Задачи по геометрия върху Питагорова теорема

Задача 1

Разстоянията по права линия от Исперих до Тутракан и до Дулово са съответно 40 км и 28 км. Отсечките, свързващи трите града, образуват прав ъгъл при Исперих. Да се намери разстоянието от Дулово до Тутракан.

Решение. Ако търсеното разстояние е $x,$ то $x^2 = 40^2 + 28^2 = 1600 + 784 = 2384,$ откъдето ${x = \sqrt{2384} \approx 48{,}8}$ км.

Задача 2

Да се докаже, че триъгълникът със страни 3 см, 4 см и 5 см е правоъгълен.

Решение. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.$ Щом ${3^2 + 4^2 = 5^2},$ то триъгълникът с тези дължини на страните е правоъгълен (с катети 3 см и 4 см и хипотенуза 5 см).

Задача 3

В таблицата са дадени разстояния между точки, означени с $A,$ $B$ и $C.$ Проверете дали точките са върхове на правоъгълен триъгълник.

	$AB$	$BC$	$AC$
а)	$9$	$12$	$15$
б)	$5$	$11$	$12$
в)	$8{,}8$	$11{,}7$	$14{,}8$
г)	$5$	$9$	$8$
д)	$41$	$9$	$40$
е)	$6$	$4{,}5$	$7{,}5$

Отговор:
а) да: ${9^2 + 12^2 = 225 = 15^2};$
б) не: ${5^2 + 11^2 = 146},$ а ${12^2 = 144};$
в) не: ${8{,}8^2 + 11{,}7^2 = 214{,}33},$ а ${14{,}8^2 = 219{,}04};$
г) не: ${5^2 + 8^2 = 89},$ а ${9^2 = 81};$
д) да: ${9^2 + 40^2 = 1681 = 41^2};$
е) да: ${4{,}5^2 + 6^2 = 56{,}25 = 7{,}5^2}.$

Задача 4

Проверете дали един триъгълник е правоъгълен, ако дължините на страните му са:
а) $\sqrt{2},$ $4,$ $3\sqrt{2};$
б) $\sqrt{3},$ $3,$ $2\sqrt{3};$
в) $\sqrt{3},$ $\sqrt{5},$ $\sqrt{8}.$

Отговор: а) да; б) да; в) да.

Задача 5

Определете дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник, ако дължините на катетите му са:
а) $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3};$
б) $\sqrt{5}$ и $\sqrt{7};$
в) $\sqrt{9}$ и $\sqrt{11}.$

Отговор: а) $\sqrt{5};$ б) ${\sqrt{12} = 2\sqrt{3}};$ в) ${\sqrt{20} = 2\sqrt{5}}.$

Задача 6

В успоредника $ABCD$ ${AB = 33}$ см, ${BC = 56}$ см и ${AC = 65}$ см. Проверете дали успоредникът е правоъгълник.

Отговор: да.

Задача 7

Средите на страните на ромб са върхове на правоъгълник. Ако дължините на страните на този правоъгълник са $a$ и $b,$ каква е дължината на страната на ромба?

Отговор: $\sqrt{a^2 + b^2}.$

Задача 8

Страните на правоъгълник са 10 см и 24 см. Намерете радиуса на описаната около правоъгълника окръжност.

Отговор: 13 см.

Задача 9

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е 10 см, а единият му катет е 8 см. Намерете лицето на триъгълника.

Отговор: $24\ \text{см}^2.$

Задача 10

Едната страна на правоъгълник е 12 м, а диагоналът му е 13 м. Намерете лицето на правоъгълника.

Отговор: $60\ \text{м}^2.$

Задача 11

Диагоналите на ромб са 10 см и 4 см. Намерете страната на ромба.

Отговор: ${\sqrt{29} \approx 5{,}4}$ см.