Задачи по геометрия за 7 клас

Задача 1: Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = СВ).
     а) Ако бедрото се отнася към основата както 3:1, а основата е равна на 10 см, да се намери периметъра на триъгълника.
     б) Ако бедрото е с два сантиметра по-малко от основата, а отношението на основата към бедрото е както 4:3, да се намери периметъра на триъгълника.
     в) Ако отношението на бедрото към височината към основата е както 5:4, а основата е с 2 см по-малка от бедрото, да се намери височината към бедрото.
     г) Ако основата е с 4 см по-малка от сбора на дължините на бедрата, а височината към основата е с 1 см по-голяма от височи-ната към бедрото, намерете периметъра и лицето на триъгълника.

Задача 2: Даден е правоъгълен триъгълник АВС с прав ъгъл при върха С.
     а) Ако по-малкия катет е с 3 см по-малък от хипотенузата, а по-големият остър ъгъл е 60°, да се намери хипотенузата.
     б) Ако по-големнят катет е с 1 см по-голям от малкия катет, но и с 1 см по-малък от хипотенузата, а отношението на малкия кактет към хипотенузата е както 3:5, да се намерят лицето и периметъра на триъгълника.
     в) Ако хипотенузата е с 2,6 см по-голяма от височината към нея, а отношението на катетите е както 3:4, да се намерят лицето и периметъра на триъгълника.
     г) Ако медианата към хипотенузата сключва ъгъл от 120° с нея, а хипотенузата е с 3 см по-голяма от малкия катет, да се намерят ъглите на триъгълника, медианата към хипотенузата, малкия катет и хипотенузата.

Задача 3: В успоредника АВСD:
     а) отношението на по-малката страна към височината към нея е както 4:7, а лицето на успоредника е 14 см². Ако отношението на по-голямата страна към височината към по-малката страна е както 36:35, да се намерят страните и височините на успоредника!
     б) едната страна е с 2 см по-малка от другата, а височината към малката страна е с 0,15 см по-малка от голямата страна. Ако периметъра на успоредника е с 1см по-голям от 3 пъти голямата страна, намерете лицето и височините.

Това са задачи по геометрия за VII клас. Те включват почти целия изучен материал(без раздела построения с линийка и пергел). Те са с цел подобряване на уменията и тестване на знанията.

Има дадени отговори и решения. За учениците, които считат, че могат да решат самостоятелно задачите, има и дадени критерии за оценка при самостоятелно решаване на задачите. При задачите с 4 подточки първата е за 3, първата и втората – за 4, първа, втора и трета – 5, а всички – за 6.

ОТГОВОРИ И РЕШЕНИЯ

Задача 1: Даден е равнобедрен триъгълник АВС (АС = СВ).
     а) Ако бедрото се отнася към основата както 3:1, а основата е равна на 10 см, да се намери периметъра на триъгълника.
Нека да означим всяка от страните с буква. Ако основата е х, то бедрото ще е 3х, тъй като отношението му по условие към основата е 3:1. Перометъра Р ще е равен на сбора на основата с 2 пъти едното бедро, тъй като са равни, т.е.:
P = 2.(3x) + х
Но за основата (х) имаме 10 см, => бедрата са по 3.10 = 30 см едното бедро. Заместваме във формулата за периметър Р и се получава:
Р = 2.30 + 10
Краен резултат:
P = 70cм

     б) Ако бедрото е с два сантиметра по-малко от основата, а отношението на основата към бедрото е както 4:3, да се намери периметъра на триъгълника.
Ако означим основта с x, бедрото ще е x - 2, значи периметъра Р ще е равен на:
Р = х + 2.(х – 2)
Но основта се отнася към бедрото както 4:3, значи ако основата е 4х, бедрото ще е 3х.
Нека да видим какво се получава:
основа – х
бедро – х – 2
Ако умножим по 4 се получава:
Oснова – 4х
бедро – 4(х – 2)
Значи
4х – 8 = 3х
х = 8 см.
P = 8 + 12
Краен резултат:
P = 20 см.

     в) Ако отношението на бедрото към височината към основа-та е както 5:4, а основата е с 2 см по-малка от бедрото, да се наме-ри височината към бедрото.
Нека бедрото да е 5x, тогава височината към основата ще е 4x, а нека основата да е 5x - 2. Тогава означаваме с у другата височина – към бедрото и получаваме
S = аh_a/2 = bh_b2 => a.h_a = b.h_b
И заместваме:
(5х – 2). 4х = 5х. у
Оттук трябва да изразим у:
у = [4х.(5х – 2)]/5x
Краен резултат:
y = 4(5x - 2)/5

Често когато имаме зададени отношения, а не числа, а тряб-ва да намерим дадена страна или ъгъл, ние я/го изразяваме чрез дадените.

     г) Ако основата е с 4 см по-малка от сбора на дължините на бедрата, а височината към основата е с 1 см по-малка бедрото, намерете периметъра и лицето на триъгълника.
Нека основата е х, а бедрата да са по у.
Тогава х = 2у – 2.
А височината към нея да е у – 1.
Краен резултат:
S = [2.(y - 1)(y - 1)]/2 = (y - 1)²
P = 2y - 2 + 2y
P = 4y - 2.

