Вектори

Векторът е математически обект, който има дължина и посока. Той може да се представи като насочена отсечка, подобна на стрелка. Дължината на вектора $\overrightarrow{a}$ се обозначава с $|\overrightarrow{a}|$.

Умножение на вектор с число

Ако два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ имат една и съща посока, то $\overrightarrow{a} = n\overrightarrow{b}$, където $n$ е реално число.

Ако $0 < n < 1$, то $\overrightarrow{a} < \overrightarrow{b}$ – векторът $\overrightarrow{a}$ е скъсен вариант на $\overrightarrow{b}$.

Ако $n > 1$, то $\overrightarrow{a} > \overrightarrow{b}$ – векторът $\overrightarrow{a}$ е удължен вариант на $\overrightarrow{b}$.

Ако $n < 0$, то $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ са успоредни, но с противоположни посоки.

Събиране на вектори

За да съберем два вектора, можем да използваме два метода:

Метод на триъгълника – преместваме единия вектор така, че началото му да съвпадне с края на другия. Сборът е векторът, започващ от началото на първия и завършващ в края на втория.

На картинката се вижда, как изглежда сборът на векторите $A+B$ (насочената стрелка в червено)

Метод на успоредника – поставяме двата вектора с общо начало и изграждаме успоредник. Диагоналът на успоредника е сборът на двата вектора.
Векторът $C$ представлява сборът на $A+B$

И двата метода водят до един и същ резултат.

Скаларно произведение на вектори

Скаларното произведение на два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ се дефинира с формулата:

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos \theta$
където $\theta$ е ъгълът между двата вектора. Друго обозначение за скаларното произведение е $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$.

Скаларното произведение на два вектора е винаги число.

Скаларното произведение винаги дава число и притежава следните свойства:

Комутативност: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}$.

Дистрибутивност: $\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c})= \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$.

Умножение със скалар: $n(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=(n\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}(n\overrightarrow{b})$, където $n$ е реално число.

Ако $\theta=90^\circ$, то $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$, защото $\cos\theta=0$ – векторите са перпендикулярни.

Ако $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$, то $\theta=0$ – векторът се умножава сам със себе си и $\cos0^\circ=1$.

Задачи

1) Ако $\overrightarrow{a} = -1.\overrightarrow{b}$ какво може да кажем за двата вектора?
Отговор: Двата вектора са успоредни, равни по дължина и сочат в противоположни посоки.

2) Какво е скаларното произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ ако $|\overrightarrow{a}| = 5, |\overrightarrow{b}| = 6$ и ъгъла между тях е 60°
Решение: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = 5.6.\cos30^\circ=30.\frac{1}{2}=15$

3) Докажете с вектори, че за всеки триъгълник дължината на едната страна е по-малка от сбора на дължините на другите две страни.