Вектори

Векторът е насочена отсечка: отсечка, на която единият край е приет за начало, а другият – за край. Векторът има дължина и посока. С вектори се описват величини като сила, скорост и преместване, а в геометрията те дават кратки доказателства на много теореми.

Векторът с начало $A$ и край $B$ се означава с $\overrightarrow{AB}$, а често и с една малка буква със стрелка, например $\vec{a}$. Дължината му се означава с $|\overrightarrow{AB}|$ или $|\vec{a}|$.

На тази страница: Основни понятия · Събиране и изваждане · Умножение с число · Скаларно произведение · Вектори в координати · Задачи · Още за векторите

Основни понятия

• Нулев вектор $\vec{0}$ е вектор, чието начало и край съвпадат, например $\overrightarrow{AA}$. Дължината му е 0 и той няма определена посока.
• Колинеарни са ненулевите вектори, които лежат на една права или на успоредни прави. Колинеарните вектори са еднопосочни или противопосочни.
• Равни са два вектора, които са еднопосочни и имат равни дължини (или и двата са нулеви). Затова векторите могат да се пренасят успоредно: от всяка точка $O$ може да се нанесе единствен вектор, равен на даден.
• Противоположни са два вектора с равни дължини и противоположни посоки. Противоположният на $\vec{a}$ се означава с $-\vec{a}$, например ${\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}}$.

Подробно: Вектори – определения и Равенство на вектори.

Събиране и изваждане на вектори

Сборът на два вектора се построява по едно от следните две правила.

Правило на триъгълника. Нанасяме вектора $\vec{b}$ така, че началото му да съвпадне с края на $\vec{a}$. Сборът ${\vec{a}+\vec{b}}$ е векторът от началото на $\vec{a}$ до края на $\vec{b}$: ${\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}}$.

Правило на успоредника. Ако векторите не са колинеарни, нанасяме ги от обща точка $O$ и построяваме успоредник върху тях. Сборът е диагоналът на успоредника, който излиза от $O$.

Двете правила дават един и същ резултат. Събирането е разместително: ${\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}}$, и съдружително: ${(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}}={\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})}$. Освен това ${\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}}$ и ${\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}}$.

Разликата ${\vec{a}-\vec{b}}$ е векторът, който, събран с $\vec{b}$, дава $\vec{a}$. Тя е равна на ${\vec{a}+(-\vec{b})}$. Ако $\vec{a}$ и $\vec{b}$ са нанесени от обща точка, разликата ${\vec{a}-\vec{b}}$ е векторът от края на $\vec{b}$ до края на $\vec{a}$: ${\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}}$.

Подробно: Сбор и разлика на вектори.

Умножение на вектор с число

Произведението на вектора $\vec{a}$ с числото $k$ е векторът $k\vec{a}$ с дължина ${|k|\cdot|\vec{a}|}$, който е еднопосочен с $\vec{a}$ при ${k\gt 0}$ и противопосочен при ${k\lt 0}$. Ако ${k=0}$ или ${\vec{a}=\vec{0}}$, то ${k\vec{a}=\vec{0}}$.

За ненулев вектор $\vec{a}$:

• при ${k\gt 1}$ векторът $k\vec{a}$ е по-дълъг от $\vec{a}$: ${|k\vec{a}|\gt|\vec{a}|}$;
• при ${0\lt k\lt 1}$ той е по-къс: ${|k\vec{a}|\lt|\vec{a}|}$;
• при ${k\lt 0}$ той е с противоположна посока; в частност ${(-1)\vec{a}=-\vec{a}}$.

Ако ${\vec{b}\ne\vec{0}}$, векторът $\vec{a}$ е колинеарен с $\vec{b}$ или нулев точно когато ${\vec{a}=k\vec{b}}$ за някое число $k$. Умножението с число е разпределително относно събирането: ${k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}}$ и ${(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}}$; освен това ${k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}}$.

Подробно: Произведение на вектор с число.

Скаларно произведение на вектори

Ъгъл между два ненулеви вектора е ъгълът $\varphi$, който те образуват, когато са нанесени от обща точка; ${0^\circ\le\varphi\le 180^\circ}$.

Скаларно произведение на векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$ е числото ${\vec{a}\cdot\vec{b}}={|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\varphi}$, където $\varphi$ е ъгълът между тях. Ако поне единият вектор е нулев, ${\vec{a}\cdot\vec{b}=0}$.