Задача 2: Даден е правоъгълен триъгълник АВС с прав ъгъл при върха С.
     a) Ако по-малкия катет е с 3 см по-малък от хипотенузата, а по-големият остър ъгъл е 60°, да се намери хипотенузата.
Нека ъгъл АВС да е 60°, тогава за ъгъл ВАС остава да е 30°.
Използваме свойството на правоъгълния триъгълник с остър ъгъл от 30°, тогава остава малкия катет да е половината от хипотенузата.
Но по условие малкия катет е с 3 см по-малък от хипотенузата, значи, ако малкия катет е х см, то хипотенузата ще е 2х, но тя е с 3 см по-голяма, така че получаваме уравнението:
2х = х + 3
За х остава 3 см
Но хипотенузата е 2х
Краен резултат:
Хипотенузата е 6 см.

1. Ъгли в правоъгълния триъгълник:
- сборът от острите ъгли в правоъгъллиня триъгълник е 90°
2. Страни в правоъгълния триъгъник:
- хипотенузата е най-голямата страна в правоъгълния триъгълник;
- ако срещу катет на правоъгълен триъгълник лежи ъгъл от 30°, то този катет е два пъти по–малък от хипотенузата.
3. В правоъгълния триъгълник медианата към хипотенузата винаги е половината от нея.

     б) Ако по-големнят катет е с 1 см по-голям от малкия катет, но и с 1 см по-малък от хипотенузата, а отношението на малкия кактет към хипотенузата е както 3:5, да се намерят лицето и периметъра на триъгълника.
Имаме отношението на малкия катет и хипотенузата, но имаме и още една зависимост – той е с 2 см по-малък.
Така че, ако малкия катет е 3x см., хипотенузата ще е 3(x + 2) см..
Но ако малкия катет е 3x см., хипотенузата ще е 5x см.
=> 5х = 3(х + 2)
=> 5х = 3х + 6
=> 2х = 6
=> х = 3 см
Хипотенузата е х + 2
=> хипотенузата е 5 см, но големия катет е с 1 см по-малък от хипотенузата,
=> големия катет е 4см.
Периметъра намираме по формулата Р = a + b + c
=> P = 3 см + 4 см + 5 см
=> Р = 12 см
Лицето намираме по формулата:
S = а.b/2
=> S = 3.4/2
=> S = 6 см²
Краен резултат:
P = 12 см и S = 6 см².

     в) Ако хипотенузата е с 2,6 см по-голяма от височината към нея, а отношението на хипотенузата към големия катет е както 5:4, да се намерят лицето и малкия катет на триъгълника.
Нека хипотенузата е 5x, а големия катет да е 4x
Тогава височината ще е 5x + 2,6
Лицето е 5х(5х – 2,6)
Лицето е 25х² – 13х
Значи катета ще е 0,25.(25х – 13)
Краен резултат:
S = 25x² - 13x см² и Катет = 0,25.(25x - 13).

     г) Ако медианата към хипотенузата сключва ъгъл от 120° с нея, а хипотенузата е с 3 см по-голяма от малкия катет, да се намерят ъглите на триъгълника, медианата към хипотенузата, малкия катет и хипотенузата.
Щом единият ъгъл, който медианата сключва с хипотенузата, е 120°, значи другия ще е 60°, но медианата е равна на половината хипотенуза, => се получава равнобедрен триъгълник с ъгъл от 60°, т.е. равностранен триъгълник, значи ъгълът при единия връх е 60^deg;, а при другия - 30° => малкия катет е половината от хипотенузата. Но той е с 3 см по-малък от нея
=> 2х = х + 3
=> х = 3 см; но медианата също е половината от хипотенуза-та;
=> медианата = 3 см
Краен резултат:
Медиана = 3 см
Малък катет = 3 см
Хипотенуза = 6 см
Ъгли:
1. прав ъгъл 90°
2. остри ъгли - 60° и 30°

Задача 3: В успоредника АВСD:
     а) отношението на по-малката страна към височината към нея е както 4:7, а лицето на успоредника е 28 см². Ако отношението на по-голямата страна към височината към по-малката страна е както 36:35, да се намерят страните и височините на успоредника!
Нека по-малката страна е 4х, тогава височината към нея ще е 7х.
За лице имаме S = a.h_a
S = 7x.4x
S = 28x²
Но S = 28 см²
=> 28х² = 28 см²
=> х² = 1
=> х = 1 см
Имаме и b:h_a = 36:35
Но h_a = 7
=> b:7 = 36:35
=> b = 7,2 см
Но а.h_a = b.h_b = 28 см²
7,2.h_b = 28
h_b ≈ 3,9 см.
Краен резултат:
h_a = 7cm, h_b ≈ 3,9 cm
a = 4 cm, b = 7,2 cm

     б) едната страна е с 2 см по-малка от другата, а височината към малката страна е с 0,15 см по-малка от голямата страна. Ако периметъра на успоредника е с 1см по-голям от 1,2 пъти голямата страна, намерете лицето и височините.
Нека по-голямата страна е a, а по-малката a - 2, тогава височината към малката страна ще е a - 0,15.
Р = 1,2 а + 1,
Но Р = 2(а + b)
И b = a – 2
1,2а + 1 = 2а + а – 2
- 1,2а = - 3
а = 2,5 см
b = 0,5 см
h_a = 2,35 см
а.h_a = b.h_b = S
S = 2,5.2,35
S = 5,875 см²
b.h_b = 5,875
0,5h_b = 5,875
h_b = 11,75 см
Краен резултат:
S = 5,875 см², h_a = 2,35 см, h_b = 11,75 см

Ето и начин за оценяване при самостоятелна работа:

А това тук е скалата за оценка: