВ,
(1) + (2) => 2AM < AB + AC + (MB + CM), от където АМ < (АВ + АС + ВС)/2

13. Две успоредни прави са пресечени с трета. Докажете, че средата на отсечката от секущата, заключена между двете успоредни прави е равноотдалечена от тях.
Отг. Упътване: Разгледайте получените триъгълници.

14. В триъгълника АВС е прекарана ъглополовящата СD. През върха В е прекарана права успоредна на СD, до пресичането й в точка Е с продължението на АС. Докажете, че триъгълникът ВСЕ е равнобедрен.
Отг. Упътване: Докажете, че ъгъл СВЕ = ъгъл ВЕС

15. Ъглополовящата на ъгъла при върха на триъгълника сключва с основата ъгъл равен на 98 градуса и е равна на една от другите две страни. Изчислете ъглите на триъгълника.
Отг. 82, 66, 32 градуса

16. От произволна точка на една от страните на равностранен триъгълник са спуснати перпендикуляри към другите две страни. Намерете ъгъла между тези перпендикуляри.
Отг. 120 градуса

17. Докажете, че ако катетът е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът, лежащ срещу него е 30 градуса.
Отг. Доказателство: Нека в АВС ъгъл А = 90 градуса, ВС = 2АС. Продължаваме СА така, че СА = АD. Полученият СDВ е равностранен (защо?). От това следва, че ъгъл АВС = ъгъл DВС:2 = 30 градуса(защо?)

18. На страната ВС на равностранен триъгълник е взета точка М така, че ВМ = 5см и МС = 9см. От тази точка са спуснати перпендикуляри към другите две страни. Изчислете разстоянието от върха А до пресечните точки на перпендикулярите с АС и АВ.
Отг. 11,5см; 9,5см

19. Ъглите на триъгълника се отнасят както 1:2:3. Сумата от най-малката и най-голямата страна е равна на 7,2см. Намерете периметъра и лицето на триъгълника чрез изчисление и измерване.
Отг. 11,357 см ; приблизително 5 кв. см.

20. Намерете лицето на квадрата, ако знаете дължините на диагоналите му.
Отг. В = d²/2

21. Докажете, че диагоналите в успоредника взаимно се разполовяват.
Отг. Упътване: Разгледайте еднаквите триъгълници, получени при пресичането на двата диагонала.

22. В четериъгълника АВCD срещуположните му страни са две по две равни. Докажете, че те са успоредни.
Отг. Упътване: Използвайте еднакви триъгълници.

23. По какви признаци от гледна точка на симетрията буквите от азбуката са разположени в групи както следва:
1ва група: А, Д, Л, М, П, Т, Ф, Ш
2ра група: В, Е, З, К, С, О, Ю
3та група: Ж, И, О, Х, Н
4та група: Б, Г, Р, Ц, Н, Ч, Ь, Я
Отг. 1ва гр. Имат вертикална ос на симетрия
2ра гр. Хоризонтална
3та гр. Център на симетрия
4та гр. Не са симетрични

24. На кое място трябва да се построи пристанище на река, така че сборът на пътищата от пристанището до две селища, разположени от едната страна на реката да е най-малък.
Отг. Решение: Нека точките А и В са дадените села и правата Р – реката. Построяваме симетричната точка В’ на точка В относно правата Р и прекарваме отсечката АВ’. Пресечната точка М на правата Р с АВ’ е търсената. Докажете, че всяка друга точка М от правата Р не отговаря на yсловието в задачата, т.е. AМ + МС > АМ + МВ.

25. постройте два еднакви триъгълника, които имат съответно равни:
а) по една страна и прилежащ към нея ъгъл;
б) по две страни;
в) по два ъгъла.
Отг. Упътване: За задачите б) и в) вземете предварително още един елемент.

26. Постройте триъгълник по дадени:
а) частите на който се разделя една страна от височината спусната към нея и ъгъл прилежащ на същата страна;
б) височина и двата ъгъла, които тя сключва със страните излизащи от същия връх;
в) две страни и височина към третата страна;
г) страна, прилижащ ъгъл и височина спусната от върха на този ъгъл;
д) височина и два ъгъла, прилижащи на страната, към която е прекрипена;
е) периметър и два ъгъла.
Отг. Ред за построение: а) основата, ъгъла, височината;
б) височината, ъглите, основата;
в) лъч, права успоредна на лъча, двете страни от началото на лъча, едната върху него,а другата до пресичане с успоредната права;
г) страната,прилежащия ъгъл,права, успоредна на страната на пресичане с рамото на ъгъла;
д) при анализа определете ъглите, които височината сключва с другите две страни;
е) при анализа използувайте триъгълник с основа, равна на Р и прилежащи ъгли, равни на половинките на дадените ъгли. Същите половинки нанесете вътре от двете рамене в ъгъла при върха и разгледайте така получения триъгълник в първоначално построения.

27. Дадена е точка, лежаща в даден ъгъл. На всяко рамо на ъгъла намерете точка, която да е равноотдалечена от дадената точка и от върха на ъгъла.
Отг. Упътване: Постройте окръжност с център дадената точка и радиус, равен на разстоянието от центъра до върха на ъгъла.

28. На лист хартия е начертана само част от триъгълника АВС. Върхът С се намира извън листа. Намерете пресечната точка на височината, спусната от този връх, със страната АВ.
Отг. Упътване: При анализа използувайте триъгълник еднакъв на АВС и приложен към страната АВ.