Задачи по геометрия за 8 клас с повишена трудност.

1. В успоредника ъгълът между височините спуснати от върха на острия ъгъл е равен на 130°.Определете ъглите на успоредника.
Отг. 50°130°.

2. В успоредника от върха на тъпия ъгъл равен на 150° са спуснати двете височини с дължина h₁ и h₂. Определете периметъра на успоредника.
Отг. Р = 4(h₁ + h₂)

3. Ъглополовящата на ъгъла, заключен между страната и диагонала на ромба, сключва с другата страна на ромба ъгъл 72°. Определете ъглите на ромба.
Отг. 36 и 144

4. От метална пластинка с форма на правоъгълен триъгълник с катети по 22дм. Е изрязан вписан квадрат, който има общ ъгъл с триъгълника. Изчислите какъв процент от материала е използуван.
Отг. 5%

5. В равнобедрен трапец, голямата основа е равна на 10 см, а прилежащия й ъгъл е 45°. Бедрата на трапеца са продължени до пресичането им в точка М. Определете дължината на перпендикуляра спуснат от точка М до дадената основа.
Отг. h = 5 см

6. Периметърът на правоъгълния триъгълник е 30 см. Една от страните му е със 7 см по-голяма от другата и с 1см. по-малка от третата. Определете средната отсечка в триъгълника, заключена между катетите.
Отг. 6,5 см

7. Какъв четериъгълник образуват правите свързващи последователно средите на страните на: а) четериъгълника;
б) правоъгълника;
в) ромба;
г) квадрата;
д)правоъгълния трапец.Докажете твърденията!
Отг. а) четериъгълник;
б) ромб;
в) правоъгълник;
г) квадрат.

8. Средната отсечка в един трапец е дълга 20см и се дели от диагонала на две части, едната от които представлява 25% от другата. Изчислете основите на трапеца.
Отг. 32см, 8см

9. а) От фурнир е изрязан квадрат. Как ще проверите,че са получени прави ъгли, без да имате някакви инструменти.
б) Може ли да се направи паркет от правилни шестоъгълници, равностранни триъгълници и правилни многоъгълници?
Упътване: Използвайте свойствата на диагоналите.

10. а) Колко страни има многоъгълник, чиято сума от вътрешните ъгли е равна: 30d, 48d, 90000°?
b) Когато шивачка иска да провери дали отрязаното парче плат има квадратна форма, тя прегъва парчето по диагонала и гледа дали краищата му съвпадат. Достатъчна ли е тази проверка?
Отг. а) 17; 26; 102 S _n⁰= 180°(n 2)

11. a)Страните на успоредника са 4см и 8см. Възможно ли е диагоналите му да бъдат равни на 14 см и 3 см.?
б) Вярно ли е твърдението: “ Необходимо и достатъчно условие, успоредникът да бъде правоъгълник, е поне един от ъглите му да бъде прав?
Отг. а) Не
б) Да

12. В математиката е известна забележителната формула на Симпсон:
S = h/6(b₁ + 4 b₂ + b₃) наречена още всеобща формула за пресмятане обема на тела и лица на равнинни фигури.Докажете, че формулата е годна за пресмятане лицето на успоредник, трапец и триъгълник, ако Под
h - разбираме височината на фигурата
Под b₁ - дължината на долната основа
Под b₂ - дължината на средната основа
Под b₃ - дължината на горната основа
Упътване: Използвайте формулите за намиране лице на успоредник B = b₁h, на трапец B= b₂, на триъгълник B= b₁h/2

13. a) За определяне разстоянието между две недостъпни точки А и В, разположени на другия бряг на една река, построяваме върху местността на достъпния бряг произволна права Р (която не е перпендикулярна на АВ ) и отбелязваме на нея точките М и Н, така че АМ р, ВН р. Отсечката МН делим с точка О, така че МО = ОН и визираме направленията АО и ВО от т.О. Определяме точка С като пресечна точка на АМ и ВО и т. D, като пресечна точка на ВН и АО. Докажете, че отсечката СD е равна на търсеното разстояние АВ.
Упътване: Докажете, че АВ=СD (като бедра на равнобедрен трапец).

14. Докажете, че средите на страните и една от петите на височините в триъгълника са върхове на равнобедрен трапец.
Упътване: Използвайте свойството на средна отсечка в триъгълника.

15. Четирите височини от върховете В и D на ромба АBСD се пресичат в точките М и Н. Да се докаже, че ъглите на четериъгълника БМDН са равни на ъглите на дадения ромб и че той е също ромб.
Упътване: Използувайте теоремите за ъгли с взаимно перпендикулярни рамене.

16. Докажете, че ъгълът между ъглополовящата и височината през общ връх в триъгълника е равен на полуразликата от ъглите на триъгълника при срещуположната страна.
Решение:
Нека означим с γ и β ъглите на триъгълника при срещуположната страна. Като приложим теоремата за сумата от вътрешните ъгли в триъгълника получаваме:
γ = 90° - ( 180° - [180° -(α + β)]/2 + α]= ... = (α – β)/2

17. Докажете,че пресичайки се ъглополовящите на всичките четири ъгли на успоредника образуват правоъгълник.
Решение:

Доказателство: А1 = А/2 + D/2 = 90°.(А + D = 180°). Аналогично ъгъл В1, ъгъл С1 и ъгъл D1. Построяваме РМ || DN, QN || CM, APM еднакъв на NQB, откъдето АР = NQ + PM, PM = QB + NQ. Или РМ ≠ NQ, а оттук и А1D1 ≠ D1C1. Следователно А1B1C1D1 е правоъгълник.