Скаларното произведение е число, а не вектор. Свойства:

• ${\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}}$;
• ${\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})}={\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}}$;
• ${(k\vec{a})\cdot\vec{b}}={\vec{a}\cdot(k\vec{b})}={k(\vec{a}\cdot\vec{b})}$;
• ${\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2}$, защото ъгълът между вектора и самия него е $0^\circ$ и ${\cos 0^\circ=1}$.

Два ненулеви вектора са перпендикулярни точно когато ${\vec{a}\cdot\vec{b}=0}$, защото ${\cos 90^\circ=0}$. Знакът на скаларното произведение показва вида на ъгъла: при ${\vec{a}\cdot\vec{b}\gt 0}$ той е остър или $0^\circ$, а при ${\vec{a}\cdot\vec{b}\lt 0}$ – тъп или $180^\circ$. Самият ъгъл се намира от равенството

${\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}}$.

Вектори в координати

В правоъгълна координатна система всеки вектор се задава с две числа – координати. Ако нанесем вектора $\vec{a}$ от началото $O$ и краят му е точката ${(x;y)}$, пишем ${\vec{a}(x;y)}$ или ${\vec{a}=(x;y)}$.

За векторите ${\vec{a}(x_1;y_1)}$ и ${\vec{b}(x_2;y_2)}$:

• ${\vec{a}+\vec{b}}={(x_1+x_2;\,y_1+y_2)}$ и ${k\vec{a}=(kx_1;\,ky_1)}$;
• ${|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$;
• ${\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2}$;
• векторът от точката ${A(x_A;y_A)}$ до точката ${B(x_B;y_B)}$ е ${\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;\,y_B-y_A)}$.

Пример. За ${\vec{a}(3;4)}$ и ${\vec{b}(-4;3)}$: ${|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5}$, ${\vec{a}+\vec{b}=(-1;7)}$ и ${\vec{a}\cdot\vec{b}}={3\cdot(-4)+4\cdot 3}={0}$, т.е. векторите са перпендикулярни.

Задачи

1. Ако ${\vec{a}=-1\cdot\vec{b}}$, какво може да се каже за двата вектора?

${\vec{a}=-\vec{b}}$. Ако ${\vec{b}\ne\vec{0}}$, векторите са противоположни: колинеарни, с равни дължини и противоположни посоки. Ако ${\vec{b}=\vec{0}}$, то и ${\vec{a}=\vec{0}}$.

2. Намерете скаларното произведение ${\vec{a}\cdot\vec{b}}$, ако ${|\vec{a}|=5}$, ${|\vec{b}|=6}$ и ъгълът между векторите е $60^\circ$.

${\vec{a}\cdot\vec{b}}={5\cdot 6\cdot\cos 60^\circ}={30\cdot\frac{1}{2}}={15}$.

3. Намерете ъгъла между векторите ${\vec{a}(1;2)}$ и ${\vec{b}(3;1)}$.

${\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 3+2\cdot 1=5}$, ${|\vec{a}|=\sqrt{5}}$ и ${|\vec{b}|=\sqrt{10}}$, затова ${\cos\varphi}={\frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}}={\frac{5}{\sqrt{50}}}={\frac{\sqrt{2}}{2}}$ и ${\varphi=45^\circ}$.

4. Докажете с вектори, че във всеки триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две.

Нека в триъгълника $ABC$ означим ${\vec{a}=\overrightarrow{AB}}$ и ${\vec{b}=\overrightarrow{BC}}$. Тогава ${\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}}$ и

${|\vec{a}+\vec{b}|^2}={(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})}={|\vec{a}|^2}+{2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2}$.

Точките $A$, $B$ и $C$ не лежат на една права, затова $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не са колинеарни и ъгълът $\varphi$ между тях е различен от $0^\circ$. Тогава ${\cos\varphi\lt 1}$ и ${\vec{a}\cdot\vec{b}\lt|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$. Следователно ${|\vec{a}+\vec{b}|^2}\lt{(|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2}$, т.е. ${AC\lt AB+BC}$. Същото важи и за другите две страни.

Още за векторите

• Вектори – определения: елементи на вектор, нулев и колинеарни вектори, ос, релативна мярка.
• Равенство на вектори: определение, признак с успоредник, свойства.
• Сбор и разлика на вектори: правило на многоъгълника, закони на събирането, разлика.
• Произведение на вектор с число: определение, свойства, отношение на два вектора.
• Задачи за вектори: решени задачи и задачи за упражнение.