18. Да се построи успоредник по дадена страна и ъглите й с двата диагонала.
Упътване: Постройте триъгълник по дадена страна и два прилижащи ъгъла. Използувайте свойството на диагоналите в успоредника.

19. Постройте успоредник по дадени:а) ъгъл, диагонал и височина; б) страна, прилижащ ъгъл и височина към тази страна.
Упътване: Ред за построяване а) ъгъл, права успоредна на едното му рамо и на разстояние, равно на височината, диагонала от върха на ъгъла до пресичане с правата;
б) страна, прилeжащ ъгъл, права успоредна на страната на разстояние равно на височината,...

20. Въпроси:
а) Дадена е дъга от окръжност. Как ще възстановите цялата окръжност?
Упътване: Използувайте ъгъл, чийто връх лежи на окръжността и радиуси, перпендикулярни към рамената му.
б) Дадени са две успоредни, но неравни хорди АВ и СD. Диаметърът, перпендикулярен на тези хорди, ще мине ли през пресечната точка на правите АС и ВD.
Отг. да
в) Верни ли са твърденията : “ Права перпендикулярна на радиуса се допира до окръжността?” ”Всеки ъгъл чийто връх лежи на окръжността се нарича вписан?”
Отг. Не винаги.
г) Колко градуса съдържа най-големият вписан ъгъл?
Отг. Приблизително 180°, но винаги по-малък от 180°

21. Разстоянието от краищата на диаметъра до дадена допирателна към окръжността са 8 см и 12 см . Изчислете дължината на окръжността.
Упътване: Използуваите свойството на средна отсечка в трапеца L = 62,8см

22. Две окръжности с равни радиуси са външно допирателни и се допират вътрешно до трета окръжност. Изразете периметъра на триъгълника, чийто върхове са центровете на трите окръжности с радиуса на третата окръжност.
Отг. Р = 2 r

23. От точка вън от окръжността с радиус r са прекарани две допирателни така, че разстоянията от центъра до допирателните са равни на дължините на самите допирателни. Изчислете:
а) дължината на дъгата заключена между допирателните;
б) лицето на фигурата, заградена от двете допирателни и дъгата, заключена между тях.
Отг. а) 1,57r; b) 0,86r²

24. Общите вътрешни допирателни към две непресекателни окръжности са взаимно перпендикулярни, а хордите между допирните точки имат дължини съответно 25см и 13см. Да се изчисли дължината на централата.
Отг. 38см

25. АВ – диаметър на дадена окръжност , СА и СВ – хорди в нея . От центъра О е прекарана права ОМ АС . Докажете, че ОМ || ВС.
Доказателство: ОМС = МСВ = 90 градуса. Но те са вътрешни кръстни, следователно ОМ || ВС.

26. От точка А, вън от дадена окръжност са прекарани допирателните АВ и АС, всяка с дължина а. През произволна точка М на малката дъга ВС е прекарана трета допирателна, пресичаща АВ и АС съответно в точките Р и Q. Докажете, че при преместването на т.М по дъгата ВС периметърът на триъгълника АРQ остава постоянна величина равна 2а.
Упътване: Използувайте, че ВР = РМ, СQ = QM

27. Докажете, че общата вътрешна допирателна на две взаимно допирателни окръжности разполовява общата им външна допирателна, а трите допирателни точки са върхове на правоъгълен триъгълник.
Упътване: Докажете, че пресечната точка на двете допирателни е равноотдаличена от 3-те допирни точки.

28. Един от острите ъгли на правоъгълния триъгълник е 40 градуса. Определете острия ъгъл, заключен между хипотенузата и радиуса на описаната окръжност, който минава през върха на правия ъгъл.
Отг. 80 градуса

29. Около окръжност с радиус 6см е описан правоъгълен триъгълник с хипотенуза 36см. Намерете разликата от периметъра на триъгълника и дължината на окръжността.
Отг. 46,32 Упътване: Използувайте равенството на допирателните, прекарани през точка, лежаща вън от окръжност.

30. Периметърът на вписан трапец е равен на р, а средната му отсечка е m. Определете дължината на бедрата.
Упътване: Докажете, че трапецът е равнобедрен. Бедрото е равно на (р-2m)/2.

31. От ламаринена пластинка с форма на равнобедрен трапец трябва да се изреже кръг, определен от вписаната окръжност в трапеца. Да се изчисли квадратурата на похабения материал, ако трапецът има периметър 14см и остър ъгъл 30 градуса.
Отг. 0,63кв.см. Упътване: Използувайте свойствата на описания четериъгълник на катет, лежащ срещу ъгъл 30 градуса, на средна отсечка в трапеца.

32. Равнобедрен трапец с бедро 10см и ъгъл при основата 60 градуса е описан около кръг. Изчислете основите на трапеца.
Отг. 5см и 15см